一道求直線過定點問題的四種解決策略

王弟成

(江蘇省蘇州實驗中學(xué),江蘇 蘇州 222006)

求直線過定點問題是解析幾何中的常見題型之一,也是高考重點考查的內(nèi)容,因此解決它需要綜合運用解析幾何知識,同時還要注意解題策略的運用.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)斜率不為0的直線l與C交于M,N兩點,若直線BM的斜率是直線AN斜率的兩倍,證明:直線l經(jīng)過定點,并求出其定點坐標(biāo).

1 設(shè)且求,選擇斜率k表示出相應(yīng)直線方程

策略1 從已知條件出發(fā),選擇直線AN的斜率k表示點M,N的坐標(biāo),進而表示出直線l的方程,從直線方程中挖掘出定點.

(3+16k2)x2-64k2x+64k2-12=0.

所以直線l的方程為

2 先猜后證,減少運算

策略2先利用特殊情況猜想出直線所過的定點,再利用斜率或向量證明三點共線,從而得到直線恒過定點.

3 設(shè)而不求,整體處理

策略3 上面解法的主要困難在于得到的直線l方程復(fù)雜,不易觀察定點.此時還可以考慮直接設(shè)出直線l方程,根據(jù)條件找到方程中相關(guān)參數(shù)的關(guān)系,此時再確定定點就很容易.

(t+2)y1=my1y2+2(t-2)y2.

即(3t-2)(t+2)y1=(t-2)(3t-2)y2.

4 用性質(zhì)換點,尋求對稱性

上面的每一種解決方法都有其優(yōu)點,解決問題時需要根據(jù)具體情境,明確方向,識別模型,選擇模型,確定方法.高三解題理應(yīng)策略優(yōu)先,只有對各種情況分析透徹,把握本質(zhì),才能在考試中選擇合適的方法解決問題.