強基計劃數學備考系列講座(17)
——不動點與不變性

王慧興(正高級教師 特級教師)

(清華大學附屬中學)

同學們熟知函數的零點、極值點,這里介紹強基計劃數學筆試?？嫉摹安粍狱c、穩定點與周期點”,這些內容在高考試題中也有所涉及.

1 知識要點

1.1 函數不動點與穩定點

定義1方程f(x)＝x的實數解,稱為函數y＝f(x)的不動點.直觀上表現為函數y＝f(x)的圖像與直線y＝x的交點P(x,f(x))的橫坐標,同時,把迭代函數y＝f(f(x))的不動點,即方程f(f(x))＝x的實數解稱為函數y＝f(x)的穩定點,也稱為二階不動點.

按定義,函數f(x)的不動點與穩定點的集合分別為A＝{x∈R|f(x)＝x},B＝{x∈R|f(f(x))＝x},若A＝?,則A?B;若A≠?,則任取x0∈A,都有f(x0)＝x0,所以f(f(x0))＝f(x0)＝x0,從而x0∈B,所以A?B.

任一函數f(x)的不動點都是其穩定點,這提供了求解穩定點方程的一個分解、降冪視角.

定義2函數y＝f(x)的一個穩定點,如果不是不動點,則稱為其周期點,函數周期點的集合C＝BA.

任取函數y＝f(x)的周期點x0,記f(x0)＝y0,則f(y0)＝f(f(x0))＝x0,所以f(f(y0))＝f(x0)＝y0,故y0也是函數y＝f(x)的一個周期點,P(x0,y0)與P′(y0,x0)是其圖像上關于直線y＝x對稱的兩點.

一次函數f(x)＝ax＋b(a≠±1,0)都有唯一穩定點與不動點,兩者是同一數值;一次函數f(x)＝x＋b(b∈R{0})沒有不動點,也沒有穩定點.特別地,一次函數f(x)＝x的不動點集合是R,因此其穩定點集合也是R;一次函數f(x)＝－x＋b(b∈R)有唯一不動點x＝,而其穩定點集合是R.

對于二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0),一方面,如果f(x)存在不動點,則不動點也是穩定點;另一方面,如果f(x)沒有不動點,即方程ax2＋bx＋c＝x沒有實數解,這是一個值得注意的結論.基于幾何直觀,直線y＝x與拋物線y＝f(x)沒有公共點,從而拋物線y＝f(x)整體位于直線y＝x上方,或整體位于y＝x下方;若是前者,則a＞0 且f(x)＞x(?x∈R),從而f(f(x))＞f(x)＞x(?x∈R),所以方程f(f(x))＝x無實數根,即函數y＝f(x)沒有穩定點;若是后者,則a＜0且f(x)＜x(?x∈R),從而f(f(x))＜f(x)＜x(?x∈R),所以方程f(f(x))＝x無實數根,即函數y＝f(x)沒有穩定點.再給出方程分析:a(f(x))2＋bf(x)＋c＝x,即

故函數y＝f(x)也沒有穩定點.

性質單調遞增函數f(x):R→R的穩定點都是其不動點.

證明任取函數f(x):R→R 穩定點x0,則f(f(x0))＝x0.下證:f(x0)＝x0.

假設f(x0)≠x0,則f(x0)＜x0或f(x0)＞x0,由f(x)是增函數,得

兩種情形均矛盾,故增函數f(x):R→R 的穩定點都是不動點.

注:這條性質對單調遞減函數不成立,例如:定義在R上的減函數f(x)＝－x＋b(b∈R)有唯一不動點x＝,而其穩定點結合是R.

1.2 遞推數列不動點與穩定點

由一個函數y＝f(x)定義一個遞推數列{an}:an＋1＝f(an)(n∈N*),如果a1恰好是函數f(x)的不動點,即方程f(x)＝x的解,則這個遞推數列就是一個常數列.因此,把函數y＝f(x)的不動點稱為遞推數列{an}:an＋1＝f(an)(n∈N*)的不動點.

高階遞推數列{an}:an＋k＝f(an＋k－1,an＋k－2,…,an)(n∈N*)的不動點是指以x取代遞推公式中an＋k,an＋k－1,an＋k－2,…,an每一項所得方程x＝f(x,x,…,x)的解.

無窮遞推數列的不動點代表著其延伸趨勢,深度探究一個遞推數列的單調性、有界性以及斂散性等,通常可從其不動點與周期點入手.

1.3 不變性與切比雪夫多項式

1)保域函數與等域區間

比不動點與穩定點更一般的概念是函數的“保域”性.

定義3如果函數y＝f(x)(x∈D)的值域M＝D,則稱之為保域函數.特別地,如果定義域D＝[m,n]或(m,n)(m＜n),則稱這個區間為保值區間(或等域區間),也可類比理解無窮型等域區間.

例如,冪函數f(x)＝x3或g(x)＝均有3個不動點x＝－1,0,1,則(－∞,－1],(－∞,0],(－∞,1],[－1,0],[－1,1],[－1,＋∞),[0,1],[0,＋∞),[1,＋∞)以及(－1,＋∞)都是其等域區間.

下面給出兩個充分條件.

如果增函數f(x)有兩個穩定點m,n(m＜n),則[m,n]是f(x)的一個保值區間;如果增函數f(x)有n個不動點x1＜x2＜…＜xn,則函數f(x)有C2n個等域區間[xi,xj](1≤i＜j≤n).

例如,冪函數f(x)＝x3是增函數,并且它有三個不動點x＝－1,0,1,因此它有三個等域區間:[－1,0],[0,1],[－1,1].

2)切比雪夫多項式函數

定義4在cos(nθ)的展開式中,取cosθ＝x,得到一列多項式Tn(x):T0(x)＝1,T1(x)＝x,T2(x)＝2x2－1,T3(x)＝4x3－3x,T4(x)＝8x4－8x2＋1,…,且有遞推關系Tn＋2(x)＝2xTn＋1(x)－Tn(x)(n∈N),其中每個多項式Tn(x)都稱為切比雪夫多項式.

由定義可知切比雪夫多項式Tn(x)都是保域函數,[－1,1]是其等域區間.

1.4 遞推數列的單調性與斂散性

遞推母函數:用一個函數y＝f(x)定義一個遞推數列{an}:an＋1＝f(an)(n∈N*),則稱函數y＝f(x)為數列{an}的遞推母函數.

定理如果遞推數列{an}:an＋1＝f(an)(n∈N*)的遞推母函數在R 上單調遞增,并且有不動點x1,x2(x1＜x2).

(1){x∈R|f(x)＞x}＝(x1,x2),{x∈R|f(x)＜x}＝(－∞,x1)∪(x2,＋∞).

當a1∈(－∞,x1)時,數列{an}單調遞減;當a1∈(x1,x2)時,數列{an}單調遞增,并且收斂于x2;當a1∈(x2,＋∞),數列{an}單調遞減,并且收斂于x2.

(2){x∈R|f(x)＜x}＝(x1,x2),{x∈R|f(x)＞x}＝(－∞,x1)∪(x2,＋∞).當a1∈(－∞,x1)時,數列{an}單調遞增,并且收斂于x1;當a1∈(x1,x2)時,數列{an}單調遞減,并且收斂于x1;當a1∈(x2,＋∞),數列{an}單調遞增.

2 典例精析

2.1 概念理解

按上文,二次函數的不動點都是其穩定點,并且當二次函數沒有不動點時,它也沒有穩定點.這樣一個值得關注的結論,常出現在高校自主命題中,但這并不是說二次函數的穩定點與不動點完全一樣.

例1求f(x)＝2x2－1的不動點與穩定點.

所求實數a的取值范圍即為函數g(x)＝ex＋x－x2(x∈[0,1])的值域M.由不等式ex≥x＋1,得g′(x)＝ex＋1－2x＞2－x＞0(0＜x＜1),所以g(x)是增函數,其值域M＝[g(0),g(1)]＝[1,e].

綜上,實數a的取值范圍是[1,e].

2.2 簡解方程

2.3 數列探究

2.4 遞推不變性

由數學歸納法可得

2.5 迭代不變性

例6設f1(x)＝f(x)＝2x2＋2x－1,fn＋1(x)＝f(fn(x))(n∈N*),求方程f2023(x)＝0的負實根的個數.

因為[－1,1]是切比雪夫多項式g(x)的等域區間,所以

考慮模數列{2n}(mod6):2,4,2,4,…以2為周期,所以22023≡2(mod6),從而

2.6 線性化與非線性化

例7定義{an}:a1＝a2＝2,且

由數學歸納法可知{bn}的各項都是完全平方數.

點評遞推數列{an}呈現復雜非線性,先用不動點線性化,再按探究目標非線性化,這樣證明計算量小、思想性強.

2.7 遞推有界性

例8在數列{an}中,a1＝1,an＋1＝＋1(n∈N*),若存在常數c,對任意的n∈N*,都有an＜c成立,則正數k的最大值為( ).

解析由k＞0,a1＝1,an＋1＝＋1(n∈N*),可知an＞0(n∈N*),故滿足題設條件的常數c＞0.

先考慮數列{an}的不動點:方程x＝kx2＋1的解是數列的不動點,取其中較小一解為

(1)由x1＝a＞3,得

假設已得到2＜xk＋1＜xk,則

由數學歸納法可得2＜xn＋1＜xn(?n∈N*),故數列{an}單調遞減且有界,存在極限A∈[2,a),對遞推關系取極限,得即A＝2,所以數列{an}收斂于2.

(2)任取n∈N*,分類討論:

若xn≤3,則由(1)得xn＋1＜xn≤3.

若xn＞3,則x1＞x2＞…＞xn＞3,則對一切k∈{1,2,…,n},都有

點評基于數列的遞推母函數的不動點證明數列的單調有界性,避免了單純基于遞推方法的煩瑣計算,同時也清晰體驗到遞推母函數不動點與收斂數列極限的關聯.

2.8 保等差數列

例10函數f(x):R*→R 不是單調不減函數,并且對任意x＞0,y＞0,z＞0都有

取d＝m－n,由函數g(x)為保等差數列,可得

對固定的g(n)∈R與固定的g(m)－g(n)＞0,當正整數k足夠大時,總有

(完)