剖析知識本質，突破思維障礙

張效會

［摘? 要］ 數學思維對學生的認知發展具有重要影響。研究發現，學生在數學思維上的障礙主要體現在注意、理解、記憶、表征、推理、遷移等諸多方面，它的成因不僅與心理作用機制有關，還與焦慮等非認知因素有著密切的聯系。文章以“畫高”的思維障礙為例，具體談談如何剖析知識本質，幫助學生突破認知障礙，實現數學能力的提升。

［關鍵詞］ 思維；認知；畫高

認知是機體認識并獲取知識的過程，與學習、語言、記憶、思維、情感等一系列心理與社會行為相關［１］。大腦皮層功能是認知的基礎，任何導致大腦皮層功能或結構異常的因素，都有可能導致學生出現認知偏差，從而產生思維障礙。

小學數學幾何中，畫高是一項重要內容，對學生的認知要求比較高。學生對這部分知識的認識對后續幾何的學習有直接的影響。在實際操作中，學生常常存在一定的思維障礙，難以準確、熟練地畫高。鑒于此，筆者結合學生的思維特點，對“畫高”教學進行了研究，并取得了一些成效。

一、常見問題分析

教學中，筆者發現學生在畫高的過程中存在一定的思維障礙。比如，最常見的平行四邊形與梯形的高，如果底邊為水平的狀態（如圖1），學生基本能正確操作；然而一旦出現底邊不處于水平狀態時（如圖2），有些學生就無從下手了。更有甚者，在教師已經教會學生怎樣畫出底邊不在水平位置圖形的高時，若將圖形旋轉一下，學生就無所適從了。

類似的現象在畫三角形的高時也會出現：有些學生在畫三角形水平邊上的高時得心應手，但是畫其他兩條邊上的高時錯誤百出。如圖3所示，類似錯誤常有發生，這是學生對知識本質不理解的寫照。究竟是什么原因致使學生不能精準地畫出高呢？這是一個值得思考的問題。縱觀小學數學涉及的幾何圖形，分別有三角形、平行四邊形與梯形等。教材對每一種圖形都給出了明確的定義，并確切指出這些圖形的高。

細細品讀這些定義，發現這三類圖形的高的實質是：從直線外的一點畫已知直線的垂線段?；谶@個理解，反觀以上圖形的高，從理論上來說，不論圖形如何擺放，學生都應該能順利畫出圖形的高。然而事實上，學生的實際操作效果并不理想。這是為什么呢？或許圖4能帶給人們一些啟發。

觀察圖4，人們發現作三角形底邊上高與過直線外一點作垂線段的操作方法是一樣的，學生在實際操作中覺得過一點畫一條直線的垂線段比較簡單。出現這種現象的主要原因有兩點：一是畫三角形的高時，受另外兩條邊的干擾，出現了視覺偏差與概念模糊的現象；二是學生沒有從本質上掌握畫三角形的高的原理，未能將這兩個圖形融會貫通。

基于以上分析，教師要解決學生的認知障礙，就要幫助學生理解知識的本質特征，避免視覺偏差與概念模糊對畫高的干擾。

二、問題解決辦法

1. 重基礎，抓本質

概念學習時，學生受思維定式的影響，對自身原有的認知經驗有較大的依賴性。例如建構垂直的概念時，不少學生就會受認知結構中“豎直”的干擾，形成認識上的偏差。作各類圖形的高，其本質就是過點畫直線的垂線段。教師在授課時應有意識地給予“垂直”一定的刺激，讓學生打牢概念基礎，對高產生深刻理解與認識。

然而，即使教師著重夯實基礎，不少學生在理解高的概念時，依然會受豎直概念的影響。從這個角度來看，要解決畫高的認知障礙，關鍵還得從知識本質著手——畫垂線段。

心理學認為：想要抽象一個概念，需要大量廣泛熟悉的事物作為支撐才能完成。變式的應用主要是從不同的視角，將感性材料重組，將事物的非本質屬性特征加以變化，通過各種不同的表現形式，凸顯事物獨有的本質特征，讓學生從多維度認識并理解概念，達到靈活應用的程度。由此可見，想要抓住知識的本質，需要做好以下兩點：

（1）從大量廣泛熟悉的事物著手

眾所周知，垂線段的本質與“畫垂線”有著密不可分的聯系。教師在授課時常常帶領學生從圖5中認識什么是垂線段，并通過測量發現垂線段是眾多線段中最短的一根，它所反映的是點到直線最短的距離。從心理學的角度分析，基于這個理解，并不能滿足學生在抽象概念時所需要的從“大量廣泛熟悉”的事物著手的觀點。

其實，在此環節中從學生的認知經驗出發，結合學生所熟悉的事物，創設教學情境，往往能起到較好的教學效果：如圖6所示，若想測量這棵香樟樹到馬路的最短距離，大家準備怎么測量？

學生經過思考、分析與交流，初步體驗到香樟樹與馬路為垂直關系的線段最短，且這條最短的線段只有一條。此時教師不要著急揭曉結論，可以借助這個情境，順著學生的思維繼續演練，比如添加鋪設煤氣管道、修筑排水系統等問題，引導學生逐步抽象出1個點和1條直線間的垂線段。

這種重基礎、抓本質，從大量廣泛熟悉的事物著手的教學方式，不僅能強化學生對基礎概念的理解，幫助學生精準地繪制垂線段，還能為學生后期接觸到各類圖形的畫高問題奠定基礎。比如，圖6的應用，就是為三角形、梯形與平行四邊形畫高夯實基礎。

（2）從各個角度組織感性材料

從以上分析來看，畫圖形的高，可以理解為過點畫直線的垂線段，那么引導學生感知、體悟垂線段則是教學的重點內容之一。若將目光僅僅停留在一點一線的問題上，則學生的思維將難以打開。因此，教師應適當地添加一些可以從不同角度來看待與分析的感性材料，以拓寬學生的視野，培養學生的發散性思維。

問題：有1塊三角形的草地，若想從一個頂點到對面的那條邊上修1條最近的路，該怎么修呢？

從這個問題的表面來看，是練習畫垂線段的問題，一般學生都會將目光鎖定在問題中的“頂點”與三角形對面的邊上，很少有學生會受三角形其他兩條邊的干擾。解決此問，學生基本沒有問題。透過現象看本質，本題的實質是畫三角形的高，這個問題情境的利用，顯然提高了學生的正確率，這為后期深化理解畫三角形的高做好了鋪墊。

2. 重體驗，深理解

（1）注重操作體驗，獲得深刻理解

皮亞杰提出：“空間觀念的形成與解題不一樣，若想建立空間觀念感，動手操作必不可少?！保郏玻蓁b于此，教師應從理念上明白，引導學生正確畫出各類圖形的高，不僅是解決了一個問題，還是幫助學生建立空間感的過程。

兒童對幾何的認識與成人有著顯著區別，成人對幾何的認識以公理體系作為起點，而兒童卻以自身的經驗作為對幾何認識的起點。這就決定了在講授各類圖形的高的問題上，教師不應從抽象的概念、定義著手教學，應從學生的生活經驗與認知結構著手，引導學生從實際操作中進行構造。

學生結合自身原有的認知經驗與操作活動進行各類圖形高的探索，不僅可以積累豐富的學習經驗，還能形成完整的表象，更好地理解平面圖形中高的本質與內涵。

比如“三角形高”的教學，教師可以引導學生進行如下操作：將1個三角形剪成2個直角三角形；平行四邊形的高，可以引導學生將平行四邊形剪拼為最大的長方形等。

在學生完成操作后，教師可引導學生完成類似三角形草坪等問題，鼓勵學生通過畫一畫，深化對“點到直線（對邊）”的認識與理解，從而對高的表象產生深刻印象，高的概念會在學生自主操作、觀察與體驗中自然而然地形成。

（2）注重變式練習，強化經驗

學生在畫高的過程中，因受思維定式的影響，視覺效果被鄰邊干擾而出現概念模糊的現象。想要糾正這種偏差，最好的辦法是教師引導學生動手操作，學生一旦對高的表象建立了良好的認知，那么在之后的應用中就能靈活變通。

比如對平行四邊形的高有了明確的認識后，教師可以帶領學生找一找圖形的高，鼓勵學生通過眼睛看、尺子量與動手擺等方式進一步理解平行四邊形的高。通過手腦并用，學生能深切體會高與“豎直”之間存在怎樣的區別，以擺脫思維定式的負面影響。

3. 扣根本，獲技能

奧蘇貝爾提出：“所有新知的建構，都是在學習者原有的經驗基礎上而建立，新知的獲得與原有認知經驗有著密切的聯系?！币虼?，教學時教師應從知識的本源抓起，結合學生對“高”的認知經驗開展活動。

緊扣知識本質與學生的認知經驗是突破學生思維障礙的根本，若從建構主義學的角度與心理學的角度來看，以上所有活動的開展都是在探尋高的本質，找出畫高的核心思想，為實際操作奠定基礎。鑒于此，教師對待畫高的問題上，可從以下幾點出發：

（1）從生活中找知識原型，掌握畫高原理

畫垂線段是畫高的核心與本質，它的生活實際價值在于用來解決最短距離的問題。畫高方法的教學，切忌簡單機械的技能訓練與重復練習，而應引導學生回歸生活，從學生原有的認知經驗出發，從他們的生活實際中找出知識的原型。

比如，學生在充分認識并體驗了平行四邊形的高的相關知識后，教師可創設一定的生活情境，鼓勵學生將三角形轉化為平行四邊形；也可以創設小學生感興趣的童話情境，如圖7所示：有1只蝸牛想從點A處爬至平行四邊形的對面，請為蝸牛設計1條最近的爬行路線。

面對這個問題，學生經過思考與討論，設計出了兩種爬行方法：一種為鉛垂法，一種為斜著畫法。對于鉛垂法，教師可以提出問題：“這么畫的理由是什么？”引導學生根據這個問題，逐步深入地思考這么畫的原理，讓學生在思考與分析中，自然而然地將畫高的方法與畫垂線段的方法聯系起來。對于學生的這種想法，教師應及時給予肯定。

對于斜著畫的方法，教師可以引導學生進行類比，讓學生自主發現畫高原理其實并沒有發生變化，也就是說平行四邊形的高，不論朝哪個方向去畫，核心思想都是從直線外的點畫已知直線的垂線段。在此，教師可借助幾何畫板等工具，擦除點A的鄰邊，將問題直接抽象成點與直線的位置關系，讓學生從思想上實現畫高方法的融會貫通。

以上教學過程，只是進行原理溝通的基本方法。除此之外，教師還可以要求學生直接畫平行四邊的高，并提出：“畫平行四邊形的高與之前所接觸過的什么知識比較接近？”隨著此問的探索與解決，學生能夠抽象出畫高的原理與本質。

（2）強化學生的技能訓練，獲得操作能力

技能是指通過一定的練習，能完成一定的任務。技能學習與知識的學習相比，顯得更加復雜，程序更多，技能不僅包括對動作認識，還存在對動作的實際執行等問題［３］。基于此，畫高作為一種作圖技能，顯然比理論知識的教學更復雜，技能訓練一般可從以下兩方面進行：

一方面，基于基本認識的訓練，就是理解與操作結合的訓練，教師引導學生邊理解邊操作，邊操作邊理解。例如，要求學生用三角板畫高前，可以添加說一說、指一指高的位置的環節，幫助學生從認知上建立準確的概念，然而后執行操作，可有效減少失誤的發生。

另一方面，基于執行的技能訓練，技能屬于一種動作，以程序化的操作為表現。在三角形畫高中，主要體現在如何擺放三角板上。當學生對畫高的原理及方法有了明確的認識后，一定量的練習訓練可強化學生的操作技能。

總之，學生想要突破思維障礙，提高畫高能力，單純地從操作著手無法達到相應的目的。學生只有從問題的本質出發，站在一定的高度，系統地看待并處理問題，通過切身感知與體驗，才能從真正意義上突破思維障礙，掌握畫高的技能，提升數學核心素養。

參考文獻：

［１］ 朱智賢，林崇德. 思維發展心理學［Ｍ］. 北京：北京師范大學出版社，２００２.

［２］ 讓·皮亞杰. 結構主義［Ｍ］. 倪連生，王琳，譯. 北京：商務印書館，１９８４.

［３］ 科斯塔，卡利克. 思維習慣［Ｍ］. 李添，趙立波，張樹東，胡曉毅，等譯.北京：中國輕工業出版社，２００６.