一元二次方程根的判別式及根與系數關系的應用

?云南省曲靖市馬龍區第三中學 劉 陳

一元二次方程根的判別式及根與系數的關系,可用來判斷三角形的形狀,求代數式的值,構造倍根方程,求代數式的最值,求參數的值等,這些應用一方面體現了根的判別式及根與系數關系的價值,另一方面也使學生體會到了不同數學知識之間的聯系,有利于加深學生對這一部分數學知識的理解與掌握.

1 判斷三角形的形狀

當一元二次方程的系數或它的兩個根是三角形的邊長時,一元二次方程和三角形之間就有了聯系,利用一元二次方程根的情況可以判斷三角形的形狀[1].

例1已知△ABC的三邊長分別為a,b,c,方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0是關于x的一元二次方程.

(1)當x=-1時,你能確定△ABC的形狀嗎?為什么?

(2)當方程有兩個相等的實根時,你能確定△ABC的形狀嗎?為什么?

解析：(1)由題意,把x=-1代入方程,得a+c-2b+a-c=0,整理得a=b.因為a,b,c分別為△ABC三邊的長,所以△ABC為等腰三角形.

(2)由題意,Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,整得得b2+c2=a2.因為a,b,c分別為△ABC三邊的長,所以由勾股定理的逆定理,得△ABC為直角三角形.

評注：當三角形的三邊為一元二次方程的系數時,三角形的形狀與一元二次方程根的情況也有了聯系,本題設置的兩個問題對此做了很好的詮釋.

2 求代數式的值

所以m的值為2,△ABC的面積為1．

評注：本題第(2)小題以m作為聯系的紐帶,根據第一個方程中根與系數的關系求出m的值,然后代入關于a,b的方程中消去m,從而顯現出a,b的本質,再與勾股定理的逆定理結合,使問題轉化為幾何問題[2].

3 求代數式的最值

利用一元二次方程根與系數的關系可以求與兩根有關的代數式的值,也可以求代數式的最值.當一元二次方程有實數根時,根的判別式大于或等于0,可以據此求得字母的取值范圍,當所求代數式化為含有該字母的代數式時,就可以求得它的最值.

例3一元二次方程根與系數的關系反映了一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數之間的數量關系,相應的命題被稱為韋達定理,根據韋達定理解決下面問題:

(1)已知m,n是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根,試計算m+n與mn的值;

(2)因為實數m,n滿足m2-m-1=0,n2-n-1=0且m≠n,所以m,n可看作方程x2-x-1=0的兩根.根據韋達定理,得m+n=1,mn=-1.

(3)因為x1,x2是方程2x2+4x+m=0的兩個根,所以Δ=42-4×2×m≥0,即m≤2.

評注：當a≥b(b為常數)時,a有最小值,且最小值為b;當a≤b(b為常數)時,a有最大值,且最大值為b.

4 探討代數式的值能否為定值

對于與一元二次方程的根有關的代數式的值能否為定值這類問題,應先假設這個代數式的值能為定值,從而建立方程求得字母的值,然后檢驗這個值能否滿足原方程有實根,使原方程有實根的值就是符合題意的值.

例4已知關于x的方程kx2+(1-k)x-1=0.

(1)若該方程有兩個不等實根,求k的取值范圍．

解：(1)根據一元二次方程的定義和判別式的意義,得k≠0且Δ=(1-k)2-4k×(-1)>0,整理,得(1+k)2>0,解得k≠0且k≠-1.

評注：一元二次方程根與系數的關系是在方程有實根的情況下進行討論的,所以利用根與系數關系得到的字母的值,一定要看這個值是否在方程有實根時求得的字母取值范圍之內.只有在這個取值范圍之內的值才是符合題意的值.

積累數學活動經驗是數學教學的目標之一.以上四種類型有關根的判別式及根與系數關系的應用,有利于學生明白二者之間的依存關系,以及如何利用這兩個工具解答相關問題,也有利于學生積累解題經驗,促進學生核心素養的發展.