基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的穩(wěn)健STAP算法

李仲悅, 王 彤

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

空時(shí)自適應(yīng)處理(space-time adaptive processing, STAP)能夠聯(lián)合空時(shí)兩維自由度,在二維聯(lián)合域形成與空時(shí)耦合雜波相匹配的斜凹口,有效提升機(jī)載雷達(dá)雜波抑制和目標(biāo)檢測(cè)性能[1-3]。當(dāng)用于雜波加噪聲協(xié)方差矩陣(clutter-plus-noise covariance matrix, CCM)估計(jì)的獨(dú)立同分布(independent and identically distributed, IID)樣本數(shù)大于系統(tǒng)自由度2倍時(shí),STAP算法可以獲得較為理想的處理性能。然而受陣列非理想配置以及觀測(cè)場(chǎng)景快速變化的影響,機(jī)載雷達(dá)的實(shí)際工作環(huán)境都是非均勻的,通常難以獲得期望的IID樣本數(shù),進(jìn)而導(dǎo)致STAP算法性能下降。

針對(duì)上述問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外科研工作者進(jìn)行了積極的探索,取得了豐富的研究成果。文獻(xiàn)[4]利用雜波的低秩特性將樣本需求數(shù)減小到雜波秩的2倍。文獻(xiàn)[5]通過(guò)二維譜變換增加非正側(cè)陣樣本的利用率。文獻(xiàn)[6]通過(guò)非均勻檢測(cè)器剔除統(tǒng)計(jì)特性不一致的樣本。文獻(xiàn)[7]利用先驗(yàn)的環(huán)境信息提高CCM估計(jì)性能。文獻(xiàn)[8]利用滑窗技術(shù)實(shí)現(xiàn)基于單快拍的目標(biāo)檢測(cè)。上述算法雖然可以提高非均勻環(huán)境下的雜波抑制性能,但對(duì)雷達(dá)工作模式、天線陣列結(jié)構(gòu)以及先驗(yàn)信息配準(zhǔn)精度提出了較高的要求,所以在實(shí)際應(yīng)用中存在較多限制。

近年來(lái),隨著稀疏恢復(fù)(sparse recovery, SR)理論的快速發(fā)展,研究人員提出一種基于雜波內(nèi)在稀疏性的SR-STAP方法[9-11]。由文獻(xiàn)[9-11]的理論和仿真分析可知,SR-STAP算法利用少數(shù)幾個(gè)甚至一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)就可以獲得高精度的CCM估計(jì),為提升非均勻環(huán)境下雜波抑制性能提供了一種新的途徑。SR-STAP算法一般包含兩個(gè)步驟:一是離散化空時(shí)平面并構(gòu)建稀疏信號(hào)模型;二是求解上述信號(hào)模型中的稀疏參數(shù)并利用其計(jì)算CCM。已有的SR-STAP文獻(xiàn)通常假設(shè)雜波數(shù)據(jù)能夠由離散化的字典矩陣精確表示。但在實(shí)際應(yīng)用中,離散化處理以及陣列幅相誤差的存在會(huì)導(dǎo)致接收數(shù)據(jù)與稀疏信號(hào)模型的失配,進(jìn)而降低SR-STAP算法的CCM估計(jì)精度。

為了減小模型失配造成的影響,文獻(xiàn)[12-16]對(duì)離散化處理造成的格點(diǎn)失配現(xiàn)象進(jìn)行了分析,提出局域化搜索和非均勻劃分的空時(shí)字典校準(zhǔn)算法;文獻(xiàn)[17-18]對(duì)由陣元幅相誤差造成的失配現(xiàn)象進(jìn)行了分析,提出誤差參數(shù)和角度-多普勒像交替迭代的算法。但是,文獻(xiàn)[12-18]僅考慮了由單一失配導(dǎo)致SR-STAP算法性能下降的問(wèn)題,對(duì)于兩種失配同時(shí)存在的情況還需進(jìn)一步探索。

針對(duì)上述問(wèn)題,本文提出一種基于稀疏貝葉斯框架[19-20]的穩(wěn)健STAP (robust sparse Bayesian learning-based STAP,RSBL-STAP)算法。RSBL-STAP算法首先利用導(dǎo)向矢量的Kronecker結(jié)構(gòu)構(gòu)建陣列幅相誤差和格點(diǎn)失配同時(shí)存在情況下的誤差信號(hào)模型,然后利用貝葉斯推斷和最大期望(expectation maximization,EM)算法[21-25]迭代求取角度-多普勒像、陣列誤差參數(shù)以及格點(diǎn)失配參數(shù),最后利用求解參數(shù)計(jì)算精確的CCM和STAP權(quán)矢量。此外,為了減小模型構(gòu)建所增加的計(jì)算復(fù)雜度,本文還提出了一種基于空域通道的自適應(yīng)降維字典矩陣設(shè)計(jì)方法。仿真實(shí)驗(yàn)證明了所提算法的正確性與有效性。

本文所提算法主要貢獻(xiàn)可歸納如下:

(1) 構(gòu)建陣列幅相誤差和格點(diǎn)失配同時(shí)存在情況下的SR-STAP誤差信號(hào)模型;

(2) 推導(dǎo)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(sparse Bayesian Learning, SBL)框架下誤差參數(shù)的迭代求解過(guò)程;

(3) 提出一種基于空域通道的自適應(yīng)降維字典矩陣設(shè)計(jì)方法。

1 信號(hào)模型

考慮一個(gè)機(jī)載脈沖多普勒雷達(dá)系統(tǒng),天線是由N個(gè)陣元構(gòu)成的均勻等距線陣,陣元間隔為半波長(zhǎng)(d=λ/2)。假設(shè)雷達(dá)發(fā)射機(jī)在一個(gè)相干脈沖處理時(shí)間內(nèi)發(fā)射M個(gè)脈沖,脈沖重復(fù)頻率(pulse repetition frequency, PRF)為fr,則理想接收信號(hào)[2]可以表示為

(1)

(2)

式中:fd,k和fs,k分別表示第k個(gè)雜波塊的歸一化多普勒頻率和歸一化空間頻率。然而在實(shí)際應(yīng)用中,受工藝技術(shù)水平以及工作環(huán)境等因素影響,天線陣元間的一致性會(huì)被破壞,也就產(chǎn)生了所謂的“陣元幅相誤差”,進(jìn)而導(dǎo)致接收信號(hào)與理想信號(hào)模型的失配。

假設(shè)se=[se,1,se,2,…,se,N]T為陣列幅相誤差矢量,將其引入式(1),則實(shí)際接收信號(hào)模型[17-18]可以修正為

(3)

假設(shè)各分量之間相互獨(dú)立,則根據(jù)式(3),可將接收數(shù)據(jù)的理想CCM表示為

(4)

但是在實(shí)際應(yīng)用中,難以精確獲取觀測(cè)場(chǎng)景中雜波實(shí)際分布信息。為了解決上述問(wèn)題,SR-STAP算法利用雜波在角度-多普勒平面上的稀疏性,將連續(xù)的二維平面均勻離散劃分為Ns個(gè)空域通道和Nd個(gè)時(shí)域通道。令v(fd,j,fs,i)(j=1,2,…,Nd,i=1,2,…,Ns)表示空時(shí)離散通道相交格點(diǎn)上的導(dǎo)向矢量,如果集合V={v(fd,1,fs,1),v(fd,2,fs,2),…,v(fd,Nd,fs,Ns)}包含式(3)中Nc個(gè)雜波塊的空時(shí)導(dǎo)向矢量,則式(3)可以進(jìn)一步表示為

(5)

(6)

(7)

式中:αs=[αs,1,αs,2,…,αs,Ns]T表示輔助原子對(duì)應(yīng)的稀疏系數(shù)。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的矩陣變換[21-22],式(7)可以重新表示為

(8)

式中:

(9)

(10)

在多快拍下可以擴(kuò)展為

(11)

(12)

2 RSBL-STAP算法

本節(jié)推導(dǎo)基于SBL框架的RSBL-STAP算法。為了促進(jìn)角度-多普勒像的稀疏性,本文假設(shè)稀疏系數(shù)矩陣A服從廣義雙重帕累托(generalized double Pareto,GDP)先驗(yàn)分布[23]。根據(jù)文獻(xiàn)[23],A的GDP分布可以利用以下3層先驗(yàn)假設(shè)得到:首先,假設(shè)參數(shù)A各列具有聯(lián)合稀疏性且服從均值為0、方差為Γ的復(fù)高斯分布,即

(13)

式中:Γ=diag(γ);γ=[γ1,γ2,…,γQ]T;Q=Ns(Nd+1)表示離散格點(diǎn)上的雜波功率。然后,假設(shè)超參數(shù)γq彼此獨(dú)立且服從參數(shù)為βq的Gamma分布,即

(14)

(15)

式中:h是一個(gè)小的正常數(shù)。

(16)

式中:fd,t和fs,t分別表示目標(biāo)的歸一化多普勒頻率和空間頻率。

(17)

(18)

(19)

問(wèn)題1和問(wèn)題2的具體求解步驟分別由第2.1節(jié)和第2.2節(jié)給出。

2.1 問(wèn)題1求解

本節(jié)利用EM算法對(duì)問(wèn)題1進(jìn)行求解,EM算法包含兩個(gè)計(jì)算步驟。

(20)

(21)

步驟 2.1更新超參數(shù)γ,β。超參數(shù)(γ,β)的似然函數(shù)[19-25]可以表示為

L(γ,β)=E{Inp(A|γ)p(γ|β)p(β)}∝

(22)

式中:μl,q表示μl的第q個(gè)元素;Σq,q表示矩陣Σ的第(q,q)個(gè)元素。計(jì)算式(22)關(guān)于參數(shù)γq的偏導(dǎo)數(shù),即

(23)

令式(23)為0,即可得到參數(shù)γq的更新公式[23]為

(24)

同理,可得超參數(shù)βq的估計(jì)值為

(25)

步驟 2.2更新誤差參數(shù)se。誤差變量參數(shù)se的似然數(shù)L(se)可以表示[21-22]為

(26)

式(26)中關(guān)于參數(shù)se的偏導(dǎo)數(shù)可以表示為

(27)

式中:

(28)

令?L(se,εe)/?se=0,得到se的更新表達(dá)式

(29)

式中:

(30)

(31)

(32)

2.2 問(wèn)題2求解

在推導(dǎo)相關(guān)函數(shù)之前,先對(duì)將要用到的變量符號(hào)做如下定義[15,23,25]。

(33)

利用各參數(shù)間的獨(dú)立性計(jì)算超參數(shù)γ的邊緣似然函數(shù),即

(34)

(35)

令

(36)

(37)

(38)

其中,

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

3 降維字典矩陣設(shè)計(jì)

不同于傳統(tǒng)的SR-STAP算法,本文所提RSBL-STAP算法為了分離誤差變量,在模型構(gòu)建時(shí)進(jìn)行了字典矩陣對(duì)角化操作,導(dǎo)致字典矩陣維度的增加以及計(jì)算效率的降低。針對(duì)上述問(wèn)題,本節(jié)在文獻(xiàn)[26]的基礎(chǔ)上利用角度-多普勒像的稀疏性設(shè)計(jì)了一種基于空域通道的自適應(yīng)降維字典矩陣,具體設(shè)計(jì)過(guò)程如下。

(44)

式中:vsub(fd,k,fs,i)表示子孔徑導(dǎo)向矢量。

步驟 2定義Pi=[P(fd,1,fs,i),P(fd,2,fs,i),…,P(fd,Nd,fs,i)](i=1,2,…,Ns)表示第i個(gè)空域通道內(nèi)離散化格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的估計(jì)值,則第i個(gè)空域通道的選取門(mén)限Thi可以表示為[26]

(45)

4 仿真驗(yàn)證

本節(jié)通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)所提算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。仿真實(shí)驗(yàn)中陣列幅相誤差設(shè)置為5%,其他系統(tǒng)仿真參數(shù)如表1所示。

表1 雷達(dá)系統(tǒng)仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters of radar system

此外,仿真實(shí)驗(yàn)中問(wèn)題1的最大迭代次數(shù)和停止參數(shù)分別設(shè)置為103和10-12;問(wèn)題2的格點(diǎn)搜索參數(shù)和精細(xì)劃分格點(diǎn)數(shù)分別設(shè)置為υ=1.12和P=11;RSBL-STAP的迭代停止條件設(shè)置為迭代次數(shù)t≥8或者格點(diǎn)搜索間隔Δf≤0.008;空時(shí)離散化格點(diǎn)數(shù)為Nd=Ns=6N;樣本數(shù)為L(zhǎng)=10。

下面從Capon譜估計(jì)能力、自適應(yīng)方向圖形成能力、輸出SCNR損失性能、目標(biāo)檢測(cè)性能以及計(jì)算時(shí)間5個(gè)方面對(duì)所提算法性能進(jìn)行評(píng)估驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn) 1Capon譜估計(jì)性能

由于CCM估計(jì)精度決定了STAP算法的性能,所以本實(shí)驗(yàn)利用Capon譜對(duì)所提算法的雜波統(tǒng)計(jì)特性估計(jì)能力進(jìn)行評(píng)估,并與最優(yōu)(optimum, OPT)算法[2]、SBC-STAP算法[11]以及網(wǎng)格失配自校正SBL-STAP(off-grid self-calibration SBL-STAP, OS-SBL-STAP)算法[15]等算法進(jìn)行了對(duì)比分析,結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同算法的Capon譜Fig.1 Capon spectra of different algorithms

從圖1可以看出,幅相誤差和格點(diǎn)失配會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)SBL-STAP算法所估計(jì)的Capon譜發(fā)生展寬并在雜波清晰區(qū)產(chǎn)生大量功率較強(qiáng)的擾動(dòng)信號(hào)。OS-SBL-STAP算法通過(guò)增加格點(diǎn)搜索步驟可以在一定程度上減小Capon譜展寬程度,但是受限于最小二乘估計(jì)精度以及幅相誤差影響,其譜估計(jì)能力依然有限。本文所提算法同時(shí)考慮率了兩種誤差,在利用GDP先驗(yàn)分布提高待估參數(shù)稀疏性的同時(shí)還獲取了誤差參數(shù)的高精度估計(jì),所以能夠獲得與OPT-STAP接近的Capon譜估計(jì)性能。

實(shí)驗(yàn) 2自適應(yīng)方向圖形成能力

為了對(duì)雜波抑制性能進(jìn)行更詳細(xì)的對(duì)比分析,圖2給出了各算法的空時(shí)二維自適應(yīng)方向圖,其中目標(biāo)假設(shè)位于陣列主瓣指向,相應(yīng)多普勒頻率設(shè)置為0.299。從圖2可以看出,由于所提RSBL-STAP算法補(bǔ)償了陣元幅相誤差和格點(diǎn)失配的影響,所以能夠與OPT-STAP算法一樣,在于目標(biāo)指向處形成最大增益的同時(shí)在雜波分布區(qū)域形成窄且深的凹口。相反地,由于無(wú)法徹底消除陣元幅相誤差和格點(diǎn)失配的影響,OS-SBL-STAP以及傳統(tǒng)SBL-STAP的波束指向與真實(shí)目標(biāo)方向會(huì)有一定的偏差,所形成的雜波凹口也有一定程度的展寬。

圖2 二維自適應(yīng)方向圖Fig.2 Two-dimensional adaptive patterns

為了更好地對(duì)比各算法的凹口形成能力,圖3和圖4分別給出了目標(biāo)所在時(shí)、空通道的方向圖切片以及局部放大圖,從中可以看出在陣列幅相誤差影響下,傳統(tǒng)SBL-STAP和OS-SBL-STAP算法所估計(jì)的濾波器權(quán)矢量不能對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)指向,這會(huì)帶來(lái)目標(biāo)相干積累損失。此外,相較于所提算法,上述兩種STAP算法的凹口形成能力也有不同程度的惡化,這是因?yàn)殛嚵蟹嗾`差和格點(diǎn)失配的存在會(huì)導(dǎo)致雜波能量不能被真實(shí)估計(jì),而是分散于周圍格點(diǎn)上,因此會(huì)造成STAP權(quán)矢量凹口展寬,深度減小,最終導(dǎo)致算法雜波抑制性能下降。

圖3 時(shí)域自適應(yīng)方向圖Fig.3 Adaptive pattern in temporal domain

圖4 空域自適應(yīng)方向圖Fig.4 Adaptive pattern in spatial domain

實(shí)驗(yàn) 3輸出信雜噪比(signal to clutter plus noise ratio,SCNR)損失性能

為了更清楚地反映各算法的雜波抑制性能,圖5給出了各算法SCNR損失隨多普勒頻率變化的曲線,其中SCNR損失定義為各算法輸出SCNR與噪聲環(huán)境下匹配濾波器輸出信噪比(signal to noise ratio, SNR)的比值[2],即

圖5 SCNR損失對(duì)比圖Fig.5 Comparison diagram of SCNR loss

(46)

式中:w表示估計(jì)的濾波器權(quán)矢量;R表示誤差環(huán)境下真實(shí)的CCM。

從圖5可以看出,幅相誤差和格點(diǎn)失配導(dǎo)致的譜展寬和清晰區(qū)擾動(dòng)會(huì)降低SBL-STAP和OS-SBL-STAP算法輸出SCNR。而所提算法利用重構(gòu)的誤差信號(hào)模型和迭代算法消除了相關(guān)影響,所以能夠獲得近似OPT-STAP的性能。此外,圖5還給出了直接數(shù)據(jù)域STAP (direct data domain-STAP, DDD-STAP)算法,迭代自適應(yīng)STAP (iterative adaptive approach, IAA-STAP)算法以及對(duì)角加載STAP (loading sample matrix inversion STAP, LSMI-STAP)算法的輸出SCNR損失曲線。從圖5可以看出IAA-STAP與SBL-STAP以及OS-SBL-STAP算法一致,在模型失配存在時(shí)其輸出SCNR損失性能相較于OPT-STAP而言有較大程度的下降。受自由度損失和陣列幅相誤差雙重影響,DDD-STAP算法在旁瓣雜波區(qū)域的輸出SCNR損失性能則要略遜一籌。但是在主瓣雜波區(qū)域,DDD-STAP算法性能則要優(yōu)于SBL-STAP算法、OS-SBL-STAP算法以及IAA-STAP算法,這是因?yàn)槔没凹夹g(shù)的DDD-STAP算法在獲得更多訓(xùn)練樣本的同時(shí)避免了傳統(tǒng)SR-STAP算法格點(diǎn)失配帶來(lái)的性能損失,所以在主瓣雜波區(qū)域具有較好的輸出SCNR性能。此外,雖然利用稀疏恢復(fù)技術(shù)的SBL-STAP算法、OS-SBL-STAP算法以及IAA-STAP算法在信號(hào)模型失配時(shí)性能損失嚴(yán)重,但是在小樣本環(huán)境下相較于傳統(tǒng)的LSMI-STAP算法仍具有較大的優(yōu)勢(shì)。

實(shí)驗(yàn) 4目標(biāo)檢測(cè)性能

本實(shí)驗(yàn)利用檢測(cè)概率Pd評(píng)估所提算法的目標(biāo)檢測(cè)性能,其中虛警概率Pfa設(shè)置為10-3。圖6給出了各算法檢測(cè)性能隨目標(biāo)SNR變化的結(jié)果,其中圖6(a)～圖6(c)分別假設(shè)目標(biāo)歸一化多普勒頻率為0.5、0.2以及0.008,主要反映各算法對(duì)快速、中速以及慢速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)性能。

圖6 檢測(cè)概率曲線Fig.6 Curves of detection probability

從圖6可以看出,與其他SR-STAP算法相比,本文所提算法對(duì)不同運(yùn)動(dòng)速度和SNR的目標(biāo)都具有近似最優(yōu)的檢測(cè)性能。這是因?yàn)樗崴惴軌蛘_補(bǔ)償模型失配對(duì)稀疏角度-多普勒像以及目標(biāo)導(dǎo)向矢量的影響,在保證濾波器權(quán)矢量指向目標(biāo)的同時(shí),在雜波區(qū)域形成窄且深的凹口,最終獲得近似最優(yōu)的目標(biāo)檢測(cè)性能。

實(shí)驗(yàn) 5計(jì)算時(shí)間

最后,對(duì)所提算法的計(jì)算效率進(jìn)行評(píng)估。圖7給出了不同SR-STAP算法計(jì)算時(shí)間隨陣元數(shù)目變化的示意圖(脈沖數(shù)與陣元數(shù)一致,仿真實(shí)驗(yàn)由標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)式計(jì)算機(jī)完成,計(jì)算機(jī)中央處理單元為Intel Xeon E5-2620@2.10 GHz×2)。從圖7可以看出RSBL-STAP算法、OS-SBL-STAP算法以及SBL-STAP算法的計(jì)算時(shí)間要大于IAA-STAP算法,這是因?yàn)榛赟BL框架的STAP算法需要計(jì)算稀疏系數(shù)的協(xié)方差矩陣以及逆矩陣,而IAA-STAP算法僅需要計(jì)算接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣和逆矩陣,由于稀疏系數(shù)維數(shù)遠(yuǎn)大于接收數(shù)據(jù)自由度,所以基于SBL框架的STAP算法具有更高的計(jì)算復(fù)雜度。此外,由于誤差信號(hào)模型在構(gòu)建過(guò)程中的對(duì)角化操作,本文所提RSBL-STAP算法的計(jì)算時(shí)間要大于OS-SBL-STAP算法以及SBL-STAP算法。

5 結(jié) 論

針對(duì)誤差環(huán)境導(dǎo)致傳統(tǒng)SR-STAP算法性能下降的問(wèn)題,本文提出一種基于SBL的穩(wěn)健SR-STAP算法。該算法首先利用空時(shí)導(dǎo)向矢量的Kronecker結(jié)構(gòu)構(gòu)建SR-STAP誤差信號(hào)模型,然后利用貝葉斯推斷和最大期望算法迭代求取各參數(shù),并計(jì)算CCM和STAP權(quán)矢量。仿真結(jié)果表明,所提算法能夠消除陣列幅相誤差和格點(diǎn)失配對(duì)雜波統(tǒng)計(jì)特性和目標(biāo)導(dǎo)向矢量估計(jì)的影響,在目標(biāo)指向形成最大增益的同時(shí)還能在雜波分布區(qū)域形成窄凹口,顯著提高了誤差環(huán)境下非均勻雜波抑制和目標(biāo)檢測(cè)性能。但是,相較于其他SR-STAP算法,本文所提算法在誤差信號(hào)模型構(gòu)建過(guò)程中的對(duì)角化操作會(huì)增加算法的計(jì)算復(fù)雜度,因此在算法模型優(yōu)化和實(shí)時(shí)性方面還需要進(jìn)行更進(jìn)一步的研究。