一題誘發 拓展利用 激發聯想 促進遷移
——探索含45°角問題的研題訓練

? 甘肅省定西市臨洮縣椒山初級中學 楊建霞

數學問題是啟發學生思維的源泉.教師在講解問題的過程中,只有抓住問題突破的方向,找到恰當的方法,才能正確啟發學生探究準確的思維路徑,在此基礎上引領學生及時總結相關解題方法與思路,將數學方法轉變為數學思想,再將數學思想沉淀為數學能力,從而轉化為數學綜合素養,至此,所訓練的問題才能真正凸顯其價值[1].

波利亞在《怎樣解題》一書中說過這樣的話:“教師最重要的任務之一是幫助學生分析問題,挖掘問題本質,尋求解題線索,辨析解題方法,有效地幫助學生提升分析和解決問題的能力.”

本文中以一道含有45°角的幾何問題為例展開研究分析,彰顯問題價值.

1 問題呈現

圖1

2 問題思考

圖2

初步結論:從上述問題的解析過程來分析,遇到45°的條件時往往可以構造等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的三線合一或者基本性質等展開進一步推理,再結合相關的條件構造全等三角形或者相似三角形,進而解決邊之間的關系或角度相等等問題.

3 拓展利用

如圖3,在Rt△ABC中,∠C=90°,且滿足AC>BC,BD平分∠ABC,點E在BC上,∠EDB=45°,若BE=5CE,CD=3,試求AB的長.

圖3

分析：本題條件中顯然凸顯的是∠EDB=45°,根據已知經驗,怎么構造等腰直角三角形呢?有幾種可能性,其一過點E作BD的垂線,其二是過點B作DE的垂線.通過分析可以發現,前者在推理過程中與已知條件聯系不上,故可考慮后者.如圖4,作BF⊥DE,交DE的延長線于點F,FN⊥BC于點N,FM⊥AC于點M,DH⊥AB于點H,連接CF.由△DMF≌△BNF,推理得到四邊形MCNF是正方形.設CE=a,則BE=5a.根據邊之間的關系可進行突破、解答[2].

圖4

激發聯想:只考慮簡單的45°,可以直接構造等腰直角三角形,從而找到問題的突破口,作出相關解答.若出現和為45°或者差為45°的情況,又該怎么處理呢?

例如,如圖5,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為平面內的一點.當點D在△ABC的外部,且滿足∠BDC-∠ADB=45°,請你證明線段CD與AD的數量關系.

圖5

本題中給出的條件是∠BDC-∠ADB=45°,這樣的條件顯然無法直接利用,根據上述問題給定的一種想法,可以在∠ADB外構造新的45°,這樣就能滿足∠BDC=∠ADB+45°.如圖6,在邊AD外直接構造等腰直角三角形,即過點A作AE⊥AD,且AE=AD,連接DE,CE,證△BAD≌△CAE(SAS),得∠ABD=∠ACE,再證△DOC≌△DOE,得CD=ED,即可解決問題.

圖6

結論升華:結合上面幾個問題的具體分析,我們發現如果遇到幾個角的差為45°角的問題時,可以根據相應兩個角的位置,重新構造等腰直角三角形,變差為和,再結合相關條件構造全等三角形或相似三角形進行分析研究[3].

4 促進遷移

如果在解題過程中遇到兩角和為45°時,往往與等腰直角三角形相聯系,或利用角之間和的關系進行等量代換,確定角與角之間的關系.

圖7

在這道試題中一個比較明顯的條件就是∠FEP+∠G=45°,如何轉化這個條件,形成推理條件呢?如圖8,根據∠FEP+∠FGO=45°和∠1=∠FGO+∠GOM,可以得到∠GOM=∠FEP;再根據∠GMO=∠PNE=90°,PE=GO,判斷得到△GOM≌△PEN(AAS);再得出G,R,P的坐標分別為(-3,12),(3,6),(6,3);過點Q作QK垂直于x軸于點K,則QK=BK;最后利用直線BQ的解析式得出結論.

圖8

從這幾道試題的研究過程可以發現,涉及到“45°”角的問題,通常構造等腰直角三角形,或者和等腰三角形聯系起來,借助相關條件形成全等三角形或相似三角形.不管哪種形式,都要準確判斷好構造的方向,或者聯系內在的隱形等腰三角形,這些都是解題的關鍵所在[2].

同樣地,遇到“60°”角的問題時,可以考慮構造等邊三角形,借助等邊三角形的特殊性獲取更多的條件,以突破問題的疑難點.

綜上可以發現,找到一種問題的解決思路,就能通過問題所體現的特點,舉一反三,這也是真正把握問題本質的要求所在.在教學中要充分挖掘這類問題的功效,加強問題聯想訓練,誘發學生解題思維,積極拓寬解題模式訓練,同時也要注意增強問題的潛在價值,在訓練過程中引導學生不斷深入探究,找到問題的模型,為提升綜合素養奠定基礎.