等腰三角形中新定義題選析

滿高珍

新定義題型是各地中考熱點(diǎn)題型，是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)未涉及的一些新概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求同學(xué)們讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)和能力進(jìn)行理解，根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型. 下面選取兩道關(guān)于等腰三角形的新定義題，供同學(xué)們賞析.

一、倍長(zhǎng)三角形

例1 （2022·江蘇·蘇州）定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”. 若等腰三角形ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，底邊BC的長(zhǎng)為3，則腰AB的長(zhǎng)為_________.

解析：由等腰三角形ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，可知AB = 2BC或BC = 2AB. 若AB = 2BC = 6，可得AB的長(zhǎng)為6；若BC = 3 = 2AB，則三邊分別是1.5，1.5，3. 因?yàn)?.5 + 1.5 = 3，不能構(gòu)成三角形，所以這種情況不存在. 故應(yīng)填6.

二、倍角三角形

例2 定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”.

（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有_________（只填寫序號(hào)）. ①頂角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一個(gè)角是30°的直角三角形.

（2）如圖1，在△ABC中，AB = AC，∠BAC ≥ 90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，連接BE. ①若BC = BE，求證：△ABE是“倍角三角形”. ②點(diǎn)P在線段AE上，連接BP. 若∠C = 30°，BP將△ABE分成的兩個(gè)三角形中，一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫出∠E的度數(shù).

解析：（1）利用“倍角三角形”的定義依次判斷，易得答案：②③.

（2）①由折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAE = 2∠D，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠D = ∠E，易證∠BAE = 2∠E，則△ABE是“倍角三角形”.

②分兩種情況討論.

由①可得∠BAE = 2∠D = 2∠C = 60°，如圖2.

若△ABP是等腰三角形，則△BPE是“倍角三角形”，

∴△ABP是等邊三角形，∴∠APB = 60°，∴∠BPE = 120°.

∵△BPE是“倍角三角形”，

∴∠E = 2∠EBP或∠PBE = 2∠E，∴∠E = 20°或40°.

若△BPE是等腰三角形，則△ABP是“倍角三角形”，

∴∠ABP = ?∠BAP = 30°或∠APB = ?∠BAE = 30°或∠ABP = 2∠APB或∠APB = 2∠ABP，

∴∠APB = 90°或30°或40°或80°，∴∠BPE = 90°或150°或140°或100°.

∵△BPE是等腰三角形，∴∠E = 45°或15°或20°或40°.

綜上所述，∠E為45°或15°或20°或40°.

反思：解答這類問題的關(guān)鍵是要讀懂題目提供的新知識(shí)，理解其本質(zhì)，把它與已學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，把新的問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解決，即：（1）深刻理解“新定義”，明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論. （2）重視舉例，利用舉例檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”，歸納舉例提供的解題方法，歸納舉例提供的分類情況. （3）依據(jù)新定義，運(yùn)用類比、歸納、聯(lián)想、分類討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決題目中需要解決的問題.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：5分鐘

【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”. 從三角形（不是等腰三角形）的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來(lái)三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”.

【理解概念】（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，請(qǐng)寫出圖3中兩對(duì)“等角三角形”.

【概念應(yīng)用】（2）如圖4，在△ABC中，CD為角平分線，∠A = 40°，∠B = 60°. 求證：CD為△ABC的等角分割線.

【動(dòng)手操作】（3）在△ABC中，若∠A = 50°，CD是△ABC的等角分割線，請(qǐng)求出所有可能的∠ACB的度數(shù). （答案見第39頁(yè)）

（作者單位：山東省棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)馬蘭屯鎮(zhèn)插花學(xué)校）