導數與三角函數聯袂問題的分類討論策略

祁居攀

(甘肅省臨澤縣第一中學)

近年導數與三角函數聯袂問題比較受高考命題者的青睞,由于三角函數具有周期性和有界性,導致求導后某個范圍內導函數恒正或恒負,所以處理三角函數與導數綜合問題的關鍵是需要逐段分類討論,在討論中對取點、估值、函數的性質等考查力度較大,需要考生有很強的觀察能力、邏輯推理能力.本文梳理了幾種導數與三角函數聯袂問題的分類討論策略,供大家參考.

1 根據導函數的零點分區間討論

點評通過導函數的零點,分區間討論函數的單調性是常用的方法之一,其關鍵點是導函數在區間內的零點可求且是確定的.

2 根據導函數的結構分象限討論

例3 已知函數f(x)＝ex－sinx－1.

點評根據三角函數周期性的特點,分象限討論能更準確地判斷導函數的符號,進一步討論原函數的單調性.

3 根據導函數的符號分段討論

下面根據導函數的取值符號分段討論.

點評通過觀察導函數的結構,先進行討論已知區間內能直接判斷出導函數符號的區間,再討論剩下的區間,可以降低討論的復雜程度.

4 根據導函數端點值的符號分類討論

例5已知函數f(x)＝2exsinx－ax,若0＜a＜6,試討論f(x)在(0,π)上的零點個數(參考數據≈4.8).

解析因為f(x)＝－2exsinx－ax,所以f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)－a,令h(x)＝f′(x),則h′(x)＝4excosx.

綜上,當0＜a≤2時,f(x)在(0,π)僅有1個零點;當2＜a＜6時,f(x)在(0,π)上有2個零點.

點評若導函數的端點或拐點處的符號不確定則原函數的單調性也無法確定,因此導函數的端點或拐點處函數值的正、負是引發討論的一個重要因素,在解題過程中要加以重視.

導數與三角函數聯袂問題的題型靈活多變、綜合性強,尤其是區間內導函數的零點不易確定時,此時需要考生根據三角函數的結構特點,找準分類討論的切入點,優化解題過程.

(完)