分類討論思想在初中數學解題中的應用例析

【摘要】分類討論思想是一種重要的數學解題方法，在初中數學解題中具有廣泛的應用．本文通過實例分析，探討分類討論思想在初中數學解題中的應用，旨在提高學生解題的準確性和效率．

【關鍵詞】分類討論；初中數學；解題技巧

分類討論思想是指根據問題對象的特征，將問題按照一定的標準進行分類，逐類討論解決問題的方法．這種思想有助于提高學生思維的嚴密性和邏輯性，是解決復雜問題的一種有效手段．

1 由未知數范圍引起的討論

例1 關于x的方程ax2+2a+1x+a－1=0有實數根，求a的取值范圍．

解析 ①當a≠0時，原方程是一元二次方程．

因為原方程有實數根，

所以Δ=2a+12－4aa－1≥0.

解得a≥－18.

所以當a≥－18且a≠0時，原方程一定有實數根．

②當a＝0時，原方程可化為x－1＝0，

此時方程為一元一次方程，有實數根．

綜上所述，a的取值范圍是a≥－18.

點評 題目要求a的范圍，但當a＝0與a≠0時，方程為兩種不同類型的方程，實數根的情況也不相同，因此需要先假設a＝0或a≠0，在不同的約束條件下對方程進行分析．

2 由弦的位置不確定引起的討論

例2 ⊙O的半徑為5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，則AB和CD的距離是 cm．

解析 ①若AB和CD分布在圓心的同一側，如圖1所示，連接OC和OA，過O點作AB的垂線，分別交AB，CD于點F、E，

因為ED=12CD=12×8cm=4cm，

FB=12AB=12×6cm=3cm，

在Rt△DOE中，ED＝4cm，OD＝5cm，

所以OE=OD2－ED2=3cm，

在Rt△BOF中，FB＝3cm，OB＝5cm，

所以OF=OB2－FB2=4cm，

所以AB和CD之間的距離為OF－OE=1cm.

②若AB和CD分布在圓心的兩側，如圖2所示，連接OC和OA，過O點作AB的垂線，分別交AB，CD于點F、E，

因為ED=12CD=12×8cm=4cm，

FB＝12AB＝12×6＝3cm，

在Rt△DOE中，OD＝5cm，ED＝4cm，

所以OE=OD2－ED2=3cm，

在Rt△BOF中，OB＝5cm，FB＝3cm，

所以OF=OB2－FB2=4cm，

所以AB和CD之間的距離為OF+OE=7cm．

可見，AB和CD的距離為1cm或7cm．

點評 本題看似是一道簡單的填空題，但因AB和CD位置的不確定性，導致解出的結果可能不同，也給本題帶來了一定的難度．考慮到AB和CD的位置無非就是在圓心同側或圓心兩側，分兩種情況進行討論，在不同條件下，解決問題并不是很難．

3 三角形的邊與圓的位置關系不確定引起的討論

例3 如圖3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，點P是線段CD上一動點，當半徑為4的⊙P與△ABC的一邊相切時，CP的長為 ．

解析 因為在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，

所以AB=AC2+BC2=13，

因為CD⊥AB，

所以△ABC的面積＝12AB·CD＝12AC·BC，

所以13CD＝5×12，所以CD=6013.

分三種情況：

當⊙P與BC邊相切，如圖4，

過點P作PE⊥BC，垂足為E，

因為PE⊥BC，

所以∠PEC＝90°，

所以∠CPE+∠PCE＝90°，

因為CD⊥AB，

因為∠ADC＝∠CDB＝90°，

所以∠PCE+∠B＝90°，

所以∠B＝∠CPE，

因為∠CEP＝∠ACB＝90°，

所以△BCA∽△PEC，

所以BAPC=BCPE，13PC=124，

所以PC=133.

當⊙P與AB邊相切，如圖5，

因為PD⊥AB，

所以CP=CD－PD=6013－4=813.

當⊙P與AC邊相切，如圖6，

過點P作PF⊥AC，垂足為F，

因為PF⊥AC，

所以∠PFC＝90°，

所以∠CPF+∠PCF＝90°，

因為CD⊥AB，

因為∠ADC＝∠CDB＝90°，

所以∠PCF+∠A＝90°，

所以∠A＝∠CPF，

因為∠CFP＝∠ACB＝90°，

所以△BCA∽△CFP，

所以BAPC=CAFP，13PC=54，

所以PC=525，

因為525>6013，

所以PC=525舍去．

綜上所述，當半徑為4的⊙P與△ABC的一邊相切時，CP的長為133或813.

點評 根據題目描述，半徑為4的⊙P與△ABC的一邊相切，但不清楚與哪條邊相切，需要分三種情況，分別分析⊙P與△ABC的某一邊相切，分別求出對應的CP的長，然后根據實際情況驗證得出最后結果．

4 結語

分類討論思想在初中數學解題中具有廣泛的應用，通過實例分析，可以提高學生解題的準確性和效率．在運用分類討論思想時，應先確定分類標準，再逐類討論，最后將各類結果進行歸納整理．學生在解題過程中應注重思維的嚴密性和邏輯性，培養良好的數學思維習慣．

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