一類帶有記憶項的半線性波動方程解的爆破

曹德剛,陳雪麗,楊 晗

(西南交通大學 數學學院,成都 611756)

本文考慮一類帶有記憶項的時間變系數耗散項與質量項的半線性波動方程的爆破問題

(1)

其中,常數μ1,μ2≥0,ε>0是小參數,Cγ=1/Γ(1-γ),γ∈(0,1),Γ(s)是Gamma函數。

近年來,在時間變系數的耗散項與質量項的半線性波動方程Cauchy問題

(2)

的研究中,關于整體解的存在性、衰減估計、解在有限時刻爆破和生命跨度估計的研究已有豐富的研究成果[1-5]。 對于帶有記憶項的半線性波動方程

(3)

也有不少研究,如文獻[6]研究了在問題(3)中取μ1=0時,利用迭代技巧與Slicing方法證明當1

時,解的整體性存在以及衰減估計,并利用試驗函數法證明當

和n≥3,p∈(1,n/(n-2)],γ∈(0,(n-2)/n]時,解在有限時間爆破,但并未給出解的生命跨度估計。文獻[8]研究了在問題(3)中取μ1>0,β=1時,對μ的取值作出以下分類考慮:

當μ=2,1

利用試驗函數法證明問題(3)的解在有限時刻爆破,但未給出生命跨度估計。利用Kato引理證明當p≤n/(n-2)+,且1

其他相關研究見文獻[9-10]。

1 預備知識

下面根據文獻[11],給出問題(1)的能量解的概念。

(4)

成立,則稱u為問題(1)在[0,T)上的能量解。

引理1[4]假設u0,u1滿足

(5)

(6)

成立,其中C1=C1(p,u1,u0,R,φ)>0。

2 主要結論

定理1當n≥1,δ≥0,p滿足1

注1 當μ1=μ2=0時,定理1的結論可以與文獻[6]定理1中解在有限時刻爆破與生命跨度估計上界的結論保持一致。 當μ1>0,μ2=0時,定理1的結論可以與文獻[8]定理2.2中解在有限時刻爆破的結論保持一致。因此本文的結論是對文獻[6,8]的推廣。

3 解的爆破與生命跨度估計

由F(t)的定義可得

(7)

對(7)式關于t求微分,可得

(8)

考慮如下的代數方程

現將(8)式重新改為

(9)

在(9)式左右兩側同時乘以(1+t)y2+1,并在[0,t]上積分可得

對上式第一項用分部積分可得

(10)

在(10)式左右兩側再同時乘以(1+t)y1,并在[0,t]上分部積分可得

(11)

再由H?lder不等式,解的緊支集條件和有限傳播速度可得

(12)

其中C0=meas(Bt+R)1-pR-n(p-1)>0。對?t≥0,將(12)式帶入(11)式,則有

(13)

接下來將獲得F(t)的一個下界估計。 將引理1中(5)式帶入(11)式中,則對于?t>T0有

(14)

下面開始迭代討論。 首先假設?t>T0,j=1,2,3,…時,有

F(t)≥Dj(1+t)-aj(t-T0)bj,

(15)

其中{Dj}j≥1,{aj}j≥1,{bj}j≥1>0。當j=1時,由(14)式知(15)式已經成立,其中

(16)

假設當j=k時,(15)式已經成立,下面將證明當j=k+1時,(15)式也成立。 結合(13)式和(15)式,對?t>T0可得

(17)

在(17)式中令

(18)

因此(15)式對于j=k+1成立。結合(16)式和(18)式可得

(19)

(20)

lnDj≥plnDj-1+lnC3-3(j-1)lnp

≥p2lnDj-2+(1+p)lnC3-3(p(j-2)+(j-1))lnp

≥…

(21)

Dj≥e(pj-1(lnD1-Sp(∞))),

(22)

將(19)(22)式帶入(15)式中可得

(23)

J(t)=lnD1-Sp(∞)-αln(1+t)+βln(t-T0)

≥lnD1-Sp(∞)-αln(2t-2T0)+βln(t-T0)

≥lnD1-Sp(∞)+(β-α)ln(t-T0)-αln2

≥ln(D1(t-T0)β-α)-Sp(∞)-αln2,

而且有

因為pS(n+μ1,γ)是方程(n+μ1-1)p2-(n+μ1+3-2γ)p-2=0的正根,且p0。

定理1證明完畢。