思想方法引領，解題技巧應用

■崔云峰

在解數學問題中,巧妙滲透數學思想方法,借助數學思想方法的引領,不僅能培養解題能力,而且能優化認知結構,提高同學們的數學核心素養。在高一的初始階段,通過集合知識的學習,合理借助數學思想方法,在有效提升解題技巧的同時,可以大大優化同學們的思想認知結構。

一、函數與方程思想

分析：根據集合的元素特征,借助函數與方程思想的應用,利用三個集合間參數的關系加以分析與討論,即可判斷對應集合的基本關系。

判斷集合間關系的常用方法有觀察法、集合元素特征法、數形結合法等。這里借助函數與方程思想加以分析,再結合集合的基本性質,使得問題圓滿獲解。

二、分類討論思想

例2已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,則a=( )。

A.-1 B.-3或-1

C.3 D.-3

分析：根據題設條件,利用元素與集合之間的關系,構建對應的方程,結合分類討論進行分析與判斷。

解：因為集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,所以a2+4a=-3或a-2=-3,解得a=-1或a=-3。當a=-1時,a2+4a=a-2=-3,不滿足集合元素的互異性,舍去;當a=-3時,A={12,-3,-5},符合題意。

綜上可知,a=-3。應選D。

在解決此類集合問題時,要注意集合元素的基本性質,特別是元素的互異性。分類討論思想主要應用于含參數的集合問題,同學們要加以重視。

三、數形結合思想

例3學校舉辦秋季運動會時,高一(2)班共有24 名同學參加比賽,有12 人參加游泳比賽,有9人參加田賽,有13人參加徑賽,同時參加游泳比賽和田賽的有3 人,同時參加游泳比賽和徑賽的有3 人,沒有人同時參加三項比賽。那么同時參加田賽和徑賽的有____人。

分析：根據題設條件,設出對應的參數并作出Venn圖,借助數形結合法,合理構建對應的方程組求解。

解：設同時參加田賽和徑賽的有x人,只參加田賽的有y人,只參加徑賽的有z人,畫出Venn圖,如圖1所示。

圖1

集合中常用的數形結合法有數軸法和Venn 圖法。借助數軸或Venn 圖,將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維與形象思維結合,通過對圖形的認識、數形結合的轉化,可以培養思維的靈活性、形象性,實現所求問題的化難為易、化抽象為具體。

四、極限思想

例4不等式組的解集是( )。

分析：直接求解涉及含有絕對值的分式不等式,比較煩瑣,而借助極限思想,由方程根的驗證,回歸到相應的不等式問題,從而達到合理轉化的目的。

極限思想是創新思維中的一個重要數學思想,在解決一些客觀題時,巧妙借助極限思想,可以實現從抽象到具體、從無限到有限、從近似到精確等方面的跨越。

五、創新思想

例5(多選題)設集合P為實數集R 的非空子集,若對任意x,y∈P,都有x+y,x-y,xy∈P,則稱集合P具有“封閉性”。下列說法中正確的是( )。

B.若集合P具有“封閉性”,則一定有0∈P

C.具有“封閉性”的集合一定是無限集

D.若集合P具有“封閉性”,則滿足P?T?R 的任意集合T也具有“封閉性”

分析：根據新定義的“封閉性”,結合選項加以分析,利用不同的視角切入求解。

解決集合中的新定義問題,關鍵是挖掘新定義的本質,借助邏輯推理、代數運算,有時也可以通過特殊值法處理或舉反例等方式求解。此題以多選題的形式出現,設置不同的情境,借助不同方法來分析與處理,更好地滲透了數學思想,倡導創新意識與創新應用。

1.已知a為實數,使“?x∈[3 ,4],xa＜0”為真命題的一個充分不必要條件是____。

提示:全稱量詞命題:?x∈[3,4],xa＜0為真命題,所以a＞x在區間[3,4]上恒成立,所以a＞4,所以使“?x∈[3,4],xa＜0”為真命題的一個充分不必要條件是(4,+∞)的真子集,則a＞5滿足條件(本題答案不唯一)。

2.對于任意的實數x,不等式|x+1|≥kx恒成立,則實數k的取值范圍是_____。

提示:不等式|x+1|≥kx恒成立,則y=|x+1|的圖像不能在y=kx的圖像的下方(圖略),結合圖像得0≤k≤1。