探究本質 提煉方法
——以指數函數與對數函數混合型不等式問題為載體

王 波

(江蘇省蘇州實驗中學)

《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》明確指出,函數是現代數學最基本的概念,是描述客觀世界中變量關系和規律的數學語言和工具,在解決實際問題中發揮著重要作用.指數函數與對數函數的混合型不等式問題在試卷中常作為壓軸題出現,難度比較大.在學習中,我們如何突破這一關鍵難點顯得尤為重要.本文圍繞這一問題通過實例介紹一些思路和方法.

1 局部研究,尋找突破路徑

例1已知函數f(x)＝ex－1,g(x)＝bx－blnx(a,b∈R),若f(x)≥xg(x)對x＞0恒成立,求實數b的取值范圍.

若1－b≥0,即b≤1,當x＞1 時,h′(x)＞0,h(x)單調遞增;當0＜x＜1時,h′(x)＜0,h(x)單調遞減,所以h(x)≥h(1)＝1－b≥0,故b≤1.

若1－b＜0,即b＞1,h(1)＝1－b＜0與h(x)≥0矛盾.

綜上,實數b的取值范圍是(－∞,1].

點評本題是典型的指數函數與對數函數混合型不等式問題,解題關鍵是發現函數與函數y＝x－lnx的導數中有相同的因式x－1,從而提取公因式,對其局部進行研究,使問題得以順利解決.

啟示我們要熟知此類函數的導數形式,并學會把函數變形成常見函數,比如y＝xex,y＝x＋lnx,等,化生為熟.

點評本題原函數的導數中沒有可以提取的公因式,但可以通過分離參數使問題只需研究函數h(x)的性質,從而得到原函數g(x)的單調性.運用“隱零點”處理最小值,需要對其進行變換,即對ex,lnx進行變換處理,形成能夠求出定值或最值的形式.

啟示例1是直接構造函數研究,通過提取公因式使問題簡化,例2是通過參變分離使問題簡化,兩者都是從局部入手尋找突破點,分析函數的性質.這種思想方法常用于求解指數函數與對數函數混合型問題.

2 同構變形,構造常見函數

例3已知函數f(x)＝aex－1－lnx＋lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

令g(t)＝et＋t,則上式等價于g(lna＋x－1)≥g(lnx).易知g(t)為增函數,所以lna＋x－1≥lnx在(0,＋∞)上恒成立,即lna≥(lnx－x＋1)max,令y＝lnx－x＋1,易知函數y′＝－1,所以y＝lnx－x＋1在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減,故y＝lnx－x＋1的最大值為0,即lna≥0,則a≥1,故a的取值范圍是[1,＋∞).

點評以上同構變形將混合型問題變為單一的指數或對數形式問題,化繁為簡.解題的關鍵在于觀察出函數之間的微妙關聯,如能夠及時發現等之間的聯系,構造出“母函數”f[g(x)]≥f[h(x)],利用函數的單調性得出“子函數”的大小關系.這樣的變形對問題的形式有較大要求,近幾年全國卷中也常出現這樣的問題,因此我們應引起重視.

啟示對于指數函數與對數函數的混合型不等式問題,解題的難點在于發現兩者之間的聯系,而同構變形恰是找準兩者結構上的關聯性,構建橋梁,將指數函數與對數函數混合問題轉變成單一的指數函數或對數函數相關問題.

3 端點探路,思索合理范圍

例4已知函數f(x)＝xex－elnx,若f(x)≥b(x－1)2＋e(lnx＋1)恒成立,求實數b的取值范圍.

當5e－2b≥0,即b≤e時,m″(x)≥m″(1)≥0,所以m′(x)在(0,＋∞)上單調遞增,又m′(1)＝0,所以當0＜x＜1時,m′(x)＜0,m(x)單調遞減;當x＞1時,m′(x)＞0,m(x)單調遞增,故m(x)≥m(1)＝0,所以式①恒成立.

當5e－2b＜0,即b＞e 時,m″(1)＜0,又m″(ln2b)＞0,所以存在x0＞1使m″(x0)＝0,故當1＜x＜x0時,m″(x)＜0,m′(x)單調遞減,所以m′(x)＜m′(1)＝0,此時m(x)單調遞減,所以當1＜x＜x0時,m(x)＜m(1)＝0,所以式①不成立.

綜上,實數b的取值范圍是(－∞,].

點評觀察發現m(1)＝0,結合問題發現m(x)≥m(1)＝0,這為找準問題解決方向提供了關鍵參考.又m′(1)＝0,若有m′(x)≥m′(1)＝0,則m(x)≥m(1)＝0.而m″(x)≥m″(1)≥0 保證了m′(x)的單調性,又m?(1)＝0協助探究了m″(x)的單調性,所以本題循環利用端點值起到了很好的作用.

啟示在學習指數函數與對數函數時都會探究圖像過某點,這為以后解決這類函數綜合問題埋下伏筆.學會觀察函數解析式的代數特征、分析函數圖像趨勢、思索問題突破點也是解決這類問題的重要思路.

4 放縮化簡,巧用切線變形

例5證明:當x＞0時,有

解析首先容易證明兩個常見的不等式lnx≤x－1(當且僅當x＝1時,等號成立)與ex≥x＋1(當且僅當x＝0時,等號成立),其中ex≥x＋1可變形為ex－2≥x－1,所以

點評本題結構復雜,直接構造函數研究比較困難,所以考慮借助常用不等式lnx≤x－1與ex≥x＋1進行放縮求解.

啟示常見不等式的主要作用就是把不同階的函數轉化為同階函數,這樣有利于研究問題,當然也可以放縮后再構造函數進行研究,進而解決目標問題.

5 分而治之,探求最值大小

點評本題以常見函數為模型,采用“倒置”形式命題,即證明成立,利用不等式性質將之變形為證明不等式的一種方法是構造一個整體函數,進而通過研究函數的性質求出最值.本題采用不等式證明中的另一種方法,即構造兩個函數,比較兩個函數的最小值與最大值,雖然不是常見方法,但也是求解該類問題的一種方法.

啟示觀察函數lnx前的系數是求解這類問題的關鍵之處,若該系數是常數,可以通過求導消除lnx,將問題變為單一的指數函數形式;若該系數不是常數,可通過變形構造關于lnx的常見形式如y＝等.

章建躍先生曾說:“數學教學必須注重思想和方法的教學,這是由數學的學科特點決定的.”從教的角度看,把握好思想方法才能準確把握教學目標,才能把數學教得本真而自然,教學行為才能“準、精、簡”,充分發揮數學的育人功能.從學的角度看,注重思想方法才能了解知識的源頭、發展和去向,才能掌握不同內容的關聯性,做到既學到“好數學”,又學得興趣盎然.因此,我們要勤于思考、善于分析、樂于探究,才能不斷提高自己分析問題和解決問題的能力.

(完)