數學抽象素養在中學數學教學中的應用分析

王德朋

摘? ?要：為貫徹落實“立德樹人”根本任務，在中學數學教學中，要以培養學生學科核心素養為導向.數學抽象素養在六大核心素養中是最為基礎也是極為關鍵的核心素養，并能夠為另外五大核心素養的培養進行鋪墊.在解決數學問題時，數學抽象思想方法是必不可少的.文章主要從基本概念、數學抽象的基本形式、數學抽象的應用案例及結論四部分介紹了數學抽象在中學數學教學中的應用.

關鍵詞：中學數學教學；數學抽象素養；應用

自2017年高中數學課程標準修訂以來，教學教育堅持以“立德樹人”為根本任務，并相應地提出了六大數學學科核心素養.在高中數學教學過程中要以培養學生相應的核心素養為導向，并貫穿于教學的全過程中.數學抽象作為最基礎的核心素養，在高中數學中都有所體現.教師在數學教學過程中通過知識的講解與應用，即從實際的生活問題中抽象出數學問題進行解決，來逐步培養學生的數學抽象素養.

1? 基本概念

1.1? 抽象的概念

抽象是指在大部分事物中提取出共同本質特征，放棄其中非本質特征的思維過程[ 1 ].抽象要通過對比選擇出最根本的特征.在生活實踐中，抽象是運用判斷及推理等形式去粗求精的過程.

1.2? 數學抽象的概念及表現

數學抽象是在實際問題中把數量與空間形式進行抽象，以此形成相關研究對象的素養.數學抽象是數學教學中最基本的思想，把數量與數量之間、圖形與圖形之間的關系抽象成概念與概念之間的關系，從具體事物中抽象出共同特點，一般結構，賦予數學語言來表達[ 2 ].其主要表現是：通過抽象，得到概念以及規則，提出模型，構成數學思想方法，并建立數學體系.教師在中學數學教學中要引導學生在情境問題中抽象出數學的概念、方法與體系，養成從具體情境抽象出數學問題的習慣，學會運用抽象思維去解決實際問題.如圖1所示.

2? 數學抽象的基本形式

如圖2所示，數學抽象的基本形式有弱抽象、強抽象、構象化抽象及公理化抽象，下面對于這四種基本思維形式作以介紹.

2.1? 弱抽象

弱抽象是對某一事物的一個特征或從該事物的側面進行抽象，形成比原事物更一般的理論和概念.通過抽象，形成了一個鮮明的特例，保留抽象出來的本質，原事物其他性質將被忽視.這個抽象也被稱為“概念擴展性抽象”.例如：在各種各樣的物體的計數上，要抽象出整數的概念，原物體的性質就會視而不見了，只考慮數的概念來確定整數的概念.

2.2? 強抽象

強抽象是在原有事物的基礎上賦予一些新的特征，從而形成新的概念的過程.這個新概念就會是原事物的一個特例，也被稱為“概念增加性抽象”.例如：在一個平行四邊形的概念基礎上，給其賦予一個新的概念“兩組對邊平行且相等”，就會形成一個新的矩形的概念.

2.3? 構象化抽象

構象化抽象是在原事物基礎上不能直接進行抽取，而要將數學對象理想化對待，賦予其構思想象的過程.此抽象的作用是在原事物的基礎上增添一種新的元素，使得其數學結構更加完備，因此，又被稱為“新元素添加完備式抽象”例如：在有理數的基礎上，構想出了無理數，就構成了實數，使得其系統更加完備.

2.4? 公理化抽象

公理化抽象是在原有的基礎上，為了數學的發展，通過構思想象出了新的概念法則，并讓新法則更理想，符合要求，使得數學理論體系更加完善.此法則也叫“公理更新完善化法則”.例如：“非歐幾何學平行公理”就是通過公理化抽象而得來的.

3? 數學抽象在中學數學教學中的應用案例

3.1? 哥尼斯堡“七橋”問題

一條大河橫貫哥尼斯堡城區，共有兩個支流.市區內有七座大橋，其中五座與河中的小島相連.該島風景優美，市區的居民們在閑暇時間都喜歡來島上游玩，瞻仰康德的雕像以及游玩.時間一長，就有居民對七座大橋產生了興趣，并嘗試著能否一次性通過七座大橋，且不能在每一座橋上重復通過[ 3 ].這就是哥尼斯堡“七橋”問題的由來.如圖3所示：

人們對各種方案進行嘗試，都達不到一次性通過七座橋的效果.著名數學家歐拉轉換思路，運用抽象的方法用七條線段代替七座橋，用四個點代替四塊陸地，如圖4所示.這樣就會產生一個新的問題，“怎樣一筆將七條線段一次性連接起來，且只有一個起點和終點？”即“一筆畫”.歐拉經過分析，得到了一個結論：一筆能夠畫完的圖，“奇次點”要么沒有，要么有2個.但圖4卻有4個，即不能一筆畫完，于是得出不能一次性通過七座橋的結論.

通過這個例子，可以深刻體會到運用抽象的思維來解決實際問題的巨大優勢.在中學數學教學中，教師在介紹用抽象思維解決問題時，可以運用這個案例讓學生體會數學抽象的重要性，培養學生的數學抽象素養.

3.2? 數學抽象在“函數”中的體現

“函數”內容在中學數學中是十分重要的一塊內容.該內容的學習有利于實際問題的解決.首先如何理解“函數符號y=f（x）”的意思呢？y=f（x）是一個數學符號，用來表示“y關于x的一個函數”而不是f與x相乘.例：y=2x+1也能夠寫成f（x）=2x+1，如果將x=3帶入其中會得到y=7，也可以寫成f（3）=7.通過對函數符號的理解，可以使學生進一步體會到抽象的思維方法.對于一些數學符號的理解與運用，能更好的培養學生的數學抽象素養.此外，在函數的一些性質里，也體現出了數學抽象的運用，如函數的單調性，奇偶性等等.當用數學語言表示函數的單調性時，借函數y=x2的圖象展示.設函數的定義域為J，且區間D包含于J，在D上任意取兩個值x1和x2，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則函數f（x）在區間D上是增函數，即“單調遞增”，如圖5所示.同理，若都有f（x1）＞f（x2），則函數f（x）在區間D上就是減函數，即“單調遞減”，如圖6所示.

函數的奇偶性在對于定義的理解上以及用數學語言表示奇偶性都體現了數學抽象的應用.“奇函數”是對于函數定義域內任意一個x都存在f（-x）=-f（x），圖像關于原點對稱.“偶函數”是對于函數定義域內任意一個x都存在f（x）=f（-x），圖像關于y軸對稱.

對于三角函數的教學，數學抽象的運用更是必不可少的.例如，對任意角三角函數定義的理解；能根據三角函數的定義推導同角三角函數的基本關系式并且掌握；利用單位圓能夠找到不同角的關系并理解誘導公式；利用三角恒等變換的公式解決一些問題；此外，在三角函數的應用上，將一些實際問題轉化為三角函數問題來解決.通過對于函數的定義理解以及賦予數學語言，及在實際問題中的應用，教師在教學上能夠更好地培養學生的數學抽象素養，鍛煉抽象思維.

3.3? 數學抽象在“數列”中的體現

“數列”這一章是選擇性必修部分的內容，也是高考中最重要的一部分內容之一.尤其是等差數列及等比數列相關的知識及其應用，是學生必須要掌握的內容.培養數學抽象素養在其中也是教學目標的重要內容.

（1）等差數列

從生活實例中，能夠抽象出等差數列的概念，以及對于通項公式能夠有深入的理解.例如：

{1}某人貸款買車，每月需要等額分期還款，每月還款錢數（元）分別是：2000，2000，2000，2000，……

{2}小學生數數，從1到100，即1，2，3，4，……

通過觀察這些數據有什么特點呢？以上兩組數據都是從第二項起與前一項之差為同一個常數.那么，就可以從以上兩個生活實例中抽象出等差數列的概念，即“一個數列從第二項起，每一項與前一項的差都是同一個常數，這個數列即是等差數列[ 4 ].”同時，賦予數學語言，首項為a1，公差為d，得到通項公式an=a1+（n-1）d.理解等差數列通項公式與一元一次函數的關系也能夠培養學生的數學抽象素養.

（2）等比數列

對于等比數列的概念，通過實例也能夠有所體現.例如：

{1}某動物細胞細胞分裂，分裂的個數會由1個變成2個，2個變成4個，4個變成8個，以此類推，即1，2，4，8，……

通過觀察以上2個案例，就能觀察到從第二項起與前一項之比為同一個常數.能夠從中抽象出等比數列的概念，即“一個數列從第二項起，每一項與前一項的比都是同一個不為零的常數，這個數列即是等比數列[ 4 ].”用數學符號表示為：首項是a1，公比是q（q≠0），通項公式為：an=a1·qn-1.同時，對于等比數列與指數函數的關系也能體現出數學抽象思想.

4? 結論

本文對抽象與數學抽象的概念及四種基本形式做了相關介紹，并通過哥尼斯堡“七橋”問題、函數及數列的相關內容來體現數學抽象思維方法.數學抽象是數學教學中最基本的思想，在解決一些實際問題時，數學抽象思維是至關重要的.在授課過程中要引入一些生活實例，將實際問題轉換為數學問題來加以解決，鍛煉學生的抽象思維.在新課標的引導下，為把學生培養成全面發展的人，應基于學生原有素養，提升學生抽象思維能力，培養學生數學學科核心素養.高中數學的各部分內容都能夠培養學生的核心素養.教師在教學過程中，不僅僅要講授數學知識，更重要的是通過在課堂上與學生進行互動交流，使學生能夠積極的參與到課堂中，達到培養學生數學學科核心素養的效果，從而使學生的整體素質得到提高.

參考文獻：

［1］ 張勝利，孔凡哲.數學抽象在數學教學中的應用[J].教育探索，2012（1）：68-69.

［2］ 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017 年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：4-5．

［3］ 鄭泉水.哥尼斯堡七橋問題的啟示[J].中學生數學，2018（24）：17-18.

［4］ 李龍才，周遠方.普通高中教科書教師教學用書.數學選擇性必修二A版[M].北京：人民教育出版社，2019.