增強變式體驗 助力思維進階
——《長方形和正方形的周長》素養進階習題展評與教學建議

文 |包蓉

一、習題展評

●習題一

1.習題內容

請你將兩塊長6米，寬3米的長方形草坪拼組起來。

圖1

在方格圖中畫一畫、標一標，并計算它的周長。

圖2

2.能力指向

培養動手操作能力、圖形想象能力以及靈活計算圖形周長的能力。通過對兩塊長方形草坪不同拼組方式的呈現，打破慣性思維的同時促進對圖形特征的掌握。多樣的周長計算方法也能直觀反映出不同學習能力學生的思維水平與學習態度。

3.學情分析

本題是學生在自主描畫組合圖形的基礎上進行周長的計算。從城區45名學生的后測情況看，組合圖形集中在長方形和正方形（如圖3），只有兩位學生出現了“L”型拼法和“T”型拼法（如圖4）。

圖3

圖4

圖5

從周長計算角度看，絕大部分學生能在方格圖中進行簡單作圖，并感知重合的部分不是組合圖形的周長。當然，因為學生的思維水平發展不同，計算周長的方法也不同。有學生利用周長的概念，將線段長度進行累加計算，如：6+6+3+3+6+6=30（米）；62.2%的學生利用數的特點進行簡便計算，如：6×4+3×2=30（米）；還有的學生具有整體思維，將組合圖形看成了一個大長方形來計算，如：（6+6+3）×2＝30（米）。

●習題二

1.習題內容

30米的籬笆，能圍出哪些長方形（整米數）？請你計算說明。

方法長（米）寬（米）周長（米）?

2.能力指向

信息轉化和逆向思考能力。通過對“周長30米”這一信息的解讀，得到長和寬的長度和是15米，引導學生由整體走向部分，識別其中的隱含條件，并結合有序思考的方式找到所有可能，進一步培養學生轉化信息和知識逆向遷移能力。

3.學情分析

這一題不僅考查學生對周長本質概念的理解，還需要進行有序的逆向思考。除了個別學生不懂題意，大部分學生能夠準確地找出其中幾種，但找不全，且沒有一定順序。有學生錯誤地將周長和面積混淆，出現了長30米，寬1米；長15米、寬2米；長10米、寬3米的長方形。僅有11.1%的學生能將數學學習經驗進行有效遷移，有序地找全7種情況。

●習題三

1.習題內容

你會計算下面這些圖形的周長嗎？請你算一算，再寫一寫計算的秘訣。

我計算的秘訣是：_________

2.能力指向

圖形轉化和再組合能力。本題以一個常見的四邊形的變式為素材。由于圖形中缺乏每一段的長度數據，因此學生不能使用“通過求每條邊的總和求周長”的方法。學生需要將“不規則圖形”轉化為“規則圖形”，進而簡化復雜圖形的計算，將未知轉化為已知進行求解。

3.學情分析

95.6%的學生能正確計算第一個圖形的周長。因第二個圖形有干擾項，學生在計算周長時遇到困難。結合訪談，學生普遍能夠將其轉化為長方形的周長，只是難以找到對應寬的長度。第三個圖形的正確率為42.2%，學生普遍受到前兩個圖形的負遷移，直接計算長9厘米、寬6厘米長方形的周長，而忽略兩條2厘米的線段。可見，學生對于周長概念本質的理解還需要更加深入。

二、教學建議

1.在多樣化情境與素材中，拓寬思維的廣度

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出，教師需要引導學生從熟悉的生活與社會情境，以及符合學生認知發展規律的數學與科技情境中，經歷用數學眼光發現、提出問題，用數學思維與語言分析、解決問題。因此，在進行周長計算練習時，教師可以結合生活實際，創設給花壇圍籬笆、打造雞舍等情境，并將一面靠墻、兩面靠墻、已知周長求邊長等問題融入其中，讓學生在不同情境中學會提取有效信息和隱藏信息。

在幾何圖形的學習中，學生思維容易局限于常見的圖形（長方形、正方形），忽略圖形的多種可能性。那么就需要教師在變式練習中提供多樣化素材（如圖6），使學生能根據圖形的特征計算周長，并通過交流發現：這四個圖形的形狀大小不一樣，但是在周長的計算方法上有共通之處。①②③號都是用一條邊的長度×邊數，和正方形周長的計算方法相似；④號可以用一組相鄰邊的和×2，也可以用長邊×2+寬邊×2，和長方形周長的計算方法相似。教師利用這些變化的素材作為媒介，不失時機地展開辨析、比較，引導學生不再拘泥于計算公式本身，而是找尋關聯，直擊周長概念的本質。

圖6

2.在多維度辨析與比較中拓展思維的深度

三年級正是理性思維萌芽時期，需要教師做一個“過程”的加強者，不斷地“敲打”學生的思維，讓學生在一次次迷茫、豁然、欣喜中積累、感悟、明朗，直至達到主動應用。因此，在對長、正方形周長的鞏固練習中，教師可以適當地展開對比（如圖7），尋找聯系：圖形的形狀大小在變化，周長為什么不變？學生會從計算角度思考：長不斷增加，寬不斷減少，而增加的量與減少的量相互抵消。從而進一步深入：到底什么不變導致周長沒有變化？通過不斷地討論、辨析、猜想、驗證，使學生慢慢明了，不管怎么變，只要一組長和寬的和不變，周長自然也不會改變。教師還可以進行逆向變式：除了表中的四種情況，還有哪些可能，周長也會是20米？迫使學生發現長9米、寬1米的長方形，甚至可以是長8.5米，寬1.5米的長方形，進行適度的拓展提升。

圖7