巧用函數(shù)思想妙解平面幾何問(wèn)題

? 甘肅省定西市臨洮縣洮陽(yáng)初級(jí)中學(xué) 黃永慧

函數(shù)思想(Theory and thought of function)是解決“數(shù)學(xué)型”問(wèn)題中的一種思維策略.自人們運(yùn)用函數(shù)以來(lái),經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究和摸索,科學(xué)界普遍有了一種意識(shí),那就是函數(shù)思想,在運(yùn)用這種思維策略去解決問(wèn)題時(shí),科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)它們都有著共同的屬性,那就是定量和變量之間的聯(lián)系.

回顧數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史,早在幾百年之前法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家笛卡兒就曾提出過(guò)所謂的“萬(wàn)能方法”,這種方法就是把函數(shù)思想應(yīng)用到幾何中去,把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,再把代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.

解決此類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中,要善于挖掘題目中的隱含條件,構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì),是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵.對(duì)所給問(wèn)題的觀察、分析與判斷比較深入和充分時(shí),會(huì)產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系,構(gòu)造出函數(shù)原型.另外,方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題,即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題.

1 巧建平面直角坐標(biāo)系利用函數(shù)妙解線(xiàn)段問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn),凡是可以運(yùn)用函數(shù)解析法來(lái)解決的一些問(wèn)題,它們的條件大都有鮮明的特征,即具備建立平面直角坐標(biāo)系的條件.如在通常情況下,可以根據(jù)相對(duì)應(yīng)的條件,選取合適的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),互相垂直的線(xiàn)段所在的直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)解答問(wèn)題,會(huì)起到事半功倍的效果[1].

例1如圖1,四邊形ABCD是菱形,且∠ABC=60°,△ABE是等邊三角形,M為對(duì)角線(xiàn)BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN,AM,CM.

圖1

(1)求證:△EBN≌△ABM.

(2)當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí),AM+BM+CM的值最小?請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在(2)的條件下,若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,求BM的長(zhǎng)度.

分析：(1)顯然,根據(jù)△ABE是等邊三角形和菱形ABCD的性質(zhì)可證明△EBN≌△ABM.

(2)連接CE,當(dāng)點(diǎn)M位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,求出EC的值即可.

(3)根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)BN⊥BC,M又是BD和EC的交點(diǎn),故可以考慮根據(jù)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)來(lái)解決點(diǎn)M的坐標(biāo)問(wèn)題,從而很容易的得到BM的長(zhǎng)度.

根據(jù)題意建立以B為原點(diǎn),以BC所在直線(xiàn)為x軸,以BN所在直線(xiàn)為y軸的平面直角坐標(biāo)系,再結(jié)合菱形的性質(zhì)可求出直線(xiàn)BD和直線(xiàn)CE的解析式,求出交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求解.

2 巧用一次函數(shù)解答動(dòng)態(tài)三角形面積問(wèn)題

動(dòng)態(tài)面積類(lèi)問(wèn)題一直是學(xué)生害怕的難點(diǎn)問(wèn)題,由于動(dòng)點(diǎn)變化引起其他圖形變化,因此在圖形變化過(guò)程中很難確定具體的數(shù)量關(guān)系.這種情況下可以考慮采用函數(shù)關(guān)系來(lái)分析,即用含自變量的代數(shù)式表示因變量,根據(jù)獲得的解析式進(jìn)行求解會(huì)讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)單容易[2].

例2如圖2,在△ABC中,AB=1,CD⊥AB于點(diǎn)D,E是線(xiàn)段CD上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F在直線(xiàn)AB的下方,∠ACB=∠FEB=90°,∠A=∠EFB=30°,試探求CE的長(zhǎng)與△BDF的面積關(guān)系.

圖2

分析：由于點(diǎn)E是線(xiàn)段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),因此CE的長(zhǎng)度是一個(gè)變量,我們可以考慮它是否和△BDF的面積存在一定的函數(shù)關(guān)系.

解析：設(shè)CE=a,△BDF的面積為y.如圖3,作FG⊥AB于點(diǎn)G,延長(zhǎng)FG至點(diǎn)N,作EN⊥FN,EM⊥BM于點(diǎn)M,得矩形DBME、矩形DENG.

圖3

3 巧用三角函數(shù)解答直角三角形問(wèn)題

三角函數(shù)知識(shí)不僅僅可以直接用來(lái)解直角三角形,在幾何問(wèn)題中也可以進(jìn)行綜合應(yīng)用,有些問(wèn)題利用三角函數(shù)來(lái)解答能使問(wèn)題更加明朗.如,利用三角函數(shù)的定義把握三角形邊與角之間的關(guān)系,利用等角的關(guān)系可以將不同三角形的邊之間的關(guān)系聯(lián)系在一起,進(jìn)一步優(yōu)化解題思路,讓平面幾何問(wèn)題的解答過(guò)程變得更加簡(jiǎn)捷、巧妙.

例3如圖4,Rt△ABC中有正方形DEFG,點(diǎn)D,G分別在AB,AC上,點(diǎn)E,F在斜邊BC上,求證:EF2=BE·FC.

圖4

4 巧用二次函數(shù)解答四邊形最值問(wèn)題

二次函數(shù)最重要的作用之一就是利用函數(shù)解析式求解最值問(wèn)題,因此在最值求解過(guò)程中,可以利用所給條件,列出二次函數(shù)的解析式,借助解析式分析最大值或最小值,也可以借助二次函數(shù)圖象判斷最值問(wèn)題.

例5某市進(jìn)行河灘治理,優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖5所示,在河畔的一處灘地上規(guī)劃一個(gè)五邊形河畔公園ABCDE.按設(shè)計(jì)要求,要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個(gè)四邊形人工湖OPMN,使點(diǎn)O,P,M,N分別在邊BC,CD,AE,AB上,且滿(mǎn)足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知五邊形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=90°,AB=800 m,BC=1 200 m,CD=600 m,AE=900 m.為滿(mǎn)足人工湖周邊各功能場(chǎng)所及綠化用地需要,想讓人工湖面積盡可能小.請(qǐng)問(wèn),是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN?若存在,求四邊形OPMN面積的最小值及這時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖5

解析：根據(jù)圖形特點(diǎn),將圖形補(bǔ)齊,如圖6,分別延長(zhǎng)AE與CD,交于點(diǎn)K,則四邊形ABCK是矩形.設(shè)AN=x,則PC=x,BO=2x,BN=800-x,AM=OC=1 200-2x,MK=2x,PK=800-x,進(jìn)而得出S四邊形OPMN=4(x-350)2+470 000,故當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離為350 m時(shí),四邊形OPMN面積的最小值為470 000 m2.

圖6

當(dāng)然,運(yùn)用二次函數(shù)可以解決很多貼近生活實(shí)際的幾何圖形問(wèn)題,取得最值的情況需要具體分析.一是在二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取最值;二是要對(duì)多個(gè)函數(shù)分別求得最值后再通過(guò)比較獲取最值;三是在不包括二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的一側(cè)取得最值;四是在對(duì)稱(chēng)軸附近的整點(diǎn)處獲取最值.特別是在解決具體實(shí)際應(yīng)用題時(shí),要注意根據(jù)題意靈活把握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),并與函數(shù)圖象結(jié)合起來(lái)進(jìn)行求解.

函數(shù)思想在應(yīng)用過(guò)程中具有廣泛性、多樣性和靈活性,在教學(xué)中要重視函數(shù)思想的滲透,引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘平面幾何問(wèn)題中的函數(shù)思想,能夠巧用函數(shù)定義、性質(zhì)、圖象來(lái)分析問(wèn)題,轉(zhuǎn)化問(wèn)題,解答問(wèn)題,從而不斷提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).