“杠桿法”巧解復雜的平衡問題

熊高云

(江西省南康中學北校區,江西 贛州 341400)

(2022·浙江·模擬預測)如圖1,兩根等長的細線一端拴在同一懸點O上,另一端各系一個帶電小球,兩球的質量分別為m1和m2,已知兩細線與豎直方向的夾角分別為45°和30°.則m1與m2的比值為( ).

圖1 例題圖

答案:A

1 解法探究

詳解(1)常規解法一(正交分解法):對兩個球分別受力分析,如圖2所示.

圖2 受力分析、正交分解圖

根據平衡條件,對m1,有

m1gcos7.5°-T1cos37.5°=0

F-m1gsin7.5°-T1sin37.5°=0

對m2,有

m2gcos7.5°-T2cos37.5°=0

F+m2gsin7.5°-T2sin37.5°=0

聯立解得

故選A.

(2)常規解法二(相似三角形):對兩個球分別受力分析,如圖3所示,設兩等長的細線長度為L,則

圖3 受力分析、相似三角形圖

由相似三角形可得

由于F與F′為兩帶電小球間的相互作用——靜電力,所以大小相等,方向相反,聯立以上兩方程可得

由幾何關系可得

整理可得

m1g·L1=m2g·L2

由圖1可知,L1和L2分別為兩小球到轉軸OM的距離即為力臂,由m1g·L1=m2g·L2可知,此類問題可用“杠桿法”快速準確進行處理[1].

2 原理及適用條件

“杠桿法”原理為將幾個相互作用的物體看成一個整體,(這樣可以省去分析相互作用物體間的內力),再將“懸點”作為系統轉動的支點(或轉軸),(這樣做的目的是使過支點的繩子拉力或支持力的力距為0,簡化力距平衡方程).最后對系統列力距平衡方程即可快速準確的求解.

由“杠桿法”原理可知,此方法適用于存在“懸點”的系統問題處理,具體地講可以是高中物理中的“雙單擺”模型、“碗球”模型[2].

3 實戰應用

圖4 例1題圖

A．45° B．30° C．22.5° D．15°

答案:D

詳解(1)常規解法一:由題目中的數據可以得出,abO三點組成一個等腰直角三角形,所以兩底角都為45°．對兩球進行受力分析,由于球面光滑,所以兩球都只受到3個力,如圖5所示:重力、球面的支持力、剛性細桿的彈力;由于是剛性細桿,所以剛性細桿對兩球的彈力均沿著桿方向,且對兩球的彈力大小相等;兩球處于平衡狀態,兩球受到的合力都為零,兩球受到的三個力都組成一個封閉的力的矢量三角形．

圖5 受力分析圖

(2)杠桿法:將a、b兩球及剛性細桿看成一個整體并取圓心O為支點,整體受力如圖6所示.

圖6 杠桿法

由幾何關系可知

∠Oab=∠Oba=45°

由于Na、Nb兩個彈力的方向過所選支點,則兩個彈力的力距為0,則由“杠桿法”可得

mag·OM=mbg·ON

由幾可關系可得

OM=Rcos(45°+θ)、ON=Rsin(45°+θ)

聯立可得

解得θ=15°

故選D.

例2(2023·全國·高三專題練習)如圖7所示,三根長度均為L的輕繩分別連接于C、D兩點,A、B兩端被懸掛在水平天花板上,相距2L,現在C點上懸掛一個質量為m的重物,為使CD繩保持水平,在D點上可施加力的取值可能為( ).

圖7 例2題圖

答案:BC

詳解(1)常規解法:依題得,要想CD水平,則各繩都要緊繃,則AC與水平方向的夾角為60°,結點C受力平衡,則受力分析如圖8所示.

圖8 受力分析圖

因此CD的拉力為T=mgtan30°

D點受繩子拉力大小等于T,方向向左.要使CD水平,則D點兩繩的拉力與外界的力的合力為零,則繩子對D點的拉力可分解為沿BD繩的F1以及另一分力F2.

由幾何關系可知,當F2與BD垂直時,F2最小,而F2的大小即為拉力大小,因此有

故BC正確,AD錯誤.

故選BC.

(2)“杠桿法”取三根輕繩為整體且取O點為支點[3],受力分析如圖9所示

圖9 杠桿法

由杠桿平衡方程可得mgLsin30°=FLsinα

故選BC.