無控制器間通信的線性多智能體一致性的降階協(xié)議

馬煜文 李賢偉,2,3 李少遠,2,3

近二十年來,多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制由于在編隊控制、集群控制、傳感器網(wǎng)絡等領域展現(xiàn)了巨大應用潛力[1–5],引起了研究者們的廣泛關注.一致性問題作為多智能體協(xié)同控制中的基本問題之一,其目的在于通過各智能體間信息的交互與共享,實現(xiàn)某個或多個狀態(tài)的趨同.各智能體狀態(tài)趨向一致時遵守的信息交互規(guī)則,被稱為一致性協(xié)議,是解決一致性問題的關鍵.

依照協(xié)議所依賴的信息,一致性協(xié)議大致分為狀態(tài)反饋和輸出反饋兩大類.文獻[6–10]研究了基于狀態(tài)反饋的一致性協(xié)議.然而,在實際工程中,智能體狀態(tài)信息往往難以直接測量,導致上述協(xié)議的應用場景受到很大限制.因此,如何消除一致性協(xié)議對智能體狀態(tài)信息的依賴成為了研究者們關注的熱點之一.在文獻[11–15]中,通過額外獲取鄰接智能體的控制器狀態(tài)信息,所設計的控制協(xié)議在使用智能體絕對輸出或相對輸出信息的情況下,有效解決了一致性問題.在僅依靠智能體間相對輸出信息的前提下,文獻[16–24]深入地研究了一致性協(xié)議的存在性和設計方法,揭示了該類協(xié)議重要優(yōu)勢:第一,該類協(xié)議相比于文獻[6–10]中的基于狀態(tài)反饋的一致性協(xié)議,無需交互控制器或觀測器的狀態(tài)信息,可以減輕多智能體系統(tǒng)在協(xié)同控制過程中的通信負擔(為方便,后文統(tǒng)稱該類協(xié)議為無控制器間通信的一致性協(xié)議).第二,在深空探測、室內協(xié)同導航等應用領域,智能體的絕對輸出信息較難獲取.例如深空中的絕對位置測量困難且測量誤差都以千米為計量單位,而飛行器間的相對位置測量則較為簡單且精度更高.因而,相比于文獻[25–26]需要絕對輸出信息,無控制器間通信的一致性協(xié)議在該類領域更具有應用前景.第三,當智能體間相對輸出信息可直接測量時(例如文獻[27]考慮了可直接測量相對姿態(tài)和間距的無人車系統(tǒng)),無控制器間通信的一致性協(xié)議所需的相對輸出信息由智能體自身測量可得,無需與相鄰智能體進行數(shù)據(jù)通信,因而避免了數(shù)據(jù)通信中的數(shù)據(jù)包丟失、數(shù)據(jù)內容篡改等網(wǎng)絡安全威脅,對于保障多智能體系統(tǒng)的信息安全具有重要意義[18].

輸出反饋協(xié)議的具體設計方法與所依賴的信息緊密相關.文獻[15]利用相對輸出信息構造了全階一致性協(xié)議,盡管該協(xié)議需要額外的控制器相對狀態(tài)信息,但是其設計條件滿足類似線性系統(tǒng)理論中“分離原理”,計算簡便.文獻[20]研究了無控制器通信的全階一致性協(xié)議,并在智能體開環(huán)極點位于左半復平面的前提下,提出了該類協(xié)議的低增益設計方法.文獻[16]首先構造了基于智能體間相對輸出信息和相對輸入信息的降階一致性協(xié)議,進一步以約束智能體開環(huán)極點位于閉左半復平面為代價,通過對相對輸入信息項的截斷,構造了無控制器間通信的降階一致性協(xié)議.在類似智能體約束前提下,文獻[19]構造了階次不同于文獻[16]的無控制器間通信的降階一致性協(xié)議.需要指出的是,為了保證無控制器間通信的一致性協(xié)議存在性,前述設計方法均需要確定一個低增益參數(shù),而該參數(shù)的取值范圍不僅依賴于協(xié)議增益矩陣,還依賴于智能體之間的耦合強度.因而,這些設計方法并不完全具備類似文獻[15]中 “分離原理” 的良好計算特性.此后,文獻[21]和文獻[24]更加系統(tǒng)地討論了無控制器間通信的全階一致性協(xié)議的存在性,然而從設計的角度,所提方法仍然具有上述弊端.最近,受未知輸入觀測器[28]啟發(fā),文獻[18,23]通過設計鄰居智能體的未知輸入觀測器,引入了巧妙的控制器增益矩陣參數(shù)化方法,為無控制器間通信的一致性協(xié)議提供了新的設計思路.需要注意的是,文獻[18,23]的參數(shù)設計的存在性暗含智能體輸出維數(shù)不小于輸入維數(shù)的前提,使得該設計方法仍有一定的理論和應用局限性.

基于上述討論,本文在文獻[18,23]參數(shù)設計方法的啟發(fā)下,提出一種新型的無控制器間通信的一致性協(xié)議.相比于文獻[16,19–22],本文提出的協(xié)議參數(shù)設計方法具有類似文獻[15]中 “分離原理” 的屬性,使得協(xié)議設計過程更加簡便.相比于文獻[18,23],本協(xié)議具有與其相斥的存在性條件,因而拓展了文獻[18,23]中設計方法的適用范圍.另外,不同于文獻[18,23]以構造智能體相對狀態(tài)觀測器為前提,本文提出的協(xié)議不符合未知輸入觀測器[28]的適用條件,協(xié)議狀態(tài)并不具有智能體相對狀態(tài)的估計意義,因而該協(xié)議在一定程度上也是對文獻[18,23]中設計思想的理論延伸.在本文中,首先給出該協(xié)議的構造方法;然后通過對智能體動力學進行適當約束,建立協(xié)議存在的等價條件;進一步在通信圖具有有向生成樹的前提下,證明閉環(huán)系統(tǒng)的一致性.

符號說明.Rm×n表示m×n維實矩陣的集合,表示具有非負實部的復數(shù)集.I表示單位矩陣,1表示內部元素均為 1 的列向量.P >0 表示P是一個對稱、正定矩陣.R e(·)和 I m(·)分別表示復數(shù)的實部和虛部.A ?B表示矩陣A和B的 Kronecker 積.d iag{A1,A2,···,An} 是以A1,A2,···,An為對角塊的分塊對角矩陣.c ol{x1,x2,···,xn} 是以x1,x2,···,xn為列元素組合成的列向量.r ank(·)代表矩陣的秩,I mage(·)表示矩陣的像空間.‖·‖ 表示向量的 2 范數(shù).

1 圖論知識及問題描述

1.1 圖論知識

引理 1[29]. 當且僅當圖G具有一個有向生成樹時,0 是L的一個簡單特征值,且L的其余特征值均具有正實部,其中L是G的拉普拉斯矩陣.

1.2 問題描述

考慮一個含有N個線性同構智能體的多智能體系統(tǒng),智能體的動力學方程為

其中,lij是拉普拉斯矩陣L的第 (i,j)個元素.本文擬研究的一致性問題概括如下.

問題 1.針對由式 (1)構成的多智能體系統(tǒng),設計降階輸出反饋一致性協(xié)議

注1.另一種常用的輸出反饋協(xié)議具有如下形式

其中,Hr,Fr,Gr,Hu,Fu和Gu為具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣,且

式 (2)和式 (3)刻畫了線性多智能體系統(tǒng)輸出反饋一致性協(xié)議的兩種一般形式.相比于協(xié)議 (3),協(xié)議 (2)僅需相對輸出信息(t),而無需鄰接智能體的控制器狀態(tài)信息(t).因此,在(t)可以直接測量的前提下,協(xié)議 (2)并不依賴于額外的通信媒介.這也是本文稱協(xié)議 (2)無需控制器間通信的原因.事實上,文獻[17–24]均對類似問題 1 的一致性問題展開了研究,但對形如式 (2)的一致性協(xié)議采用了不同的叫法.例如,文獻[20]稱其為動態(tài)輸出補償器一致性協(xié)議,文獻[16]稱其為基于截斷降階觀測器的輸出反饋一致性協(xié)議,文獻[19,21]稱其為無控制器交互的輸出反饋一致性協(xié)議,文獻[18]稱其為免受攻擊的純相對輸出一致性協(xié)議.這些叫法都在一定程度上概括了這類協(xié)議的主要特征.類似于文獻[18],本文考慮的協(xié)議 (2)的階次仍然小于智能體的階次,因此相較于文獻[20–22]中的全階一致性協(xié)議,協(xié)議 (2)也具有更低的實現(xiàn)復雜度.另一方面,不同于文獻[18],本文考慮的協(xié)議 (2)的單個控制器階次為nx-ny,而文獻[18]的降階控制協(xié)議的相應階次為nx-nu(在不考慮自適應參數(shù)的前提下).

2 主要結果

2.1 一致性協(xié)議設計

本節(jié)給出協(xié)議 (2)明確的參數(shù)設計方法,以解決問題 1 所定義的一致性問題.在給出具體設計之前,需做如下假設.

式 (5)中的λi,i=2,···,N是拉普拉斯矩陣L的特征值.對稱正定矩陣是下列代數(shù)Riccati 方程的解

2.2 協(xié)議存在性條件

在分析多智能體系統(tǒng) (1)基于協(xié)議 (2)和式(4)構成的閉環(huán)系統(tǒng)一致性之前,本節(jié)將討論協(xié)議(2)和式 (4)的存在性條件.顯然,針對式 (4)中給出的參數(shù)設計,協(xié)議 (2)的可行性取決于是否存在正定矩陣P滿足式 (6),以及是否存在矩陣L使Hr為赫爾維茲的.

定理 1.當且僅當多智能體系統(tǒng) (1)滿足假設2和假設 3,(A,C)可檢測,且有向圖G滿足假設 1,則協(xié)議 (2)和式 (4)存在.

證明.當且僅當假設 2 成立時,矩陣T和U可以被定義,且T和U顯然為可逆矩陣.當且僅當(A,C)可檢測時,式 (6)存在對稱正定解P.根據(jù)引理 1,當且僅當假設 1 成立,存在滿足式 (5)的常數(shù)μ.為證明存在矩陣L使Hr為赫爾維茲的,即(C⊥AT1-C⊥BU1CAT1,C⊥BU2)可穩(wěn),還需證明(C⊥AT1-C⊥BU1CAT1,C⊥BU2)可穩(wěn)與假設3 的等價性.首先,根據(jù)矩陣T1,T2,U1和U2的定義,需注意到CT1=0,CT2=,CBU1=和CBU2=0.因此,經(jīng)過一系列代數(shù)運算,可以得到如下等式

注 2.由定理 1 可知,協(xié)議 (2)和式 (4)的可行性與智能體系統(tǒng)矩陣 (A,B,C)有關.假設2 要求輸出矩陣C和矩陣CB行滿秩,其成立的一個必要條件是輸入u的維數(shù)不小于輸出y的維數(shù)1本文尚不清楚假設2 在一般情形下的直觀系統(tǒng)解釋.當nu= ny=1時,假設2 等價于要求智能體的相對階為1.若考慮文獻[18]的對應條件,即 r ank(CB)=rank(B)= nu,根據(jù)未知輸入觀測器理論[28],該對應條件的直觀解釋為鄰居的控制輸入信號可以直接通過相對輸出獲得,不過這種解釋并不適用于假設2..不同于文獻[16]以及文獻[19-20,22]要求智能體開環(huán)極點位于閉左半復平面,本協(xié)議中假設 3 的系統(tǒng)意義為要求智能體在閉右半復平面上無不變零點(即系統(tǒng)是最小相位的).另外,注意到假設3 實際上暗含對(A,B)的可鎮(zhèn)定性要求(因為假設3 意味著 rank[,B]=nx對所有s∈成立).還需指出的是,假設2 和假設3 與 (A,C)的可觀性和可檢測性沒有直接關系 (例如,對于A=[1,1;0,1],B=I2和C=[0,1],顯然假設2 和假設3 成立,但是(A,C)既不可觀也不可檢測),這也是本文明確要求(A,C)可檢測以保證 R iccati 方程 (6)有鎮(zhèn)定解的原因.

假設3 在形式上與文獻[18] 中定理 2 的條件(ii)類似.如前所述,本文的一致性協(xié)議設計思想受到了文獻[18,23]啟發(fā),為避免控制器間通信,構造了如式 (4)所示的協(xié)議增益矩陣參數(shù)化方法,由此引出了存在性條件,即假設 2 和假設 3.盡管如此,與文獻[18,23]不同的是,由于假設 2 和假設 3 均不符合未知輸入觀測器的前提條件,所以本文給出的控制協(xié)議設計方法并不能直接使用文獻[18]所基于的未知輸入觀測器理論.特別注意到,一致性協(xié)議 (2)中控制器狀態(tài)ri并非是對智能體相對狀態(tài)的估計,因此其設計思路并不是以設計一個智能體相對狀態(tài)的觀測器為前提(文獻[18] 所采用的未知輸入觀測器思路實際上對智能體相對狀態(tài)進行了估計).

注 3.就一致性協(xié)議 (2)和式 (4)的存在性條件(即假設 2 和假設 3 成立以及 (A,C)可觀)而言,對于給定的多智能體系統(tǒng) (1),這些條件是否成立非常容易驗證.由式 (4)給出的協(xié)議增益矩陣Hr,Fr,Fu和Hu具有良好的解耦設計特性,即分別由中間參數(shù)矩陣P和L計算可得.其中,矩陣P >0 滿足Riccati方程 (6),而矩陣L需使得矩陣Hr是赫爾維茲的.對于后者,可以令L=-(C⊥BU2)TP1,其中P1為以下 R iccati 方程的對稱正定解

因此,若假設2 和假設3 成立,且 (A,C)可檢測,則由式 (4)給出的協(xié)議參數(shù)設計方法滿足類似“分離原理” 的性質,因而計算過程十分簡易.特別地,與文獻[16,19–22]的設計步驟不同,第 2.1 節(jié)所給出的設計步驟并不需要確定一個與其他協(xié)議參數(shù)耦合的低增益參數(shù).

2.3 閉環(huán)系統(tǒng)一致性分析

本節(jié)將給出基于協(xié)議 (2)和式 (4)的多智能體閉環(huán)系統(tǒng)一致性分析.

定理 2.對于式 (1)中的多智能體系統(tǒng),若假設1、假設 2 和假設 3 成立且 (A,C)可檢測,則協(xié)議(2)和式 (4)可以解決問題 1.

令s:=col{s1,···,sN},其中si:=col{xi,ri}.若協(xié)議 (2)和式 (4)可以解決問題 1,則當t→∞時,閉環(huán)系統(tǒng)的一致性狀態(tài)向量可表征如下

其中,向量η∈RN滿足ηTL=0 和ηT1=1.

證明.由s(t)的定義,可給出智能體 (1)基于協(xié)議 (2)和式 (4)的閉環(huán)系統(tǒng)動力學方程如下

由[15,式(9)]中的矩陣變換可知,拉普拉斯矩陣L可轉換為如下形式

因此,聯(lián)合式 (10)、式 (13)和式 (15)可得,向量?(t)滿足如下微分方程

其中,參數(shù)Hr,Hu,Fu,Fr和T1來自于式 (4).由于矩陣L的設計已經(jīng)確保Hr為赫爾維茲的,所以僅需證明A+λi(BFu+T1Fr)C,i=2,3,···,N是赫爾維茲的.至此,通過代入式 (4)中的Fu和Fr值,可以得到

因此,A+λi(BFu+T1Fr)C=A-μλiPCTC,其中P為滿足式 (6)的對稱正定矩陣,μ是滿足式(5)的正數(shù).令Zi=A-μλiPCTC,則有

其中,Q來自于式 (6).整理式 (5)、式 (6)和式(18)可得

因為μ滿足式 (5),所以Q0i≤0,Qi >0.因為P >0且Qi >0,基于李雅普諾夫方程 (20),顯然對于所有i=2,···,N,Zi=A+λi(BFu+T1Fr)C均為赫爾維茲的,即說明閉環(huán)系統(tǒng) (10)的狀態(tài)可達到一致.

為證明式 (9),對式 (10)中的狀態(tài)向量s(t)進行如下變換

又由于Hr為赫爾維茲的,所以,當t→∞,向量xi和ri滿足式(9).

注 4.在定理 2 的證明中,本文首先受文獻[15]啟發(fā)將一致性條件轉為矩陣+λi的穩(wěn)定性問題,進一步經(jīng)過合適的相似變換將該問題轉化為矩陣A+λi(BFu+T1Fr)C的穩(wěn)定性問題,最后通過引入滿足 R iccati 方程 (6)的矩陣P和滿足與拓撲約束有關的參數(shù)μ,有效計算出增益矩陣Fu和Fr.協(xié)議設計式 (4)、式 (5)和式 (6)作為一個整體,有效保留了文獻[15]中經(jīng)典輸出反饋協(xié)議所滿足的類似“分離原理” 的優(yōu)良計算特性.

注 5.通過設計合適的增益矩陣,協(xié)議 (2)和式(4)可指定狀態(tài)誤差xi-xj以及ri-rj的收斂率.為此,根據(jù)式 (6),只需對式 (4)中增益矩陣的設計要求修改為: 矩陣A+λi(BFu+T1Fr)C,i=2,3,···,N和Hr的所有特征值實部均小于-α,其中α為給定的正數(shù).若滿足,則對于所有i,j=1,2,···,N,t≥0,下列不等式均成立

其中,γ為某一正數(shù).

3 仿真結果

下面通過仿真算例驗證本文無控制器間通信一致性協(xié)議的有效性,并通過與文獻[16]的降階一致性協(xié)議的對比實驗來說明本文方法的優(yōu)勢.

3.1 無控制器間通信一致性協(xié)議仿真結果

本文考慮由 6 個智能體組成的多智能體系統(tǒng),智能體 (1)中的矩陣如下所示

容易驗證假設2 和假設3 成立且 (A,C)可檢測.假設有向通信網(wǎng)絡G的拉普拉斯矩陣為

經(jīng)計算,該矩陣的特征值為 0、1、2、3.3247和 1.3376±0.5623i,表明假設1 成立.

智能體初始狀態(tài)xi(0)設置為隨機數(shù)值,控制器初始狀態(tài)ri(0)設置為0,仿真結果如圖1 和圖2 所示.在參數(shù)設計過程中可以看到,參數(shù)Hr,Hu和Fr,Fu的設計過程是完全獨立的,即滿足類似文獻[15]中 “分離原理” 的性質.圖1 和圖2 顯示基于協(xié)議 (2)和式 (4)設計的降階輸出反饋一致性協(xié)議使閉環(huán)多智能體系統(tǒng)達到了一致,驗證了該協(xié)議的有效性.

圖1 無控制器通信一致性協(xié)議(2)下的智能體狀態(tài)xiFig.1 Agent states xi under the protocol (2)

圖2 無控制器通信一致性協(xié)議(2)下的控制器狀態(tài)riFig.2 Controller states ri under the protocol (2)

3.2 對比一致性協(xié)議仿真結果

文獻[16]中一致性協(xié)議具有如下形式

圖3 一致性協(xié)議 (21)下的智能體狀態(tài)xiFig.3 Agent states xi under the protocol (21)

為展示本文協(xié)議在抵抗網(wǎng)絡攻擊方面的優(yōu)勢,假定相對輸出可直接測量得到,同時假定智能體4的輸入值u4在通信傳輸中每經(jīng)過 0.1 s 被篡改一次,導致鄰接智能體接收的值為 2u4.協(xié)議 (2)下仿真結果與圖1 和圖2 一致,因為該協(xié)議并不需要鄰居智能體的輸入信號(或者說該協(xié)議不需要控制器間的通信);協(xié)議 (21)下仿真結果如圖4 所示.

圖4 遭受網(wǎng)絡攻擊時一致性協(xié)議 (21)下的智能體狀態(tài)xiFig.4 Agent states xi under the protocol (21)when subjected to a network attack

一方面,圖3 的仿真結果表明,在控制器間的通信網(wǎng)絡能夠準確傳送鄰居輸入信號的前提下,協(xié)議(21)有效地控制多智能體系統(tǒng)(1)達成一致.另一方面,圖4 的仿真結果表明,當通信網(wǎng)絡遭受攻擊導致無法準確傳送鄰居輸入信號時,協(xié)議(21)則有可能完全失效.與之相比,本文所提協(xié)議(2)在遭受網(wǎng)絡攻擊的情況下仍然能夠達成一致(仿真結果仍如圖1 和圖2 所示,因為協(xié)議(2)不依賴于鄰居的輸入信號),從而顯示出本文協(xié)議(2)在網(wǎng)絡攻擊免疫方面的優(yōu)勢.

4 結論

本文針對線性同構多智能體系統(tǒng),提出了一種新型的無需控制器間通信的降階一致性協(xié)議.本文提出的參數(shù)設計方法仍然滿足類似 “分離原理” 的性質,增益參數(shù)便于計算.當智能體非穩(wěn)定時,本文協(xié)議中的控制器狀態(tài)仍能在實現(xiàn)一致性過程中保持有界,并且可以通過調整增益矩陣,指定智能體間狀態(tài)誤差xi-xj的收斂率.不同于文獻[18,23]以構造智能體相對狀態(tài)觀測器為設計前提,本文協(xié)議中控制器狀態(tài)向量并非是對智能體相對狀態(tài)的估計,因此本文提出的協(xié)議及其設計方法在一定程度上延伸了文獻[18,23]中一致性協(xié)議設計思想的適用范圍和理論框架.