生活中的一元二次方程

蔡忠平

應用一元二次方程解應用題是初中數學的重點之一，是歷年中考的熱點. 下面就此部分考題的常見類型進行歸納，并對解題思路、方法及策略加以分析.

類型一：平均變化率問題

例1 （2022·山東·德州）某校為響應全民閱讀的號召，圖書館面向社會開放，閱讀人數逐月增加. 據統計，3月份進館1000人，5月份進館1210人. 假設每月的閱讀人數增長率相同.

（1）求該校圖書館3月份至5月份閱讀人數的平均增長率；

（2）如果按此增長，6月份閱讀人數應達到多少人？

分析：因為每月的閱讀人數增長率都相同，設平均增長率為x，則4月份閱讀人數為1000（1 + x），5月份閱讀人數為1000（1 + x）（1 + x） = 1000（1 + x）2，6月份閱讀人數 = 5月份閱讀人數 × （1 + x）.

解：（1）設該校圖書館3月份至5月份閱讀人數的平均增長率為x，得1000（1 + x）2 = 1210，解得x1 = 0.1 = 10%，x2 = ?-2.1（不合題意，舍去）. 答：該校圖書館3月份至5月份閱讀人數的平均增長率為10%.

（2）1210 × （1 + 10%） = 1331（人）. 答：6月份閱讀人數應達到1331人.

點評：解平均增長率或降低率問題，應抓住每月的增長率或降低率相同，通常設增長率或降低率為x，用含x的式子表示增長后或降低后的量，即基礎量 × （1 ± x）n，根據等量關系列出一元二次方程.

類型二：循環比賽問題

例2 （2022·黑龍江·龍東）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？

分析：單循環比賽是指每兩支隊伍之間進行一次比賽，共n支隊伍，每支隊伍參加（n - 1）場比賽，一共比賽[n（n-1）2]場.

解：設共有x支隊伍參加比賽. 依據題意，得[x（x-1）2] = 45，解得x1 = 10，x2 = ?- 9（不合題意，舍去）. 答：共有10支隊伍參加比賽.

點評：循環比賽分為單循環比賽和雙循環比賽，其中單循環比賽總場次為[n（n-1）2]，雙循環比賽總場次為n（n - 1）.

類型三：面積問題

例3 （2022·廣東·深圳）如圖1，在一塊長12 m、寬8 m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路，剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積為77 m2. 求道路寬多少米.

分析：把兩條道路分別平移到矩形的最下邊和最右邊（如圖2），則剩下的部分是一個稍小的矩形. 利用矩形面積公式即可列出方程.

解：設道路寬x米. 列方程得（12 - x）（8 - x） = 77，整理得x2 - 20x + 19 = 0，解得x1 = 1，x2 = 19（不合題意，舍去）.

答：道路寬1 m.

點評：此題解法不唯一，還可以直接計算道路的面積列出方程：8x + 12x - x2 = 12 × 8 - 77.

類型四：利潤問題

例4 （2022·廣東·清遠）商場銷售某種服裝，每件進貨價為50元，市場調研表明：當每件服裝的售價為60元時，平均每個月可銷售800件，銷售單價每提升1元，平均每個月的銷售量就減少20件. 商場要使這種服裝的銷售利潤平均每個月達到12 000元，則每件服裝的定價應為多少元？

分析：設每件服裝的定價為x元，則每件服裝的銷售利潤為（x - 50）元，每個月的銷售量為［800 - 20（x - 60）］元，據此得到總利潤.

解：設每件服裝的定價為x元，根據題意，可列方程（x - 50）［800 - 20（x - 60）］ = 12 000. 整理得x2 - 150x + 5600 = 0，解得x1 = 70，x2 = 80.

答：每件服裝的定價為70或80元.

點評：利潤問題中“每……，每……”型問題，其特點是“每下降……，就每增加……”“每增長……，就每減少……”. 解題關鍵是抓住利潤、售價、成本、銷售量之間的關系，根據“總利潤 = 每件商品的利潤 × 銷售量”這一等量關系列方程.

（作者單位：北票市桃園初級中學 ）