一類帶凹凸項的橢圓型偏微分方程解的存在性

鄭文靜,陳尚杰,李 麟

(重慶工商大學 a.數(shù)學與統(tǒng)計學院,b.經(jīng)濟社會應用統(tǒng)計重慶市重點實驗室,重慶 400067)

考慮如下發(fā)展方程

(1)

當方程(1)尋找自相似解w(t,x)∶=t-1/(p-2)u(t-1/2x)時,方程(1)等價于一類帶權(quán)重K(x)的熱方程

(2)

具體見文獻[1]。熱方程作為拋物型偏微分方程,不僅可以用來描述熱傳導過程,也可以用來描述多種反應的擴散過程,諸如液體流動、傳染病擴散、生物種群的遷移、生物分子的運動以及飛行器的冷卻與保護等。

在最近的文獻[2]中,Li和Tang研究了在非線性項f(x,u)分別滿足超線性和漸近線性的情況下方程(2)基態(tài)解的存在性。除此之外,更多的學者研究了方程(2)中非線性項f(x,u)=a(x)|x|β|u|q-2u+b(x)u2*-2u的情況,即如下方程:

(3)

值得一提的是,文獻[8]研究了如下帶有凹凸項的橢圓型偏微分方程

其中1

與上述方程略有不同,在文獻[11]中,Qian和Chao考慮了如下帶非局部項的橢圓型偏微分方程

(4)

非平凡解的存在性問題,其中a,b,λ>0,β=(α-2)(6-q)/4,K(x)=exp{|x|2/4},α≥2。在對參數(shù)λ作不同的假設(shè)條件下,作者利用山路定理和Nehari流形的方法分別證明了方程(4)非平凡解和基態(tài)解的存在性。同樣方法應用到其他方程的研究可見文獻[12]。

受文獻[8-11]啟發(fā),本文將研究如下一類帶有一般凹凸非線性項的橢圓型方程

(5)

(f3):存在L0>0,θ>4和C1>0,使得

在上述條件下,本文得到以下結(jié)果。

定理1假設(shè)(g1)(g2)和(f1)—(f4)成立,則存在μ0>0當|μ|≤μ0時,問題有無窮多個解。

注記1受權(quán)重的影響,本文得到的解呈指數(shù)衰減,證明可參見文獻[3],且關(guān)于方程,目前還未有類似結(jié)論。

1 預備知識

對每一個q∈[2,6],定義空間

(6)

顯然,I(u)是連續(xù)可導泛函,且其導數(shù)形式為

(7)

如果u∈X,?v∈X滿足〈I′(u),v〉=0,則稱u∈X是問題的弱解。

1)對每一個有限維子空間V?X,存在R=R(V)使得當‖u‖≥R時有I(u)≤0;

2) 存在常數(shù)ρ,α>0,使得I(u)|{u∈Z:‖u‖=ρ}≥α;

3)泛函I滿足(PS)c條件,

則泛函I有一列無界的臨界值序列{un}。

2 主要結(jié)果證明

本文主要是運用變分法[14]求解的方法,通過山路定理得到方程無窮多解的存在性,故在證明定理1之前,本文需要引入一些預備結(jié)論。

證明類似于文獻[15]。

引理2 假設(shè)條件(f2)和(g1)成立,則對X的每一個有限維子空間V,存在R=R(V)使得當‖u‖≥R時有I(u)≤0。

證明利用反證法,設(shè)對于任意的n∈,存在序列{un}?V使得‖un‖→∞時,有I(un)>0。首先取vn=,顯然‖vn‖=1,即序列{vn}在X中是有界的,又因為V是有限維的,所以存在v∈V和序列{vn}的一個子列(仍記為{vn})使得vn→v,‖v‖=1,且對于任意x∈3有vn(x)幾乎處處收斂于v(x)。定義一個集合B={x∈3:v(x)≠0},顯然meas(B)>0,并且對于a.e.x∈B,n→∞時,有|un(x)|→+∞成立。則由條件(f2)和Fatou引理可得

(8)

根據(jù)(g1)、定理2和H?lder不等式得

又因為1

(9)

結(jié)合(8)(9)和I(un)>0可得

顯然不等式兩邊矛盾,I(un)>0的假設(shè)不成立,故存在R=R(V)使得當‖u‖≥R時,I(u)≤0。證明結(jié)束。

引理3假設(shè)(g1)和(f1)成立,存在常數(shù)ρ,α>0,對任意|μ|≤|μ0|,使得I(u)|{u∈Z:‖u‖=ρ}≥α。

證明由條件(f1)可得

結(jié)合(6)(9)和引理1—2,對任何u∈Z滿足‖u‖≤1有

引理4假設(shè)(g1)(f1)(f2)和(f3)成立,則泛函I滿足(PS)c條件。

證明設(shè){un}是泛函I的一個(PS)c序列,即

I(un)→c,I′(un)→0。

(10)

定義集合B={x∈R3:v(x)≠0},則meas(B)≥0。接下來分別考慮如下兩種情況:

情形(1):meas(B)>0。這種情況的證明與引理2類似,故可由(8)(9)得

顯然不等式兩邊矛盾,所以在meas(B)>0時,序列{un}在空間X中是有界的。

|f(x,t)t|≤c0(|t|2+|t|p)≤2c0|t|2。

(11)

|f(x,t)t|≤c0(|t|2+|t|p)≤M≤M|t|2。

(12)

|f(x,t)t|≤(2c0+M)|t|2,

從而存在常數(shù)C2>0,有

結(jié)合(f3)得

由(g1)和H?lder不等式及定理2可得

因為1

從而有

現(xiàn)需再證序列{un}在X中有一個子列強收斂于u,即在空間X中有‖un-u‖→0。因為序列{un}是有界的,所以存在一個子列{un}(仍記為{un})和u∈X使得

注意到

〈I′(un)-I′(u),un-u〉=a(un,un-u)+b‖un‖2(un,un-u)-a(u,un-u)-b‖u‖2(u,un-u)+

=a‖un-u‖2+b‖un‖2‖un-u‖2+b(‖un‖2-‖u‖2)(u,un-u)+

整理得

因此要證‖un-u‖→0,只需證明下列式子成立

(13)

(14)

b(‖u‖2-‖un‖2)(u,un-u)→0。

(15)

〈I′(un)-I′(u),un-u〉→0。

(16)

由(f1)和H?lder不等式有

由(g1)和H?lder不等式有

定理1的證明根據(jù)條件(g2)和(f4)知,函數(shù)F和G是偶函數(shù),則泛函I是偶的,由引理2和引理3知,泛函I滿足定理3的條件1)和條件2),又從引理4中知,泛函I滿足(PS)c條件,從而滿足定理3,因此可由定理3直接得到方程(5)有無窮多個解。證畢。