對一道高中數學聯賽解三角形問題的探析

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學,安徽 蕪湖 241000)

分析該題結構雖簡單、明了,但內涵豐富、解法靈活,主要考查了正弦和余弦定理、三角恒等變換、三角形面積公式、構造圖形表示幾何關系等知識,強化了學生分析問題、解決問題的能力及轉化與化歸、數形結合的數學思想,體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養.文章從不同角度探析該題,給出了九種不同解法,現與讀者分享交流.

1 解法探究

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

及sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC,得

如圖1,過點B作BD⊥AC于點D,則

圖1 作高示意圖

BD=AB·sinA=BC·sinC,

AC=BC·cosC+AB·cosA.

聯立兩式整理,得

評注注意到該題的目標為sinA,接下來考慮構造關于角A的三角恒等式,變換化簡即可解題.

圖2 構角相等示意圖

在△BCD中,

CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠CBD,

圖3 構兩邊相等圖

在△ABD中,

AD2=AB2+BD2-2AB·AD·cos∠ABD,

即(2-BD)2= 1+BD2+BD.

解法7如圖4,延長CB至點D,連接AD,使得AD=AC.

圖4 構兩邊相等圖

由∠ABD+∠ABC=π,得

cos∠ABD+cos∠ABC=0.

由余弦定理,得

代入數值計算,得

解法8如圖5,延長AB至點D,連接CD,使得∠ACB=∠DCB.

圖5 構兩角相等圖

在△ADC中,

AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠ADC,

即4=4BD2+(1+BD)2+2BD(1+BD).

圖6 構等腰梯形圖

易知等腰梯形存在外接圓,故由托勒密定理,得

AD·BC+AB·CD=AC·BD.

2 反思總結