變換視角 眾口能調
——一節專題復習課的實踐與思考

? 河南省體育中學 王亞敏

? 鄭州市第一中學 崔亞利

解題教學作為數學教學的基礎,其意義在于幫助學生學會應用數學知識、鞏固數學知識、發現數學知識.作為學校教育實踐者的一線教師,應從自身鮮活的教育實踐出發,在數學教學中要培養學生思維獨創性、深刻性與靈活性,養成獨立思考的習慣.針對中考壓軸題中常出現二次函數與角度結合的問題,提高復習效率讓不同層次的學生皆有收獲是我們追求的目標.本文中筆者以一節專題復習課“二次函數中的角度問題”為例,展示專題復習課能有效地讓學生喚醒并保持記憶,同時進一步深化思維,使不同特色的學生均有收獲和進步,實現眾口能調的教學過程.

1 例題呈現

(1)如圖1,P是二次函數圖象上在對稱軸右側的一個動點,∠POA=∠POB,求點P的坐標;

圖1

(2)如圖2,如果一次函數圖象與y相交于點C,點D在線段AC上,與y軸平行的直線DE與二次函數圖象相交于點E,∠CDO=∠OED,求點D的坐標.

圖2

2 例題分析

重點：初中數學教材中沒有提到解析幾何這樣的名詞,但是解析幾何的基本思想——以數解形、以形助數——已經為學生所接受和習慣.中考數學壓軸題往往與解析幾何有關,此類題型中的角度問題也是中考的熱點問題.綜合運用簡單的解析幾何知識與平面幾何知識解決問題成為大勢所趨.

難點：這道例題綜合考查學生對函數、方程等初中數學核心內容的掌握和運用情況.第(1)問的解決,最樸素的思路是直接設坐標直接求.但是這樣困難重重,突破并不容易.那么換種思路,轉向間接求,想辦法先求出直線OP的表達式,再與拋物線表達式聯立求點P的坐標.

3 學生的課堂反饋

3.1 第一類解法

直接求解,這也是多數同學思考的方向,但是能堅持下來并突破的人并不多.直接求解也分兩個方向.

學生2:我能突破.

如圖3,過點P作x軸的垂線,交OA于點M,交x軸于點N.

圖3

點評：這個方法用到的角平分線性質定理教材中沒有,屬于補充內容,所以有一部分同學從這個方向突破有難度.

學生3:我千方百計寫出OP的表達式,想通過聯立OP的表達式和二次函數的表達式求出點P的坐標.而由∠POA=∠POB知∠POB=22.5°,我知道tan22.5°就是kOP,但是,這不是特殊角怎么辦?

學生4:tan 22.5°可以通過構造法求出來.

圖4

點評：這個方法思路直接,但需要突破非特殊角的正切值,有些同學解決起來有困難.不過,對提出問題的同學仍要提出表揚,畢竟在黑暗中摸索了一段距離,有了強烈的認知沖突,再得到解決辦法,不僅印象深刻,思維也得到了延伸.

3.2 第二類解法

放眼射線OP乃至直線OP,只要直線OP上能夠出現一個特殊點(方便求出其坐標),就能定位OP.這一類方法應該是命題者的本意.此類方法也有兩種.

學生5:我注意到OA⊥CB,設直線AB與PO交于點G,如圖5,過點Q作QG垂直于x軸,垂足為G,則△OAQ≌△OGQ.

圖5

圖6

點評：這兩個同學的思路非常好,變換視角,不是緊盯著點P不放,而是放眼望去,尋找直線OP上更好求的點,曲線救國.這類辦法綜合運用了解析幾何與平面幾何的知識,很好地考查了初中數學的核心知識,這兩種方法也是出題人的本意.

3.3 第三類解法

學生得到的第三類解法如下.

圖7

點評：這個方法雖然超出了初中課標范圍,但事實上班級中至少有三分之一的同學能夠掌握,并且很好用.學有余力的同學應該掌握.

事實上,在十幾年前的初中教學中,高中的兩點間距離公式、斜率計算公式、中點坐標公式、互相垂直的兩條直線(斜率存在)的斜率之積等于-1等知識是直接滲透給初中生的,這是心照不宣的事實.負責中考命題的團隊與一線教師團隊,如同設置密碼和破譯密碼的對臺戲似的,在中考實踐中往往能碰撞出意想不到的思維火花.了解一線教師真實的教學情況,知道實踐中已經走得有多遠,負責中考命題的團隊才能準確定位翻新花樣的中考題應該帶我們到哪里去.教材改革、新課程標準、中考導向等合力之下,一線教師課堂的真實狀態也應有其參考價值.

4 利用思維導圖,整理第(2)問解題思路

思維導圖是理清思路和加深記憶的工具,能夠激發創意、節省時間,讓學生有序地去學習.通過思維導圖(如圖8)整合學生的解法,讓眾多解法條理清晰、可視化,歸類整理.解題教學中的這個環節充分展示了思維過程,關注各類學生的思維生長點,對不同層次的學生拓展思維、提升解題能力大有裨益.

圖8

第(1)問的思維導圖略,第(2)問的思維導圖如圖8所示.

5 教學總結與反思

解題教學中教師的精講和點評很重要,這需要教師精心備課.學生給出的解法多種多樣,教師隨時都要把握學生解法的精髓.教學中,針對學生的第一類解法,通過點撥,幫助和鼓勵他們把問題解決徹底.很顯然第一類解法不是出題人的本意,于是引導學生轉換視角.第二類解法,不是盯著點P不放,而是放眼望去,讓特殊點躍入眼簾,以形助數得到直線OP上特殊點的坐標,然后得到直線OP的表達式,再聯立方程組以數解形,這是中學數學的核心內容之一.第三類解法是針對學有余力的學生,兩條直線的夾角正切值公式在解決角度問題往往舉重若輕,比如第(2)問的解決就可用到.第三類解法與第二類解法是殊途同歸,最后都是聯立方程組以數解形.

數學核心素養的提升是一個過程,它需要在多角度的深切體驗中深化.具體知識與問題是數學思維的載體,變換視角解決同一問題并發現這些方法間的關聯與統一是提升思維品質常用的策略——通俗來說就是辦法總比困難多.變換視角,經歷從不同角度尋求分析問題與解決問題的方法的過程,體驗解決問題的多樣性,掌握分析問題與解決問題的一些基本方法.解題教學中,教師的升華總結、視角歸類可以讓不同層次的學生都打開思路,選擇適合自己的方法走下去,同時使學生感受換一種眼光看問題,數學核心素養得到了提升,思維的深刻性、廣泛性與創新性得到拓展.如果真對提高學生思維能力有所幫助,則它不僅僅是一種方式和技巧,說它是一種智慧也并不為過.變換視角解題,改變課堂上有人吃不飽、有人消化不了的現象,各層次學生博采眾長均有收獲,使眾口難調的課堂變得眾口能調.