“構造輔助圓”在初中數學解題中的靈活運用

? 吉林師范大學數學與計算機學院 王 雪

“構造輔助圓”是指在原有的幾何圖形上,構建一個輔助圓,利用圓的特性來完成題目的解答.通過輔助圓的構造,能夠將幾何題目中較為繁雜的已知條件進行集中處理,同時能夠發現幾何圖形中的隱藏條件,利用對這部分條件的分析,快速解決問題.本文中結合實例,幫助學生明確輔助圓的應用環境,以及針對不同題型如何構造輔助圓.

1 “構造輔助圓”解決數學問題的應用現狀

目前初中生在解題的過程中,較少應用輔助圓,且應用效果不理想.在幾何題的解答過程中,輔助線的應用是比較常見的,但是有部分題目通過輔助線來解答依舊存在難度,甚至需要多條輔助線才能完成,如果學生用這種方法應對選擇題和填空題,就會浪費大量的時間.而應用輔助圓則可以為相關問題披上圓的外衣,這樣就可以依據圓的性質進行解題,從根本上起到化繁為簡的作用[1].

2 “構造輔助圓”解決數學問題的實際案例

2.1 輔助圓在求線段長度的幾何問題中的應用

在解決求線段長度的幾何問題中,通常是利用相同端點的線段構造輔助圓,以端點作為圓心,選取相等的線段作為半徑或直徑,完成輔助圓的構建后再利用圓的基本性質求解線段長度[2].

解析：由AE∥CD,得∠BDC=∠DBE.

由AB=AC=AD=AE,將點D,C,B,E視為圓上的點構建輔助圓,如圖1.于是弦DE與弦BC的長度相等.

圖1

因為EB為輔助圓的直徑,所以∠EDB=90°.

2.2 輔助圓在求度數的幾何問題中的應用

在解決求度數的幾何問題中,通常可以將公共點作為頂點,作三角形的外接圓.在構建輔助圓的過程中要將三角形與輔助圓建立明確的關系.

例2如圖2所示,△ABC為等腰三角形,且AB=AC,直線AP為△ABC外側直線,點B與點D關于AP軸對稱.

圖2

求證:∠1=∠2.

證明：∵點B,D關于直線AP對稱,

∴直線AP為線段BD的垂直平分線.

∴△ADB為等腰三角形.

∴AD=AB=AC.

故可以AC為半徑,點A為圓心,構建如圖3所示的輔助圓.

圖3

∵P為BD中點,且AP為過點E的直線,

∴△DEB為等腰三角形.

∴DE=BE.

∴∠EDB=∠EBD.

∴∠2=2∠EDB.

又∠1=2∠CDB(同弧所對的圓心角是圓周角的2倍),

∴∠1=∠2.

2.3 輔助圓在求圖形面積問題中的應用

在數學中考題中,涉及面積的題型也很多,當題目條件較多且分散的幾何圖形很難運用面積公式時,可以嘗試構建輔助圓,利用圓的基本性質以及圓的面積公式進行計算[3].

圖4

解析：依題意可知AB=AC=BC=AD,構建以點A為圓心,AB為半徑的圓,得到如圖5所示的輔助圓.

圖5

∵△ABC為等邊三角形,

∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°.

又∠BCP=90°,∠BCA=60°,

∴∠PCA=∠CDB=30°.

∴△BCD∽△APC.

∴BC∶AP=BD∶AC.

又BC=AC,

∴BC2=AP×BD.

2.4 輔助圓在求線段比或面積比問題中的應用

圖形中的某兩條線段成比例或圖形面積成比例這類題型是中考的難點和重點.利用輔助圓則可以結合圓的性質,通過圓中的線與角的關系進行求解.構建輔助圓時,要將有關線段置于輔助圓的關鍵位置,例如,可作為直徑、半徑或弧所對的弦.這樣容易發現線段之間的關系,從而更加簡便地進行解答[4].

例4在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,P是CB延長線上的一點,BP∶BC=k,已知0≤k≤1,過點B作AB的垂線,過點P作AP的垂線,使兩條垂線相交于點Q,且AP=PQ,連接AQ,求△ABC與△APQ的面積比.

分析：根據已知條件分析,△APQ的面積較難求解,所以可以根據△APQ來構建輔助圓.

解析：以AQ為直徑,AQ的中點O為圓心,構建如圖6所示的輔助圓.

圖6

∵AP=PQ,且∠APQ=90°,

∴△APQ為等腰直角三角形.

設BC=AC=m.

∵BP∶BC=k,

∴BP=km,PC=(k+1)m.

2.5 輔助圓在求線段極值問題中的應用

輔助圓在求線段極值問題中有著廣泛的應用,特別是在數學競賽中經常遇到.

例5在邊長為4的正方形ABCD中,P為對角線BD上的一個動點,且與點B,D不重合,連接AP,過B作AP的垂線,垂足為H,連接DH,求線段DH的最小值.

分析：由于無論點P如何運動,AB的長度都不會改變,因此可以AB為直徑,AB的中點E為圓心構建輔助圓,通過圓確定點H的運動軌跡.

解析：取AB中點E,連接DE,構建如圖7所示的幾何圖形,可得

圖7

綜上所述,“構造輔助圓”在初中數學解題中的廣泛應用,不僅包含大量的幾何問題,而且部分代數問題中也可使用.構建輔助圓時,要結合題目的具體情況,根據四點共圓的條件確定輔助圓.通過輔助圓在不同類型幾何問題中的應用,明確構建輔助圓在初中數學解題中的可行性與實用性,通過輔助圓的靈活應用,提升學生的實際解題能力.