模型未知LTI系統的數據驅動預測控制

徐 凱，陳 珺

(江南大學 輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

0 引言

基于被控對象數學模型的現代控制理論自20世紀60年代被提出以來，已經形成了一套十分成熟的理論體系，并在工業過程、航空航天等領域中得到了大規模的成功應用[1]。然而，對于機理模型或辨識模型可獲取但卻帶有無法描述性質的系統、模型復雜且階數較高的系統、模型無法獲取的系統這三類系統的控制問題，現代控制理論目前還未有較好的解決方案[2]。

數據驅動是一種利用被控系統的在線和離線數據實現系統基于數據的預測、評價、診斷、監控、決策和優化等各種功能的思想[3]。

在系統的控制問題之中，軌跡跟蹤問題是一個十分值得研究的問題。在軌跡跟蹤問題中，模型預測控制(MPC，model predictive control)是應用最廣泛的控制方法之一，因為它允許在控制設計中考慮安全因素[4]，可以通過約束保障系統的穩定運行。使用模型預測控制方案的關鍵是一個精確的系統參數狀態空間模型，但是這樣的模型往往不能直接獲取。因此將數據驅動的思想與之相結合變得很有意義。近年來，有許多學者對兩者的結合進行了研究并發表了相應研究成果，文獻[5]對Vienna整流器提出了一種利用電壓和電流信息數據實現的超局部模型替代Vienna整流器精確模型的無模型預測電流控制方法；文獻[6]針對時滯系統難以獲取模型的情況，結合跟蹤-微分器獲取微分信息的能力，利用Smith預估器預測未來時刻輸出有效提高了控制系統的響應速度；文獻[7]中使用數據驅動的神經元預測器擬合系統的模型結合預測控制實現了ASV的速度控制；文獻[8]結合了深度強化學習和預測控制實現了一種高精度的無人駕駛方式；文獻[9]通過子空間預測控制方案構建了電機的電壓平衡模型，從而實現了電機的無偏移跟蹤；文獻[10]中采用深度學習訓練通過Koopman理論簡化得到的通用結構模型，實現了非線性模型的最優軌跡跟蹤；文獻[11]提出一種將循環神經網絡與模型預測控制算法相結合的算法，在保持了控制器性能的同時，有效提升了算法執行速度并減少了存儲數據占用的內存；文獻[12]將子空間辨識和預測控制思想相結合并提出一種最優調優方法，簡化了預測模型的建立過程，解決了控制器參數調整過程復雜的問題；文獻[13]將模型預測控制與比例、積分、微分控制方案相結合，減少了傳統模型預測控制方法調整的復雜度，并解決了其計算量大、系統動態性能易受影響的問題，同時將模糊理論與模型預測控制相結合，獲得了比PID算法更好的抗干擾能力，同時減少了預測范圍；文獻[14]將數據驅動概念集成到魯棒模型預測控制結構中，用數據估計模型替代預測，在解決了傳統方法保守性高、計算困難的問題的同時提高了系統的閉環性能；文獻[15]提出了一種全新的數據驅動模型預測控制方案，通過調整系統不同部分之間的耦合條件，將系統分為不同的子系統并通過分散的模型預估獨立控制，有效提升了系統的穩定性。

雖然目前已經有很多種基于數據驅動的預測控制方法被提出，但都是利用系統的歷史數據并根據具體被控系統的數學原理來進行建模，或者是使用神經網絡等方法擬合出被控系統的模型，模型獲取過程十分繁瑣，同時獲得的模型不具備通用性，在系統參數調整時模型精度顯著下降，而且大都沒有考慮測量噪聲對系統控制效果的影響。

文中對于僅有測量數據可得的LTI系統提出了一種數據驅動的預測控制方案，根據系統行為學理論[16]和平衡子空間辨識方法[17]利用測量數據直接設計了控制器，解決了傳統模型預測控制方法獲取預測模型困難且控制律難以設計的問題，并考慮了系統測量數據中存在的隨機噪聲所帶來的擾動對控制性能產生的影響，通過引入輔助松弛變量和L2正則化項抑制了噪聲擾動，提高了算法的魯棒性，最后采用多步滾動時域優化方法求解優化問題并對系統施行控制，實現了系統對設定值的軌跡跟蹤。基于Python平臺和CasADi工具箱對算法進行仿真驗證，將所提方法應用于一個四容水箱系統并與同樣基于數據驅動的子空間模型預測控制方法相比較，仿真結果證明了所提方法的有效性和優越性。

1 系統行為學理論

基于根據文獻[16]中提出的系統行為學理論，一個動力系統可以被定義為一個三元組∑=(T，W，B)，其中T?R表示時間軸，W表示系統的信號空間包含該系統所有可能的輸入輸出信號，B?WT是系統的行為，B中的每個元素為系統的軌跡。文中考慮的是離散LTI系統，對于此類系統有以下結論成立：T=N，W=Rω是一個有限維度的向量空間，B是一個線性空間且滿足B?σB(時延算子σ定義為σf(t)：=f(t+1))，同時B在點態收斂拓撲中是封閉的。綜上所述，離散LTI系統按照系統行為學理論可以表示為∑=(N，Rω，B)。

對于該LTI系統的軌跡ω(t)∈B通常可以表現為式(1)：

R0ω(t)+R1σω(t)+…+Rlσlω(t)=0

(1)

其中：Rτ∈Ri×ω，τ=1，…，l，i表示等式的個數，ω表示信號空間的維數，l表示方程的階數。定義多項式矩陣R(σ)為式(2)：

R(σ)=R0+R1σ+…+Rlσl∈Ri×ω[σ]

(2)

式(2)是一個i×ω的矩陣，每個元素都為時延算子σ的多項式。根據線性代數中核空間kernel的定義，式(2)可以表示為式(3)的形式：

ker(R(σ))：={ω|R(σ)ω=0}

(3)

因此B可以寫為B：=ker(R(σ))。在前述定義下，對于系統的任意兩個軌跡ω1，ω2∈B，存在ω∈B，使軌跡ω1在一定時間T后轉變為ω2，如圖1所示。

圖1 系統行為學理論下LTI系統軌跡變化示意圖

即對于同一個LTI系統，如果兩條軌跡初始狀態相同，被觀測到的輸出也相同，那么認為其過去的輸入累積效果也相同。

2 平衡子空間辨識方法

系統信號的時間序列為f=(f(1)，...，f(T))。定義該信號的塊Hankel矩陣為：

HΔ(f)=

其中：Δ為有限時間平衡參數。根據以上算法。

算法1：輸入：系統軌跡ω=(u，y)，系統階數的上界Πmax，有限時間平衡參數Δ>Πmax。

步驟1：找到系統脈沖響應矩陣的前2Δ樣本H(0)，…，H(2Δ-1)，并令H：=col(H(0)，…，H(2Δ-1))。

步驟5：通過求解線性系統等式

根據系統行為學理論，有以下基礎引理。

定義row dim為矩陣的塊行數，Up，Uf，Yp，Yf如下：

其中：row dim(Up)=row dim(Yp)=lmax，row dim(Uf)=row dim(Yf)=2Δ。

(4)

(5)

如上所述，可以將獲得的數據分為過去和未來兩個部分，據此提出算法2。

步驟6：通過代入求解前述算法步驟5中等式的可以獲得系統相應的平衡表示Abal，Bbal，Cbal，Dbal。

根據上述結論，在系統采集的數據滿足充分持續激勵階時，該系統可被充分識別，可以通過歷史數據確認系統的模型和當前狀態。

3 算法原理及實現步驟

3.1 非參數模型的建立

根據第一節所述系統行為學理論，提出如下定義。把B中每個軌跡中[t1，t2]內的部分截斷出來，組成新的集合(6)：

B[t1，t2]={ω：[0，T-1]→Rω|

?υ∈B：ω(t)=υ(t) ?t1≤t≤t2}

(6)

根據式(1)、式(2)、式(3)可以得到零空間式(7)：

rB={r∈Rω[σ]|rT(σ)B=0}

(7)

根據式(2)定義式(7)的階數形式為式(8)：

每個元素的階數均小于等于ψ}

(8)

考慮如下離散時不變系統模型(9)：

(9)

式(7)中u(k)∈Rm，x(k)∈Rn，y(k)∈Rp分別為系統的輸入、狀態和輸出量，A，B，C，D是具有合適維度的矩陣，且滿足(A，B)可控，(A，C)可觀測。

從0時刻起，在系統(9)中采樣長度為T的信號f：f∈B|[0，T-1]。定義一個Hankel矩陣如式(10)。

(10)

(11)

根據式(11)可以得到式(12)成立：

(12)

同樣由于LTI系統的線性特性，可以得到式(13)成立：

colspan(HL(f))?B|[0，T-1]

(13)

定義1：假設信號f=[0，T-1]∩N→Rω當且僅當式(14)滿足時持續激勵L階。

rank(HL(f))=Lω

(14)

其中：ω是信號空間W的維數，對于系統(7)有ω=m+p，即由輸入和輸出拼接成系統信號軌跡。

(15)

colspan(HL(f))=B|[0，T-1]

(16)

定理1的證明見文獻[16]。

(17)

式(17)即為離散LTI系統的非參數模型，其完全由系統的輸入輸出數據構成，系統的任意一段長度為L的軌跡都可以由系統測量數據的Hankel矩陣的列線性張成。

3.2 算法實現

算法主要由數據采集，優化問題求解和滾動時域優化三部分組成。

對于數據驅動的控制方法，數據的采集是必不可少的。根據定義1和定理1的要求，采集的數據軌跡需要滿足式(14)且必須采集自一條連續的系統軌跡。由于判斷Hankel矩陣的秩比較困難，一般通過保證采集的數據點個數滿足條件T>(m+1)(L+n)-1來保證定理1的條件成立。

控制系統結構如圖2所示。

圖2 基于數據驅動的預測控制系統結構框圖

如圖2所示，系統在每次決策過后更新當前數據。根據文獻[17]中的平衡子空間辨識法，把式(17)分解為式(18)的形式：

(18)

用式(18)作為預測模型代替傳統模型預測控制中如式(9)的系統狀態空間模型表示和系統狀態估計，設計目標函數如下式(19)：

(19)

通過求解優化問題(19)可以得到對系統下一步采取的控制決策。

為了提升算法效率，減少迭代次數，采用多步滾動時域優化策略，一次預測多個未來值，其具體步驟如下。

步驟1：采樣T對連續的系統輸入輸出數據構建如式(18)的系統非參數模型作為目標函數的約束條件，設置控制器基本參數如預測時域N，權重矩陣Q、R等。

步驟2：在t時刻，求解目標函數得到最優決策變量α*。

步驟3：計算最優輸入序列u*=HL(ud)α*。

步驟5：令t=t+n，更新目標函數約束中的uini和yini為新測量得的Tini對輸入輸出數據。

步驟6：返回步驟2直到預測結束。

3.3 魯棒性改進

對于系統測量數據中存在有界加性高斯噪聲的系統，其輸入輸出測量信號模型為：

(20)

式(20)中的v(k)∈Rm、z(k)∈Rp為符合正態分布的有界加性高斯噪聲。加入噪聲擾動后如式(18)的約束條件將變得難以滿足，此時對(19)進行以下改進。

松弛變量常被用于支持向量機SVM(support vector machines)，通過允許一些數據樣本不滿足硬間隔約束條件，可以防止SVM分類器過擬合，避免模型過于復雜，降低模型對噪聲點的敏感性。L2正則項則可以約束松弛變量，同時可以使目標函數的求解變得穩定和快速。

引入松弛變量可以保證約束的滿足，L2正則項則可以保證變量不產生過大的變化，改進后的目標函數如式(21)：

(21)

4 仿真實驗

4.1 實驗數據的采集

為了驗證算法的有效性，采用一個典型的多輸入多輸出的四容水箱系統作為實驗對象，并對該四容水箱的跟蹤控制問題進行仿真驗證。

根據四容水箱的工作原理，建立對象的非線性機理模型為式(22)[18]。

(22)

在平衡點(數據見表1)處對式(22)進行線性化處理，四容水箱系統的輸入為水泵電壓u=[u1u2]T，狀態為水箱液位高度x=[x1x2x3x4]T，輸出為水箱1和水箱2的液位高度y=[y1y2]T。水箱選取參數和初始條件如表1所示[19]。

表1 四容水箱系統相關參數

輸入選取范圍在[-3，3]之間的隨機激勵信號，系統初始狀態設置為零初始狀態。對于四容水箱，輸入和輸出維度m=2，p=2，狀態維度n=4。選取初始數據序列長度Tini=4，預測時域N=40，L=Tini+N=44，根據定理1的要求采樣數據序列長度需要滿足T>(m+1)(L+n)-1=143，因此選擇采樣數據點個數為T=150，采樣間隔選取為0.1 s，總采樣時間為15 s。采樣輸入輸出數據序列為U(k)=[u1(k)，u2(k)]和Y(k)=[y1(k)，y2(k)]，采樣數據如圖3。

4.2 算法仿真驗證

為了驗證所提方法的有效性，先考慮測量數據中不含噪聲的情況。選擇ys=[0.65 0.77]T為參考軌跡。控制器參數選擇為N=40，即預測時間為4 s，初始軌跡長度Tini=4，權重矩陣Q=10Ip，R=0.1Im，其中Im和Ip是二階單位矩陣。

為了證明所提算法的優越性，將文中所提方法與文獻[20]中提出的基于數據驅動的子空間預測控制(data-driven subspace predictive control，DDSPC)方法進行比較。先證明DDSPC算法的有效性：同時給辨識模型和實際模型相同的激勵信號，將兩者產生的響應進行對比，結果如圖4所示。

圖4 DDSPC真實值和估計值響應曲線

如圖4中仿真結果所示，虛線表示實際四容水箱模型在激勵信號下的輸出響應，實線表示根據子空間辨識得到的模型在相同激勵信號下的輸出響應，兩條曲線重合，表示根據DDSPC方法得到的辨識模型能夠精確匹配實際四容水箱系統模型。

基于DDSPC方法有效的情況下，將文中所提算法和DDSPC算法進行仿真比較，仿真結果如圖5和圖6所示。

圖5 本文方法與DDSPC方法跟蹤控制對比

如圖5和圖6所示，對于四容水箱系統無噪聲的情況，文中所提方法和DDSPC都有較好的控制效果，但是文中所提方法跟蹤精度更高，過渡時間更短，超調量更小，具有更好的動態性能。

4.3 魯棒性檢驗

為了驗證改進后算法的魯棒性，在四容水箱的每個測量輸入輸出數據中都添加一個大小在(-10-3，103)之間的隨機高斯噪聲模擬擾動，增加完噪聲后的采樣數據如圖7所示。

圖7 含噪聲的采樣數據

控制器參數選擇為Q=15I2，R=0.1I2，λu=λy=10-4，λα=1。參考軌跡設定值為[0 0]T，系統初始狀態隨機生成。為了便于觀察，只展示水箱2的液位變化情況。分別比較了文中算法改進前后，改進后算法和DDSPC算法的預測輸出和真實響應曲線，仿真結果如圖8和圖9所示。

圖8 噪聲情況下改進前后方法對比

圖9 本文方法與DDSPC方法對比

如圖8中仿真結果所示，當系統含有測量噪聲時，改進前的方案跟蹤精度降低，不再能完成控制任務。引入松弛變量和L2正則項改進后，真實響應和預測值之間的偏差顯著減小，跟蹤效果大大增強。

如圖9中仿真結果所示，與DDSPC方法相比，本文所提改進后算法跟蹤精度更高，能更好的貼合參考軌跡，且系統的抖振更小。

為了進一步驗證改進后算法的魯棒性，將前述噪聲擴大十倍后加入系統測量數據再進行仿真實驗，控制器參數選擇和之前保持一致，仿真結果如圖10和11所示。

圖10 噪聲放大后改進前后算法對比

如圖10中仿真結果所示，在將隨機噪聲范圍擴大十倍后，改進前算法對系統的控制效果進一步變差，系統響應抖動變大，且系統無法收斂到平衡點，改進后算法有效抑制了噪聲擾動，控制效果遠優于改進前。如圖11所示，將噪聲擴大后，DDSPC算法的預測輸出和實際響應產生了較大偏離，表明此時子空間預測模型和實際模型嚴重失配，跟蹤效果進一步降低，本文所提改進后算法比DDSPC算法抗噪聲擾動能力更強。為了更直觀顯示文中所提方法的抑制擾動能力，提出以下指標衡量抗干擾能力，其值越小表示抗干擾能力越強：

圖11 噪聲放大后與DDSPC算法對比

(23)

分別計算噪聲為0.001和0.01時本文所提改進后算法和DDSPC算法的K值，結果如下：

噪聲值0.001噪聲值0.01本文所提算法172.442 373.29DDSPC203.6844 776.22

根據上述計算的K值，在隨機噪聲較小時，本文所提改進后算法僅是略優于DDSPC算法，而在測量數據中含有的隨機高斯噪聲較大時，本文所提算法的K值僅為DDSPC算法的0.053倍，即在此指標下，本文所提算法抗干擾能力是DDSPC算法的20倍，遠強于DDSPC算法。因此與DDSPC算法相比，本文所提算法在改進后具有更強的魯棒性。

綜上所述，文中所提的僅使用系統測量數據直接設計控制器的預測控制方法能有效實現對系統設定值的軌跡跟蹤，具有較好的控制品質的同時也具有較強的魯棒性。

5 結束語

本文針對測量數據中含有隨機噪聲的模型未知LTI系統，提出的將基于系統行為學理論的非參數模型和預測控制方法相結合的控制策略，通過直接使用系統的測量數據設計控制器解決了傳統模型預測控制中預測模型設計過程復雜、精確度低且缺乏通用性的問題，同時充分考慮了有界加性高斯噪聲對系統控制效果帶來的影響，通過在目標函數設計和其終端約束中引入輔助松弛變量和L2正則項有效抑制了噪聲帶來的影響，顯著提升了算法的魯棒性。通過將該算法應用于四容水箱系統并進行仿真驗證，仿真結果表明了該算法的有效性，并與同樣基于數據驅動的子空間預測控制方法相比較，所提方法在具有更好動態性能的同時，抗噪聲干擾能力也提升了十余倍，具有良好的控制品質和較強的魯棒性。