基于亞群和差分進化的混合蜻蜓算法

王 波，王 浩，杜曉昕，鄭曉東，周 薇

（齊齊哈爾大學 計算機與控制工程學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

0 引言

當今連續(xù)和離散的優(yōu)化問題日益復雜，傳統(tǒng)的數(shù)學方法無法為這類問題提供最優(yōu)解。而元啟發(fā)式算法在面臨這類復雜問題時，體現(xiàn)出了高速、成本低、魯棒性強等優(yōu)點。因此近年來涌現(xiàn)出了許多新興的元啟發(fā)式優(yōu)化算法，如：遺傳算法［1］、模擬退火算法［2］、人工魚群算法［3］、布谷鳥搜索算法［4］、鯨魚優(yōu)化算法［5］等，為解決具有高維、非線性、多極值的復雜全局優(yōu)化問題提供了有效的解決方案。蜻蜓算法（Dragonfly Algorithm，DA）［6］作為一種新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法，一經提出就受到了研究人員的廣泛關注。蜻蜓算法模擬了蜻蜓動態(tài)飛行和靜態(tài)捕食的場景，分別對應元啟發(fā)式算法的勘探和開發(fā)階段，具有算法簡單、參數(shù)少和收斂快等優(yōu)點。因此，蜻蜓算法被廣泛應用于支持向量機［7］、神經網絡［8］、極限學習機［9］、特征選擇［10］、工程設計［11］、圖像分割［12］等優(yōu)化問題并取得了良好效果。

蜻蜓算法雖然有較高的全局勘探能力和較高的收斂速度，但是后期的靜態(tài)捕食機制導致它的收斂精度較低，易在迭代后期陷入局部最優(yōu)。因此為了改進蜻蜓算法收斂精度低、易陷入局部最優(yōu)的缺陷，Scree Ranjini 等［13］提出一種新穎的基于記憶的混合蜻蜓算法（Memory based Hybrid Dragonfly Algorithm，MHDA），在DA 中引入了粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO），利用每個粒子歷史最優(yōu)的機制引導蜻蜓的尋優(yōu)過程，充分利用了DA 的全局勘探能力和粒子群的局部開發(fā)能力，極大地提升了算法的尋優(yōu)能力。

Sayed 等［14］提出一種混沌蜻蜓算法（Chaotic Dragonfly Algorithm，CDA），將混沌優(yōu)化算法（Chaos Optimization Algorithm，COA）融入DA 中用于調控蜻蜓的五種群體行為，增加了蜻蜓算法跳出局部最優(yōu)的可能，提升了收斂精度，最后將CDA 應用于數(shù)據(jù)的特征提取并通過實驗驗證了混沌蜻蜓算法的優(yōu)越性。Singh 等［15］針對蜻蜓算法在復雜的工程優(yōu)化問題上存在的收斂精度低等缺點，對蜻蜓算法的權重因子和萊維（Levy）飛行進行了改進，并成功地將改進的蜻蜓算法應用于確定配電網絡中的最佳能源組合問題。

為了平衡蜻蜓算法的開發(fā)和勘探能力，Cui 等［16］提出了動態(tài)集群因子來平衡全局和局部能力，并在位置更新機制中引入量子局部最優(yōu)和全局最優(yōu)來提升算法的開發(fā)能力。為了解決蜻蜓算法容易陷入局部最優(yōu)以及收斂精度低的不足，張水平等［17］提出了一種基于隨機替換和混合變異的蜻蜓算法，通過隨機替換來提高初始解的質量，利用混合變異來跳出局部最優(yōu)，最終提高了算法精度。

綜上所述，蜻蜓算法存在收斂精度低、易陷入局部最優(yōu)、收斂慢等缺陷，主要原因在于，DA 對五種行為的參數(shù)高度敏感以及在Levy 飛行時未采取歷史經驗引導。為了解決上述問題，本文提出一種基于亞群和差分進化的混合蜻蜓算法（Hybrid Dragonfly Algorithm based on Subpopulation and Differential Evolution，HDASDE）。本文的主要工作如下：

1）使用混沌映射來生成初始種群來增加種群的多樣性。

2）對原始的蜻蜓算法和差分進化（Differential Evolution，DE）算法進行改進以加強它們的勘探和開發(fā)能力。

3）使用亞群策略將種群劃分為兩個亞群：一個亞群使用改進的DA 提升算法的全局勘探能力；另一個亞群使用改進的DE 算法來提升算法局部開發(fā)能力。

4）提出亞群動態(tài)變化機制，使HDASDE 在迭代的過程中逐漸由全局勘探轉變?yōu)榫植块_發(fā)。

1 相關工作

本章主要介紹了蜻蜓算法（DA）和差分進化（DE）算法的基本原理并對它們的優(yōu)缺點進行了分析。

1.1 蜻蜓算法

蜻蜓算法（DA）［6］受到了理想狀態(tài)下蜻蜓的狩獵和遷徙的啟發(fā)。蜻蜓的狩獵行為是指一小群蜻蜓在小范圍內尋找食物源，對應仿生計算算法的開發(fā)階段；蜻蜓的遷徙行為是指大量蜻蜓在一個方向上長時間大跨度地飛行，對應仿生計算算法的探索階段。蜻蜓的行為遵循分離、對齊、聚集、覓食和避敵的原則，因此蜻蜓群體中的個體位置更新主要依靠五個主要的因素。

1）分離（避免碰撞）的計算如式（1）所示：

其中：X表示當前個體位置；Xj表示第j個相鄰個體的位置；N是相鄰個體的數(shù)量。

2）對齊（列隊飛行）的計算如式（2）所示：

其中，Vj表示第j個相鄰個體的飛行速度。

3）聚集行為的計算如式（3）所示：

4）覓食行為的計算如式（4）所示：

其中，X+表示食物源。

5）躲避天敵的計算如式（5）所示：

其中，X-表示敵人位置。

蜻蜓算法認為蜻蜓的行為是這五種因素的結合，為了模擬蜻蜓的運動，蜻蜓個體步長更新如式（6）所示：

其中：s為分離權重；a為對齊權重；c為聚集權重；f為食物因子；e為天敵因子；w為慣性權重；t為迭代次數(shù)。

為了提高DA 的全局搜索能力和收斂精度，蜻蜓的位置更新有兩種方式：當該個體周圍存在鄰近個體時，采用式（7）進行位置更新；否則采用式（8）的Levy 方式進行位置更新。

其中：t是當前迭代次數(shù)；d是位置向量的維數(shù)。Levy 的計算如式（9）所示：

其中：r1和r2是［0，1］內的d維隨機數(shù)；β=1.5。σ的計算如式（10）所示：

飛行控制函數(shù)Γ()的計算如下所示：

Γ(1+β)=(β)！

1.2 差分進化算法

差分進化（DE）算法［18］是在遺傳進化算法的基礎上提出的一種用于優(yōu)化非線性和不可微連續(xù)空間函數(shù)的啟發(fā)式優(yōu)化算法，具有開發(fā)能力強、收斂快等優(yōu)點。DE 算法主要由變異、交叉、選擇三部分組成。

1）變異。當種群進化到第t代時，對它的父代個體Xit進行變異得到變異個體，過程如式（11）所示：

其中：s1、s2、s3 是隨機從群體中選擇的個體下標；F為縮放因子為差分向量。

2）交叉。通過交叉操作產生下一代個體：

其中，CR∈[0，1]為交叉率。

3）選擇。通過比較適應度值的大小來選擇更合適的個體，作為下一代的個體。如式（13）所示：

2 基于亞群和差分進化的混合蜻蜓算法

針對蜻蜓算法易陷入局部收斂，收斂精度低等缺陷，本文提出了一種基于亞群和差分進化的蜻蜓算法（HDASDE），從以下五方面對基本的蜻蜓算法進行了優(yōu)化：1）使用混沌映射初始化種群，使初始化種群均勻分布，提高種群的多樣性。2）使用亞群策略混合差分進化算法和蜻蜓算法，平衡算法的開發(fā)和勘探能力。3）改進蜻蜓五種行為的參數(shù)因子和Levy飛行來均衡蜻蜓算法的勘探和開發(fā)能力。4）提出一種混沌躍遷機制來幫助蜻蜓算法跳出局部收斂。5）引入反向學習策略來提高算法的尋優(yōu)速度。通過這些優(yōu)化方式，充分利用了蜻蜓算法的全局勘探能力和差分進化算法的開發(fā)能力，從整體上提高了算法的優(yōu)化能力。

2.1 種群初始化

大量研究表明，初始化種群的質量能影響群智能優(yōu)化算法的收斂速度和收斂精度。但是基本的蜻蜓算法通過隨機數(shù)生成初始化種群，會產生種群分布不均勻、多樣性低等不足。而混沌映射［19］對生成的隨機性序列初值敏感，具有遍歷性、隨機性和長期不可預測性等優(yōu)點。因此為增強初始種群多樣性，本文使用混沌映射代替隨機數(shù)來進行種群的初始化。常見的用于種群初始化的混沌映射主要有Logistics 映射［20］和Tent 混沌映射［21］。Logistics 映射作為一種典型的混沌映射，如式（14）所示；Tent 混沌映射又稱為帳篷映射，如式（15）所示。因為Tent 混沌映射具有更均勻的遍歷性，因此文本使用Tent 混沌映射生成初始種群。

其中，υ∈(0，1)。

2.2 亞群策略

亞群策略［22］是一種常用的算法優(yōu)化策略，它將種群劃分為多個亞群，每個亞群執(zhí)行不同區(qū)域的勘探和開發(fā)，能極大地增強算法的全局勘探能力。由沒有免費的午餐定理［23］可知，在亞群策略增強了算法的全局勘探能力的同時，算法也損失了一定的局部開發(fā)能力。針對亞群策略的這一缺陷，本文提出一種動態(tài)雙亞群策略，將整個種群按照適應度排序，劃分為兩個亞群并且借助亞群結構將DA（負責全局勘探）與DE 算法（負責局部開發(fā)）混合，充分利用兩種算法的優(yōu)勢。動態(tài)雙亞群策略如圖1 所示。

圖1 動態(tài)雙亞群策略示意圖Fig.1 Schematic diagram of dynamic double subpopulation strategy

從圖1 可以看出，動態(tài)雙亞群策略一開始就將種群劃分為兩個亞群，由于DE 亞群主要負責局部開發(fā)，因此將適應度最好的前1/4 劃分為DE 亞群。在迭代的過程中，算法逐漸由全局勘探轉變?yōu)榫植块_發(fā)，所以亞群內的個體數(shù)應該是動態(tài)變化的，亞群的個體數(shù)量由式（16）和式（17）決定。

其中：nDA向下取整；N為全部個體數(shù)量；T為最大迭代次數(shù)；t為當前迭代次數(shù)。

2.3 改進的蜻蜓算法

由基本的蜻蜓算法（DA）可知，DA 主要模仿了蜻蜓的五種覓食行為，但收斂精度低、易陷入局部收斂，因此在使用亞群策略將算法混合前，對基本的DA 進行了改進。

2.3.1 蜻蜓步長更新改進

由基本蜻蜓算法可知，當蜻蜓附近沒有鄰近個體時，依賴于式（8）進行位置更新。Levy 飛行作為一種隨機游走，可以很好地模擬動物的生活軌跡。如圖2 所示，Levy 飛行有較小的概率進行一次大的躍遷（對應動物長途跋涉尋找棲息地的過程），有較大的概率進行小范圍的隨機行走（對應動物在合適的棲息地覓食的行為）。針對在蜻蜓算法的初期僅使用Levy 飛行進行探索會導致局部開發(fā)能力不足，而錯失全局最優(yōu)解的缺點，本文提出改進的位置更新公式，使用全局最優(yōu)解來引導蜻蜓進行Levy 飛行，如式（18）所示。

圖2 Levy飛行軌跡Fig.2 Levy flight trajectory

其中：α∈[0，1]；b為一個維度為d的隨機向量；d是位置向量的維數(shù)；gbest為全局最優(yōu)解。

蜻蜓不斷勘探的過程會吸引越來越多的蜻蜓聚集在一起列隊飛行或捕食，此時蜻蜓的步長更新方式如式（19）所示，它們的步長主要受到五種行為因子的影響，而基本的參數(shù)因子均由隨機數(shù)生成，不能很好地調節(jié)算法的勘探和開發(fā)能力。Saremi 等［24］證明使用混沌映射來取代隨機數(shù)是提高群智能算法在局部最優(yōu)回避和收斂速度方面的性能的最佳方法之一，因此本文提出了一種基于Tent 混沌的步長更新方式，如式（20）所示：

其中：γ是由Tent 混沌映射生成的混沌向量；μ為自適應權重因子；t為當前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)；a，b∈[0，1]。

2.3.2 混沌躍遷機制

由基本的蜻蜓算法可知，隨著迭代的過程，蜻蜓的活動逐漸由動態(tài)飛行轉變?yōu)殪o態(tài)覓食行為，之后便一直保持靜態(tài)覓食行為。由于缺乏跳出食物源的行為，所以會導致蜻蜓算法全局勘探能力弱，易陷入局部收斂。針對這一缺陷，本文提出一種混沌躍遷機制幫助蜻蜓跳出當前食物源，尋找新的食物源，如式（21）所示：

其中：Ct=0.2；R和U為兩個Tent 混沌向量；bl、bu分別為維度的上下限；r為[0，1]的一個隨機數(shù)。

其中：λ∈[0，1]；t為當前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)。

2.4 改進的差分進化算法

反向學習策略［25］作為一種學習策略，可以提高算法的收斂速度，一維的反向學習過程如圖3 所示。由圖3（a）可知，反向學習策略可以使一些適應度差的位置迅速接近最優(yōu)位置；由圖3（b）可知，反向學習也會使一些適應度好的位置迅速遠離最優(yōu)位置。為了避免這種情形，本文引用貪婪策略從當前位置和方向位置中選擇一個適應度最好的位置保留，如式（23）和式（24）所示。由圖3 可知，通過反向學習能產生更優(yōu)質的適應度值位置，快速縮小群體維度上下限，有效提升算法的收斂速度。因此本文在DE 算法中引入反向學習來強化算法的局部開發(fā)能力，同時改進DE 算法的變異操作，使用全局最優(yōu)的差分向量取代隨機生成的差分向量，如式（25）所示，來進一步加快全部個體維度的上下界限變化。

圖3 一維的反向學習Fig.3 One-dimensional opposition-based learning

其中：gbest為全局最優(yōu)位置；s1和s2 是隨機從群體中選擇的個體下標；Xub和Xlb為整個種群維度的動態(tài)的上下界限；F()為應適度函數(shù)；X_OPi為反向位置。

2.5 基于亞群和差分進化的混合蜻蜓算法

綜上所述，本文改進了基本的DA 和DE 算法，并使用亞群策略將改進的蜻蜓算法和差分進化算法進行混合，提出了基于亞群策略和差分進化的蜻蜓算法（HDASDE），算法偽代碼如算法1 所示，算法流程如圖4 所示。

圖4 HDASDE流程Fig.4 Flowchart of HDASDE

算法1 HDASDE。

輸入 目標函數(shù)f；

輸出X+。

3 實驗與結果分析

實驗在intel Core i5-8400 CPU@2.80 GHz，16 GB 內存，Matlab2019a 下實現(xiàn)。為了檢測算法的有效性，從文獻［6］中挑選13 個典型的優(yōu)化函數(shù)進行實驗，其中：單峰函數(shù)F1～F6能測試算法的局部開發(fā)能力；多峰函數(shù)F7～F13能測試算法跳出局部收斂，尋找全局最優(yōu)的勘探能力。13 個函數(shù)如表1 所示。將本文的HDASDE 與DA［6］、DE［18］、人工蜂群（Artificial Bee Colony，ABC）［26］、PSO［27］、灰狼優(yōu)化（Grey Wolf Optimizer，GWO）［28］進行對比。

表1 測試函數(shù)Tab.1 Test functions

為了確保實驗的準確性，算法參數(shù)統(tǒng)一設置為最大迭代次數(shù)Max_iter=1 000，種群規(guī)模N=40，函數(shù)最大評估次數(shù)為40 000。為了避免實驗的偶然性，每一種算法都進行了40 次獨立的實驗，并計算最優(yōu)值、平均值、標準差。最優(yōu)值xbest=表示第i次獨立運行時算法達到的最優(yōu)解；平均值標準差σ=

實驗結果如表2 所示，最優(yōu)結果加粗表示。由表2 可知，在F1～F6單峰函數(shù)40 次的獨立測試得到的各項指標中，HDASDE 在F1、F4、F6函數(shù)中均找到了函數(shù)的理論極值，而在F2、F3、F5函數(shù)中，HDASDE 的尋優(yōu)能力僅次于GWO，表明HDASDE 有較優(yōu)秀的局部開發(fā)能力。在多峰函數(shù)F7～F13中，HDASDE 在F8～F13的函數(shù)測試中均優(yōu)于其他算法，表明算法具有較強的全局勘探能力；同時HDASDE 在F9、F11函數(shù)中找到了理論極值，表明算法不僅擁有較強的全局勘探能力，而且有一定的開發(fā)能力。

圖5 為6 種算法獨立求解6 個單峰測試函數(shù)40 次所得結果的箱線圖，F(xiàn)obj為測試函數(shù)的適應度值。從圖5 可知，HDASDE 在F1、F4、F6中均無異常點出現(xiàn)，說明它在求解這些測試函數(shù)時有穩(wěn)定的表現(xiàn)；而在F2、F3、F5中雖然有異常點出現(xiàn)，但均遠少于DA、DE 算法、ABC 算法、PSO 算法。

圖5 單峰函數(shù)測試的箱線圖Fig.5 Boxplots of unimodal function test

圖6 為6 種算法獨立求解6 個多峰測試函數(shù)40 次所得結果的箱線圖。可以看出，HDASDE 在多峰函數(shù)的測試中結果分布最集中，異常值最少，說明HDASDE 在處理復雜的多峰函數(shù)時具有良好的表現(xiàn)。綜上所述，HDASDE 在13 個測試函數(shù)中，結果分布相對其他對比算法最集中，表明HDASDE具有較強的魯棒性。

圖6 多峰函數(shù)測試的箱線圖Fig.6 Boxplots of multimodal function test

為了更精準地展現(xiàn)HDASDE 的優(yōu)勢，采用Wilcoxon 統(tǒng)計檢驗在統(tǒng)計學層面判斷不同算法在13 個測試函數(shù)下的顯著性區(qū)別。將6 種算法獨立求解13 個測試函數(shù)40 次得到的結果，在置信度為0.05 的條件下進行檢查，判斷HDASDE 與對比算法的顯著性差異。Wilcoxon 統(tǒng)計檢驗結果如表3 所示。由表3 可知，在13 個測試函數(shù)中，HDASDE 性能在全部的測試函數(shù)中均優(yōu)于DA、DE 算法和ABC 算法，在12 個函數(shù)中優(yōu)于PSO 算法，在10 個測試函數(shù)中優(yōu)于GWO 算法。因此基于統(tǒng)計學的分析，在收斂精度上，HDASDE 明顯優(yōu)于對比算法。

表3 Wilcoxon符號秩檢驗Tab.3 Wilcoxon signed-rank test

圖7 為6 種算法在部分測試函數(shù)上的收斂曲線。由圖7可知，在除了F3以外的函數(shù)外，HDASDE 的收斂精度遠高于其他算法，但是由于它使用了亞群策略混合差分進化算法，前期偏向于DA 的全局勘探能力，所以HDASDE 的收斂速度小于其他算法，但由F1～F6可知HDASDE 獲得了較高的收斂精度；由F7～F13可知，HDASDE 有較強的跳出局部最優(yōu)能力（在多峰函數(shù)的測試中收斂精度均遠高于其他算法，并且在F9和F11中找到了理論極值）。

圖7 部分函數(shù)收斂曲線對比Fig.7 Partial function convergence curve comparison

4 工程優(yōu)化設計問題

為了驗證本文算法HDASDE 求解工程優(yōu)化問題的有效性和可行性，將HDASDE 與5 種基本優(yōu)化算法，在三桿桁架的工程設計問題上進行優(yōu)化設計，并與文獻［29］中記錄的多種算法求解相應的問題的最優(yōu)值進行對比。為了保證測試的公正性，所有測試問題的約束條件、變量范圍、常參數(shù)設置均與標準問題完全相同。對比算法各自獨立運行50 次，種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)max_iter=1 000。

4.1 求解三桿桁架優(yōu)化設計問題

三桿桁架結構的動力學模型如圖8 所示。三桿桁架的設計目標是通過尋找全局最優(yōu)值，設計出重量最小的三桿桁架［30］。在該模型中桿1、3 的橫截面面積相同（A1=A3），三桿桁架問題有兩個優(yōu)化變量，分別為桿1、3 的橫截面積A1，桿2 的橫截面積A2。這兩個優(yōu)化變量｛A1，A2｝構成了一個二維約束優(yōu)化問題。三桿桁架優(yōu)化問題的各維度的取值范圍、適應度函數(shù)、不等式約束條件、常變量取值如下所示。

圖8 三桿桁架結構Fig.8 Three-bar truss structure

適應度函數(shù)：

其中：l為桁架的撓度；P為屈曲荷載；σ為應力。

針對約束問題，通常根據(jù)約束條件的特點構造出懲罰函數(shù)，然后加入到目標函數(shù)中，將它轉化為無約束問題。新目標函數(shù)的解在懲罰值z趨于無窮時與原始目標函數(shù)的解一致。本文采用外點罰函數(shù)法對上述問題進行轉化，新的適應度函數(shù)如式（32）所示：

其中：z為懲罰值；n為約束條件個數(shù)；λ為懲罰常數(shù)。

4.2 算法求解三桿桁架優(yōu)化設計問題的結果分析

表4 顯示了HDASDE 與DA［6］、DE［18］、ABC［26］、GWO［28］、PSO［27］以及文獻［29］中列出的其他10 種算法：蚱蜢優(yōu)化算法（Grasshopper Optimization Algorithm，GOA）、蟻獅優(yōu)化（Ant Lion Optimizer，ALO）、自適應灰狼優(yōu)化算法-Ⅲ（Modified GWO-Ⅲ，MGWO-Ⅲ）、自適應灰狼優(yōu)化算法-Ⅱ（Modified GWO-Ⅱ，MGWO-Ⅱ）、灰狼優(yōu)化算法-Ⅰ（GWO-Ⅰ）、正余弦算法（Sine Cosine Algorithm，SCA）、多元宇宙優(yōu)化（Multi-Verse Optimizer，MVO）、引力搜索算法（Gravitational Search Algorithm，GSA）、布谷鳥搜索（Cuckoo Search，CS）、ERDSSA（adaptive Dynamic Role Salp Swarm Algorithm with Effective scaling and random crossover strategy）在求解三桿桁架設計問題的最優(yōu)值的比較。

表4 不同算法求解三桿桁架設計問題得到的最優(yōu)值Tab.4 Optimal values obtained by different algorithms in solving three-bar truss design problem

表4 是每個算法獨立運行50 次所得最優(yōu)值，最優(yōu)值越低，結果越好。從表4 可以看出，對于三桿桁架優(yōu)化設計問題，本文的HDASDE 與PSO、ALO 算法所求得的最優(yōu)值均為263.895 843，均小于其他算法的最優(yōu)值。因此HDASDE 在求解三桿桁架優(yōu)化問題時能求得一個較好的有效值，驗證了本文算法的有效性。而且?guī)缀跛械娜褐悄軆?yōu)化算法均能找到一個較好的最優(yōu)解（最優(yōu)解的差距均在±1.0 之內），充分說明了群智能優(yōu)化算法在求解工程優(yōu)化問題上的有效性，同時HDASDE 求解出的最優(yōu)值仍優(yōu)于其他算法，驗證了HDASDE 對于求解工程優(yōu)化設計問題優(yōu)良可信的求解能力。

5 結語

本文使用亞群策略將蜻蜓算法（DA）與差分進化（DE）算法混合在一起，提出一種基于亞群和差分進化的混合蜻蜓算法（HDASDE），使用亞群策略和蜻蜓算法的勘探能力來增強HDASDE 的全局勘探能力，使用動態(tài)的亞群變化平衡算法的開發(fā)和勘探能力，最后利用DE 的局部開發(fā)能力進一步提高算法的收斂精度。在13 個基準測試函數(shù)上的測試結果表明，HDASDE 充分結合了DA 和DE 的優(yōu)點，有較強的跳出局部極值的能力和較高的收斂精度。同時，將HDASDE 用于求解三桿桁架的優(yōu)化設計問題，驗證了HDASDE 在求解工程優(yōu)化設計問題上具有很好的求解質量和有效性。

在未來的研究中，希望對亞群的動態(tài)變化策略進行更深入的研究，如：使用亞群策略混合多種算法，充分發(fā)揮每個算法的優(yōu)勢；在算法搜索的過程中，根據(jù)實際情況對亞群個體進行自適應調整，并將算法用于更復雜的工程優(yōu)化問題。