如何利用圖形的平移解決規律探索題

? 安徽省宿州市碼山縣晨光中學 郭祖濤

根據教學經驗,規律探索題在日常檢測與中考中出現的幾率非常大,且難度較大,往往是學生提高學業水平的“攔路虎”[1].基于此,本文中從例題分析出發,嘗試總結出利用圖形的平移解決規律探索題的方法.

1 規律探索題的素養體現

規律探索題之所以是初中數學教學的難點,是因為規律的探索尤為注重對規律性特征的把握,而這又依賴于從情境式的問題中尋找隱含的數學關系,整個過程可以看成是對規律性結構的重建與加工.因此,規律探索題主要體現了以下素養:

首先,數學抽象與邏輯推理素養.將圖形的平移抽象成點的變化,通過點的變化進行邏輯推理,并得到其他點的坐標,這體現了數學抽象與邏輯推理素養.

其次,直觀想象與邏輯推理素養.通過圖形可直觀地觀察點的運動情況,并總結出點的變化規律,從而運用邏輯推理得到其他點的坐標,這是直觀想象與邏輯推理素養的體現.

最后,邏輯推理及數學運算素養.點的運動會導致坐標的變化,而其變化規律既要通過邏輯推理得到,同時應用其規律推理其他點的坐標時,又是數學運算的體現.所以,應用圖形的平移解決規律探索題時,體現了邏輯推理及數學運算素養.

2 例題分析及解法評析

下面結合例題分析嘗試總結利用圖形的平移解決規律探索題的方法.

例1已知A1,A2,A3,A4,A5,……的坐標分別為(1,0),(1,1),(-1,1),(-1,-1),(2,-1),……,如圖1進行下去,則點A2 013的坐標是( ).

圖1

A.(504,-503) B.(504,504)

C.(-504,504) D.(-504,-504)

解析：根據觀察不難發現,凡是角標數字為4的倍數的點全部位于第三象限.

因為2 013÷4=503……1,所以A2 013在第四象限,故A2 012在第三象限.

由2 012÷4=503,可知A2 012是第三象限第503個點.

所以A2012的坐標應是(-503,-503).故A2013的坐標應是 (504,-503).

故選答案:A.

解法評析：本題主要考查學生觀察規律、總結規律和應用規律解決問題的能力.規律的觀察重在用數學眼光看待問題,規律的總結重在用數學的語言表達問題,規律的應用重在用數學方法解決問題,這是學科素養的體現.在解決這類問題時,抓住角標的變化規律,就可以抓住點的變化規律[2].

例2如圖2所示,在平面直角坐標系中,將點A(-1,0)做如下的連續平移,A(-1,0)→A1(-1,1)→A2(2,1)→A3(2,-4)→A4(-5,-4)→A5(-5,5)……,按此規律平移下去,則點A102的坐標是( ).

圖2

A.(100,101) B.(101,100)

C.(102,101) D.(103,102)

分析：根據題意可知,點A平移時所在象限每4次為一個周期.由102÷4=25……2,可知點A102的坐標與點A4n+2的坐標規律相同,分別求出A2,A6,A10的坐標,找出規律后即可求解.

解析：根據將點A(-1,0)作如下的連續平移,A(-1,0)→A1(-1,1)→A2(2,1)→A3(2,-4)→A4(-5,-4)→A5(-5,5)……,得到其中的規律就是點A平移時所在象限每4次為一個周期.

因為102÷4=25……2,所以點A102的坐標與點A4n+2的坐標規律相同.

因為A2,A6,A10的坐標分別是(2,1),(6,5),(10,9),以此類推,點A4n+2的坐標是(4n+2,4n+1),所以A102的坐標是(102,101).

故選答案:C.

解法評析：本題與例1的解法類似,都是找出點的下標的規律,據此找出點A的平移規律或平移周期,最后根據這一規律計算即可.

例3有一個從原點出發的動點,按照如圖3所示的箭頭移動,每次移動一個單位長度,依次得到點P1,P2,P3,P4,P5,P6,……,它們的坐標分別是(0,1),(1,1),(1,0),(1,-1),(2,-1),(2,0),……,按照這樣的規律進行下去,點P60的坐標是______.

圖3

分析：根據圖形分別求出n=3,6,9時對應的點的坐標,可知點P3n(n,0),將n=20代入可得.

解：因為P3(1,0),P6(2,0),P9(3,0),……,所以P3n(n,0).

當n=20時,P60(20,0).

故填答案:(20,0).

解法評析：本題考查了點的坐標的變化規律,仔細觀察圖形,分別求出n=3,6,9時對應的點的坐標是解題的關鍵.

3 方法總結

通過上面幾道例題的分析和解法評析不難發現,利用圖形的平移解決規律探索題,既有趣又探究意義十足,是訓練學生數學思維的重要方法.下面對利用圖形的平移解決規律探索題的方法作如下總結:

首先,利用圖形的平移解決規律探索題一定會應用圖形的平移知識,其中主要涉及點的平移規律[3].所以,在教學中需幫助學生不斷鞏固和強化圖形平移中點的平移規律.筆者建議,教師可通過例題變式或舉一反三的形式,讓學生接觸各種點的運動方式,如例1、例2的“旋轉式”或例3的“S式”等.這樣一來,學生就會不斷積累相應的分析與解題經驗,更有利于問題的解決.

其次,奠定知識基礎后,接著通過圖形觀察點的運動狀態.通常點的運動蘊藏著一定規律,這個規律不僅呈現出周期變化,而且往往與點的角標規律有關.所以,結合序號分析點的角標的變化規律對解決這類問題非常關鍵.但是,有時候角標的規律可能比較難分析,這就需要教師補充規律探索中的數字式規律,從而幫助學生彌補這一不足.

最后,在找到點的角標規律后,將題中要求的點的角標與該規律聯系起來,并進行相關的計算即可求解.這種計算往往比較簡單,但仍需學生多加注意.

綜上所述,盡管規律探究題的難度不小,且其中點的運動過程需用心分析,但并非意味著學生遇到此類問題時可“繞道而行”,相反應“迎難而上”.因此,作為一線初中數學教師要善于從題中總結出解題方法,幫助學生解決疑難問題[4].只有這樣,學生的探究能力和問題解決能力才會得到提高.