幾組“形似質異”問題的辨析

■宗文惠

下面通過幾組“形似質異”問題的辨析,旨在幫助同學們進一步加深對有關概念的內涵與外延的理解、認識,強化審題能力,力求做到準確、到位。

第一組：集合的求交集問題

一般地,遇到集合求交集,首先要分清類型,是“點集”求交集,還是“數集”求交集,其次要注意方法,點集求交集,通過解方程組實現,而數集求交集,通過求函數的值域實現。

例1集合A={y|y=x2+1,x∈R},B={y|y=5-x2,x∈R},則A∩B=_____。

辨析：集合A、B都是數集,求A∩B的關鍵就是求對應函數y=x2+1(x∈R)與y=5-x2(x∈R)的值域。

解：因為函數y=x2+1(x∈R)的值域是[1,+∞),函數y=5-x2(x∈R)的值域是(-∞,5],所以A=[1,+∞),B=(-∞,5],所以A∩B=[1,5]。

第二組：二次函數的單調性問題

例2函數f(x)=x2+2(a-2)x+5。

(1)若函數f(x)的單調遞增區間為[4,+∞),則a∈_____。

(2)若函數f(x)在[4,+∞)上單調遞增,則a∈_____。

辨析：如果一個函數的單調遞增(減)區間是D,則該函數在區間D的任一子區間D0上必單調遞增(減),也就是說,單調遞增(減)的最大范圍是D,在D0上盡管單調遞增(減),但D0為D的子區間。

解：(1)依題意可得,解得a=-2,即所求的a∈{-2}。

第三組：抽象函數的對稱性問題

例3(1)若f(x-1)=f(1-x),則函數f(x)的圖像關于_____對稱。

(2)設y=f(x)是定義在R上的函數,則f(x-1)與f(1-x)的圖像關于____對稱。

辨析：(1)考查一個函數的圖像本身關于什么對稱,(2)考查兩個函數的圖像關于什么對稱,兩個目標問題貌似相同,其實差別甚大。

解：(1)由f(x-1)=f(1-x),可將x都變成x+1得f[(x+1)-1]=f[1-(x+1)],即f(x)=f(-x),故f(x)是偶函數,其圖像關于x=0(即y軸)對稱。

(2)在函數y=f(x-1)的圖像上任取一點P(x,y),因為y=f(x-1)=f[1-(2-x)],所以點P'(2-x,y)在函數y=f(1-x)的圖像上。點P(x,y)關于直線x=1的對稱點為P'(2-x,y),由點P的任意性知,函數y=f(x-1)圖像上任一點關于直線x=1 的對稱點都在函數y=f(1-x)的圖像上。同理可得,函數y=f(1-x)圖像上任一點關于直線x=1的對稱點都在函數y=f(x-1)的圖像上。綜上可知,f(x-1)與f(1-x)圖像關于直線x=1對稱。

第四組：函數的定義域與值域均為實數集問題

一般地,設函數y=logm(ax2+bx+c),其中a≠0,若函數的定義域為 R,則若函數的值域為R,則

例4(1)若函數f(x)=log2(x2+axa)的定義域為R,則實數a∈____。

(2)若函數f(x)=log2(x2+ax-a)的值域為R,則實數a∈____。

辨析：(1)中,由定義域為R 知不等式x2+ax-a＞0的解集為R,即x2+ax-a＞0在R 上恒成立,則Δ=a2+4a＜0。(2)中,由值域為R 知u(x)=x2+ax-a的函數值應取遍所有的正數,則Δ=a2+4a≥0。

解：結合上述辨析,即得結果。

(1)a∈(-4,0)。

(2)a∈(-∞,-4]∪[0,+∞)。

第五組：函數恒有意義與定義域問題

一般地,設函數f(x)=logag(x),若f(x)在某區間D內恒有意義,則g(x)＞0在區間D上恒成立;若f(x)的定義域為D,則不等式g(x)＞0的解集為D。

例5函數f(x)=loga(-x2+log2ax)。

(1)若函數f(x)在（0 ,）內恒有意義,則a∈____。

(2)若函數f(x)的定義域為（0 ,）,則a∈____。

辨析：如果一個函數的定義域為D,則該函數在區間D的任一子區間D0上必恒有意義。也就是說,使得原函數有意義的自變量的最大取值范圍是D,在D0上盡管恒有意義,但D0為D的子區間。

解：(1)依題設知-x2+log2ax＞0,即

第六組：方程解的個數問題

若關于x的方程a=f(x)有實數解,則參數a的取值范圍就是函數f(x)的值域;若關于x的方程a=f(x)在某區間內有兩個不同的實數解,則直線y=a與曲線y=f(x)在該區間內有兩個不同的公共點。結合動直線y=a上下平移分析,可得參數a的取值范圍。

例6(1)若方程x2-x-a=0在[-1,1]內有實數解,則實數a∈_____。

(2)若方程x2-x-a=0的兩個不同實數解都在[-1,1]內,則a∈____。

辨析：(1)中,只需滿足在[-1,1]內有實數解,可能只有一解,也可能有兩個不同的實數解。(2)中,必須滿足在[-1,1]內有兩個不同的實數解,解的個數是確定的。

解：設f(x)=x2-x-a,則f(x)的圖像關于x=對稱。