“信號與系統(tǒng)”中系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

鞏亞楠 魏德旺 劉俊良 李淑晴 呂海燕

(臨沂大學 山東臨沂 276000)

1 “信號與系統(tǒng)”課程地位

“信號與系統(tǒng)”作為信息、電子、自控、通信等專業(yè)的專業(yè)基礎課，是為后續(xù)數(shù)字信號處理、數(shù)字圖像處理、通信原理、自動控制等課程的學習打下基礎，“信號與系統(tǒng)分析”被認為是一門理解困難、計算繁雜、偏理論模型的課程。課程知識本身的復雜性、抽象性等特點，使學生在學習過程遇到很多的困難，主要表現(xiàn)在以下兩個方面：（1）課程體系龐大、分支眾多、知識抽象，在學習過程中往往難以找到各個知識相互間的聯(lián)系，難以把握重點，使對基礎知識理解不透徹導致核心知識理解困難；（2）課程主要在“時間域”及“頻率域”下研究時間函數(shù)x(t)及離散序列x(n)，其中涉及了極其復雜、繁瑣的數(shù)學推導。本科階段，該課程涵蓋了連續(xù)系統(tǒng)在時域內的分析方法、在頻域內的分析方法、在s域內的分析方法，以及離散系統(tǒng)在時域內的分析方法、在z域內的分析方法。在通信和控制領域，系統(tǒng)描述方法具有多樣化的特點，而穩(wěn)定性是系統(tǒng)正常工作的前提條件[1]，隨著科學的發(fā)展，對不同形式的系統(tǒng)穩(wěn)定的判斷方法也歷經很多人的完善，形成了豐富的理論。本文就分析各種系統(tǒng)穩(wěn)定方法的研究，從深層次上理解各方法之間的內在聯(lián)系和區(qū)別。

從教育心理學的角度而言，圖形、畫面是人腦海中第一呈現(xiàn)的東西，而不是文字，形象記憶和形象思維，不僅在基礎教育，而且在高等教育階段，也是一種更輕松、更容易被學生接受的。思維導圖（The Mind Map）作為一種典型的圖片，是由圖像、文字、分類等構成的，是一種高效、簡單、直觀地表達思維的工具。目前，思維導圖多在中小學教學中應用，將其應用在知識容量和結構體系復雜的大學教學中，尤其是抽象的工科教學中對這方面的探討的報道相對較少，總結起來主要集中在教師的“教”和學生的“學”兩方面。在教師的“教”方面，引入思維導圖創(chuàng)新教學模式，提出了在基于問題的學習（PBL）教學模式中引入思維導圖[2]，在智慧學習環(huán)境下，講授結合思維導圖的教學模式的引入[3]，混合式教學中引入思維導圖[4]，思維導圖與空間課堂的聯(lián)合教學法的嘗試[2]，在柯氏模型中引入思維導圖等[5]。利用思維導圖更新教學理念，由完全的講授法，引入圖形的直觀觀察法，引申到問題提出和解決上。將思維導圖納入整個的教學過程中，課前引導預習、課堂教學實施、課后知識鞏固復習。在學生的“學”方面，復合學習的三維學習層面，在知識目標維度上，引入思維導圖，做到以點概面，便于掌握知識的重難點和知識結構的要點，達到記憶理解內容，構建學生的知識體系，優(yōu)化知識架構。在能力目標維度上，繪制思維導圖的過程中，增強團隊協(xié)作能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力、歸納總結能力和發(fā)散思維能力，促進高級思維發(fā)展。在情感目標維度上，增強學生自主學習積極性、鍛煉獨立思考能力，及時地進行課堂反思，達到降低知識學習的難度。因此，本研究采用此教學的有效輔助工具思維導圖的分析方法，來呈現(xiàn)對各種系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法的總結，并討論各方法之間的關系，最后歸納出系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)。

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要方法與關系

對系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究借助圖1的思維導圖從連續(xù)性系統(tǒng)和離散系統(tǒng)兩方面分析，并單獨梳理了系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷方法[6]。

圖1 “信號與系統(tǒng)”中系統(tǒng)穩(wěn)定性及其判據(jù)思維導圖

2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

連續(xù)時間系統(tǒng)：某系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號都是連續(xù)的，且其內部也未變換為離散時間信號，一般用微分方程描述。如果任意有界的激勵信號，經系統(tǒng)處理后都可以得到任意有界的零狀態(tài)響應，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱穩(wěn)定系統(tǒng)。對于眾多的連續(xù)時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法，在此處，總結了3種比較常見的方法[7-8]。

2.1.1 時域分析法

通過求解代數(shù)微分方程，給出系統(tǒng)沖激響應h（t），若沖激響應滿足絕對可積條件，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即存在常數(shù)M，使得

2.1.2 變換域分析法

利用拉普拉斯變換求解微分方程，得出系統(tǒng)函數(shù)H（s），沖激響應h（t）與系統(tǒng)函數(shù)H（s）構成變換對，h（t）和H（s）分別從時域和s域表征了系統(tǒng)的特性。求出系統(tǒng)極零點分布，從而分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，因果性，若h（t）的全部極點位于s平面的左半平面（不包括虛軸），則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2.1.3 羅斯-霍維茨準則

求得系數(shù)An（n=0,1,…），系統(tǒng)要穩(wěn)定就需要實部都小于零，即系數(shù)An均同號且都不為零。若An符號一旦發(fā)生改變，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且系數(shù)符號變化的次數(shù)就是實部大于零的根個數(shù)。An的求解方法如下：判斷系統(tǒng)函數(shù)的最高階次，若最高次為k，則需要求解A0,A1,…，Ak，共k+1 個系數(shù)。依次將這些系數(shù)從Ak開始依次豎向排列，再將各項均按降冪排列的系統(tǒng)函數(shù)中的Sn（n=0,1,…，k）前的系數(shù)，從第二列開始按照只排兩行從上往下、從左往右依次排列，第二列的數(shù)字即對應的An，當然還要算出其他An，第三列的系數(shù)即Bn，第四列為Cn，第五列為Dn。其中的關系表示為

通過這些表達式，可以計算出所有的行列式系數(shù)An，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.2 離散時間系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

離散時間系統(tǒng)：若系統(tǒng)的各個物理量隨時間的變化關系，只是在離散的時刻給出瞬時值，這種系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)。和連續(xù)時間系統(tǒng)不同的是，連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)分析方法一般用微分方程描述，而離散時間系統(tǒng)通常用差分方程如下所示：

式（4）中，e（k）為輸入激勵，y（k）為輸出響應[9-10]。

對于離散時間系統(tǒng)，穩(wěn)定性判定也發(fā)展了3 種方法。

2.2.1 時域分析法

利用時域上的差分方程進行直接求解，得出單位抽樣響應h（n），離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：單位樣值響應絕對可和，即

2.2.2 變換域分析法

利用z變換，在變換域內求解差分方程，得出系統(tǒng)函數(shù)H（z）表達式及其極零點分布情況，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。H（z）和h（n）是一對z變換，若H（z）的全部極點應落在單位圓之內，即收斂域應包括單位圓在內，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。下面舉例說明，由差分方程求H（z）和h（n），并判定其穩(wěn)定性。

2.2.3 朱里準則

設A(z) =anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0，則可以判斷方程A(z) =0的根是否位于z平面的單位圓內，由下面的朱里準則，首先寫出陣列：

陣列中第一行為A(z)的系數(shù)，第二行也是A(z)的系數(shù)但按反序排列，第三行按下列各式計算

第四行是將第三行的各系數(shù)反序排列，由第三、四兩行再利用上述相同方法可求得第五、六兩行，其公式如下：

這樣求得的兩行比前兩行少一項，以此類推，直到第2n-3行。準則指出，A(z)的所有根都在單位圓內的充分必要條件是：

上式中關于系數(shù)的條件是，各奇數(shù)行的第一個系數(shù)必大于最后一個系數(shù)的絕對值。

2.3 穩(wěn)定性判別方法

系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)可以分別從線性代數(shù)和求解微分方程的這兩種異曲同工的代數(shù)方法和幅角技術的幾何方法等方面進行考慮[11-12]。

2.3.1 勞斯穩(wěn)定性判據(jù)（Routh-Hurwitz stability criterion）

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)是一種代數(shù)矩陣判據(jù)方法。它首先求解出的系統(tǒng)矩陣特征方程式的特征根，通過判斷特征根在s平面的位置，從而決定系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。判斷方法：特征方程的各項系數(shù)都不等于0；并且特征方程各項系數(shù)符號相同；勞斯表的第一列是否均大于零。

2.3.2 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（Nyquist stability criterion）

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的內容表明，如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s復數(shù)平面的虛軸jω上既不存在極點又不存在零點，那么系統(tǒng)正實部極點數(shù)Z，為

式（10）中：P為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)，N為當角頻率由ω=0增加到ω為正無窮時的軌跡沿逆時針方向繞著實軸上點（-1，j0）的旋轉次數(shù)。如果Z=0，則閉環(huán)控制系統(tǒng)是一穩(wěn)定系統(tǒng)；若Z≠0，則閉環(huán)控制系統(tǒng)是一不穩(wěn)定系統(tǒng)。分別從幅度和相位角度判定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度和系統(tǒng)的穩(wěn)定條件就成為了這種判斷方法的特點。

2.3.3 根軌跡法

不同于直接求解特征方程的方法，EVANS W R提出用作圖的方法描述特征方程的根與系統(tǒng)某一參數(shù)的全部數(shù)值之間的對應關系。當這一參數(shù)取特定值時，從上述關系圖就可以讀取對應的特征根。系統(tǒng)的根軌跡法既可以給出結構和參數(shù)已知的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的瞬態(tài)響應特性分析方法，又可評估參數(shù)改變對系統(tǒng)性能的影響。由此，設計線性控制系統(tǒng)時，不僅可以根據(jù)對系統(tǒng)性能指標的規(guī)定求解可調整參數(shù)，而且可以求解系統(tǒng)開環(huán)零極點的坐標，即根軌跡法可以在系統(tǒng)的分析與綜合設計中發(fā)揮作用。

2.3.4 李雅普諾夫穩(wěn)定性方法（Lyapunov stability criterion）

李雅普諾夫第一法是首先通過求解系統(tǒng)微分方程，隨后根據(jù)解的性質來評判系統(tǒng)的穩(wěn)定性；李雅普諾夫第二法是根據(jù)能量參數(shù)進行穩(wěn)定性分析，當一個系統(tǒng)獲得激勵信號后，其儲存的能量是與時間密切相關的，隨著時間的逝去，儲能將逐漸削弱，當達到平衡狀態(tài)時，能量將隨之達到最小值。只有清晰地了解了各種穩(wěn)定性判據(jù)的概念，才能靈活運用各種方法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 結語

經過上述分析與總結，對于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析有了清晰的思路。就連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時用到的方法進行歸納總結，以及它們之間的內在關聯(lián)和穩(wěn)定性判別的4 種方法進行細致闡述，將碎片化、離散化的知識有機結合，利于學生更直觀地掌握“信號與系統(tǒng)”這門課程的知識架構，針對不同的系統(tǒng)環(huán)境，可以根據(jù)具體的實際應用靈活選擇合理、便捷的穩(wěn)定性分析方法。