初中生歸納推理能力培養探索
——以“圖形與幾何”教學為例

? 吉林師范大學數學與計算機學院 聶海晶

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歸納推理能力的培養對于數學教育而言十分重要,因為要培養學生的思維能力,就要訓練學生的歸納推理能力[1].從數學本身出發,現代數學逐漸走向規范、嚴謹,但是一些公理、符號都是數學家們思想的碰撞產生的,歸納推理是得到數學結論的必要途徑.從數學與生活的角度來看,數學學科本身更多的是確定性的結論,而現實生活中則需要我們進行預測、推理、驗證.

學生歸納推理能力的培養是數學教育與教學的一個熱點話題.“推理能力”是《義務教育數學課程標準(2022年版)》初中階段所強調的核心素養表現之一,也是《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中的重要內容.關于歸納推理能力的理論研究十分廣泛,但是關于一線教師教學實踐中提升學生歸納推理能力的教學設計并不多見.筆者則根據歸納推理的“個別的看、重復的看、想象的看、抽象的看、一般的看”五個認識階段,對“圖形與幾何”部分知識點進行教學設計的研究[2].

1 歸納推理能力的內涵

歸納是很多學科所共同探討的概念,學者們一般認為,歸納是由個別到一般的過程,比較常見的一種定義方式是:“歸納是指由某一類事物的部分對象具有某個屬性,推斷出這一類事物都具備某個屬性的推斷方式[3].這種定義方式缺乏學科針對性,特別缺少數學學科元素.波利亞[4]則在《怎樣解題》中指出:“歸納是通過觀察和組合特殊的例子來發現普遍規律的過程.”李興貴[2]則根據波利亞的觀點,將數學歸納推理定義為:“數學歸納推理是通過觀察和組合特殊事例的量性特征來發現一類事物的量化模式的創造性思維活動過程.”

2 中學生歸納推理能力現狀

武錫環[1]提出了“數學歸納推理的認知模型”,借助這一模型編制試題對初中三個年級的測試顯示,初二年級是數學歸納推理發展的關鍵期,且中學生歸納推理能力的發展落后于演繹推理能力,因此在數學教學過程中要多側重學生數學歸納推理能力培養.黃煜烽[5]也指出在整個中學階段,歸納推理能力的發展在初二階段處于迅速期,枚舉歸納法是促進學生歸納推理能力發展的主要方法.

3 初中幾何教學的現狀

初中生普遍感覺圖形與幾何難以理解,對其邏輯證明往往無從下手.那么,產生這種狀況的原因是什么呢?馬海燕[6]通過調查分析得到初中生對證明的一般性和必要性掌握得不夠扎實,大部分學生從實驗幾何到論證幾何的過渡期沒達到課標的要求.受應試教育的影響,幾何教學中教師通常只要求學生記住相關的概念、公式等,然后通過反復做題記住知識點,而這卻忽略了對學生幾何思維的訓練.

4 教學片段設計

對人教版教材八年級數學上下冊“圖形與幾何”這部分知識點進行整理,發現相關概念共有72個,其中可以通過歸納、類比得出的有32個,占比達45%.從上述數據可以看出,“圖形與幾何”很多知識點都是通過歸納推理得到的.下面按照李興貴總結出的歸納推理五個認知階段對“勾股定理”和“全等三角形”進行教學設計,側重對學生歸納推理能力的培養.

數學歸納推理的基本內涵及認知過程分析如下.

探究1：勾股定理.

借助信息技術,播放勾股定理相關數學史的視頻片段,引出新課主題,與學生一同探究勾股定理.

問題1一般三角形三邊之間的關系是否適用于直角三角形?

學生活動:獨立思考,直角三角形三邊之間也符合兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.(學生根據以往學過的知識給出回答即可.)

教師活動:點評學生的回答,將滿足三邊關系的一次不等式轉換成關于邊的二次不等式,并大膽猜測直角三角形直角邊a,b和斜邊c滿足a2+b2=c2.

問題2如何驗證猜想?

為了學生方便,引入網格紙進行計算.

(1)數學歸納推理認知第一階段:個別的看

教師活動:首先引入直角邊長都為1的直角三角形,以三角形三邊a,b,c為邊長分別向外作正方形,帶領學生通過計算發現三個正方形面積之間的關系.

(2)數學歸納推理認知第二階段:重復的看

教師活動:接著引入邊長為3,4,5的直角三角形,以三角形三邊a,b,c為邊長分別向外做正方形,帶領學生通過計算發現三個正方形面積之間的關系.提示學生用割補法求面積.

學生活動:學生先獨立思考,后小組討論,通過計算得出32+42=52,即a2+b2=c2,驗證猜想.

(3)數學歸納推理認知第三階段:想象的看

師生活動:學生自己在網格紙上任意畫出一個直角三角形,同桌之間互相驗證是否滿足“兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和”.

(4)數學歸納推理認知第四階段:抽象的看

師生活動:現在沒有網格紙,只提供四張邊長為a,b,c的直角三角形,根據之前的三次探究進行拼接,利用拼接后的圖形面積之間的關系仍然可以得到a2+b2=c2.

(5)數學歸納推理認知第五階段:一般的看

師生活動:根據學生第三階段任意畫出的直角三角形進行勾股定理的驗證.學生通過歸納推理,驗證了勾股定理并且掌握了勾股定理的數學表達.

探究2：全等三角形.

利用多媒體教學設備為學生展示大小、形狀相同的兩個正方形,兩本完全相同的教學用書,體型一樣的兩只小貓.每位同學準備一張正方形卡紙.

(1)數學歸納推理認知第一階段:個別的看

教師活動:引導學生利用直尺測量出自己手中數學書的長和寬,再和同桌交換,驗證數值是否相等,接著引出新課——全等三角形.

學生活動:發現兩本教科書的長和寬相等,初步感知全等圖形在生活中的體現.

(2)數學歸納推理認知第二階段:重復的看

教師活動:引導學生觀察展示的圖片,并追問學生圖片中“成對”的圖形具備什么特征?

學生活動:通過圖形感知全等圖形,對全等圖形有更深刻的理解.

(3)數學歸納推理認知第三階段:想象的看

教師活動:帶領學生拿出提前準備好的正方形卡紙,讓學生將卡紙沿對角線對折,然后沿折線剪開,并與同桌的三角形進行對比.

學生活動:學生會發現自己的三角形與同桌的可以完全重合.通過從生活中的全等到全等圖形最后到全等三角形,學生自己就可以總結出全等圖形的性質和特征.

(4)數學歸納推理認知第四階段:抽象的看

師生活動:師生共同總結出關于全等圖形、全等三角形的概念.形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形;能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

(5)數學歸納推理認知第四階段:一般的看

師生活動:學完“全等圖形”的概念后,利用概念去判斷一些圖形是否存在全等關系.

在探究1中,以一般三角形三邊之間的關系作為切入點,同時引導學生猜測直角三角形三邊的關系,借助網格紙計算面積,歸納推理出直角三角形邊之間的關系.探究2仍然是三角形問題,借助多媒體從熟悉的生活案例展開探究,通過觀察總結出全等三角形的特點和性質,著重培養學生的歸納推理能力,并借助已有知識深刻理解新知.

綜上可知,“圖形與幾何”知識具有較強邏輯性,它是培養學生歸納推理能力重要的知識板塊.在“圖形與幾何”的教學中,應充分發揮這部分知識的特點,培養學生的歸納推理能力.第一,在教學過程中把握“圖形與幾何”的思想本質和重要知識點,引導學生感受猜想、假設、歸納推理的過程與方法.第二,注意創設問題情境,選擇學生感興趣的、熟悉的領域導課,在實際情境中解決問題,促進學生歸納推理水平的發展.第三,采用單元教學,建立知識之間的緊密聯系,從單元的視角出發培養學生的核心素養,體現知識之間的邏輯性.第四,在練習、例題等解題訓練過程,注重對學生推理能力的考查.