聯合最小方差與最大似然譜估計的前視成像方法

祝昇翔, 何 岷, 賀志毅, 王嘉欣

(北京遙感設備研究所, 北京 100854)

0 引 言

雷達成像技術自誕生以來,在軍事領域的戰場偵察以及民用領域的遙感測繪等方面發揮了重要的作用。與經典的合成孔徑雷達(synthetic aperture radar, SAR)成像方式不同的是,前視成像需要對雷達平臺的正前方進行成像,其飛行方向與距離向一致,與方位向垂直,無法獲得橫向的多普勒信息,因此無法通過合成孔徑方式來改善方位向的分辨率,這也正是前視成像的難點所在。目前,常用的前視成像方法包括實孔徑成像、單脈沖成像、基于反卷積的超分辨成像、雙基地前視SAR等[1]。

雷達采用單脈沖測角方式,通過比較多個波束內收到的信號獲得目標的角度信息,可用于前視成像[2-6]。文獻[2]采用迭代方式,從回波中挑選孤立強點來改善單脈沖鑒角曲線,實現單脈沖圖像的方位向自聚焦。文獻[3]提出了衡量單脈沖成像性能的3個指標,包括目標圖像位置失真、分辨率和圖像信噪比。單脈沖成像的問題是受瑞利限的限制,無法實現波束內多目標分辨,只能對圖像質量進行非均勻改善[4]。文獻[5]采用調頻Z變換來重建單脈沖和差通道的多普勒估計,以改善測角精度,但是其性能仍然受制于多普勒梯度差異。文獻[6]將貝葉斯自適應直接搜索優化算法用于極化單脈沖前視成像。

反卷積類算法認為,雷達回波在方位向表現為波束與目標角度信息的卷積,并通過反卷積實現超分辨,以獲得目標位置信息[7-12]。文獻[7]利用泊松和高斯噪聲的分布先驗信息,采用貝葉斯最大似然準則對反卷積問題進行正則化處理,最后通過迭代求解實現方位向超分辨。文獻[8]采用截斷奇異值分解法進行反卷積前視成像,在10 dB信噪比仿真條件下,相鄰目標的峰谷點差可達6.4 dB。文獻[9]提出了基于貝葉斯理論的超分辨方法,以解決最大后驗準則下的反卷積問題。文獻[10]和文獻[11]分別采用了基于全變分的正則化方法和線性預測方法,以改善方位向分辨率。文獻[12]構建了多普勒-卷積模型,采用自適應迭代算法重構成像場景。這類算法的問題是在噪聲較大時,反卷積問題變為病態問題,難以精確求解,而且算法通常需要迭代計算,難以滿足高速運動平臺雷達實時成像的要求。

近年來,壓縮感知技術、神經網絡技術等也被用于前視成像領域[13-17],其性能和實時處理能力也值得關注。文獻[13]將壓縮感知與稀疏貝葉斯學習算法用于實現超分辨成像。文獻[14]基于交替下降條件梯度改善了壓縮感知成像存在的網格點失配問題。文獻[15]和文獻[16]基于隨機輻射場的機理和稀疏重構方法提出了微波關聯成像算法,并應用于靜止平臺前視成像。

陣列信號處理理論通過多個傳感器在空間的排布實現空域濾波。其中,空間譜估計技術可以增強波束內空間目標的分辨能力,因此也可用于前視成像。Herbert等[18]最早將經典的多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)譜估計用于前視成像,采用天線掃描方式實現了對波束內兩個目標的超分辨。多家高校也研究了基于空間譜估計的機載雷達前視超分辨成像[19-22]。

空間譜估計在實際應用時,如果指向角度精度不足,或者場景中存在相干干擾信號,性能會顯著下降。文獻[23]采用不確定集約束方法對天線陣列的導向矢量進行優化。文獻[24]研究了相位量化誤差對相控陣天線的影響,并提出了改進方法。文獻[25]在傳統的空間平滑方法基礎上提出了二次平滑方法,以改善陣列的解相干性能。

除了MUSIC譜估計這類子空間算法,最大似然(maximum likelihood,ML)估計是一類基于概率統計思想的算法,適用于低信噪比、小快拍數目和相干信號源條件,性能優于子空間類算法,更加接近于克拉美羅界[26-30]。文獻[26]研究了ML估計的分辨概率性能。文獻[27]提出了高階最大似然估計方法。文獻[28]將其用于車載雷達的前視目標超分辨,并提出了基于酉變換的方法以簡化目標函數求解。文獻[29]提出一種兩步網格搜索法以減少ML估計的搜索時間,但是該方法有可能錯過真正的最大值。文獻[30]研究了基于車載雷達平臺的ML估計等信號處理算法的高效實現。

高速運動平臺相控陣雷達在探測階段需要對正前方的目標進行檢測和跟蹤。利用前視成像技術獲取二維圖像,可以改善目標識別性能,具有重要的應用價值。本文基于陣列信號處理理論,提出一種聯合最小方差與ML估計的超分辨前視成像方法,以改善波束寬度內的目標分辨性能。

1 前視成像

1.1 信號模型

設高速運動平臺雷達以速度v向正前方飛行,同時波束從左向右掃描。雷達與目標的初始斜距為R0,經過時間ta后斜距為R(ta),其計算方式如下:

(1)

式中:θs為斜視角。

在vta?R0條件下可近似表示為

(2)

雷達發射線性調頻信號,可得到點目標的回波為

(3)

式中:σi為第i個目標的散射系數;tr為距離向快時間;ta為方位向慢時間;rect(·)為矩形脈沖函數;Wa(ta)為方位向的天線方向圖函數;fc為載波頻率;k為線性調頻斜率;c為光速。

對回波進行數字下變頻和脈沖壓縮后得到

(4)

方位向慢時間對應波束掃描時間:

ta=(θ-θi)/ω

(5)

式中:ω為掃描速度;θi為第i個目標的角度。

因此,以距離和方位角為自變量,所有點目標的回波結果可表示為

(6)

式(6)實際上是一個二維卷積模型,其中距離向由目標散射系數與sinc函數卷積,方位向由目標散射系數與天線方向圖卷積。因此,利用天線方向圖的輻射空變性和波束掃描的轉動時變性,通過天線對雷達正前方的場景進行精準的波束掃描,可以獲得距離—方位的二維圖像,從而使得雷達獲取目標的散射特性信息。

1.2 信號處理架構

雷達系統可以獲取不同維度的數據,將其排列在一起即可組成所謂的雷達數據立方體。常用的維度包括距離維、多普勒維、角度維等。常用的三維模型為

e(l,m,n)

(7)

式中:l,m,n分別為距離維、多普勒維和角度維的數據索引;K為目標個數;Ak為信號幅度;λk,μk,νk分別為距離維、多普勒維和角度維的歸一化角頻率;e為高斯白噪聲。

經典的雷達信號處理架構通常先進行距離維和多普勒維的快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT),在完成目標檢測后再對過門限的區域進行角度維的單脈沖測角等處理,此時角度維可獲得的快拍數據有限,導致角度分辨率受限。對于前視成像應用,可以先進行角度維處理,然后進行距離維等后續處理。通過波束掃描方式獲取不同角度的快拍數據,有利于改善成像效果。此架構可獲取距離—方位二維圖像,適用于近距離目標高分辨測量,如圖1所示。

圖1 前視成像架構Fig.1 Architecture of forward-looking imaging

2 超分辨成像

2.1 最小方差譜估計

最小方差譜估計是一種空間譜估計算法,其估計性能優于常規波束形成方法,可改善目標分辨性能。

陣列收到的快拍數據為

X(t)=AS(t)+n(t)

(8)

式中:A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θM)]為陣列流形矢量;a(θM)為第M個信源信號的導向矢量;S(t)為信源信號;n(t)為噪聲信號。

陣列的協方差矩陣為

(9)

采用最小方差譜估計,按照信號估計無失真且估計方差最小的約束條件,得到最優權值為

(10)

式中:Rx為采樣協方差矩陣,是陣列協方差矩陣的估計,由多次快拍取平均計算而得,a(θ0)為目標信號的導向矢量。

按照角度θ進行波束掃描可得到空間功率譜,其峰值對應方向即為信源信號方向:

(11)

2.2 算法修正

最小方差譜估計在真實場景應用中面臨多徑信號或相干干擾的影響,導致波束指向不精確,使得估計性能下降。

令有用信號為s1(t),相干干擾信號為s2(t)=ρs1(t),陣列接收信號為

y(t)=a(θ1)s1(t)+b(θ2)s2(t)+e(t)=

[a(θ1)+ρb(θ2)]s1(t)+e(t)

(12)

式中:a(θ1)和b(θ2)分別為信號和干擾的導向矢量;e(t)為噪聲。

此時信號的導向矢量變為a(θ1)+ρb(θ2),而不再是a(θ1),導致譜估計按照錯誤的導向矢量進行干擾抑制,使得估計性能下降。

常用的處理相干干擾的算法包括空間平滑算法和矩陣重構算法。其中,空間平滑算法對陣列的各個子陣協方差矩陣求平均,會導致陣列孔徑損失,性能下降。而以Toeplitz算法為代表的矩陣重構算法則存在估計方差較大的缺點。本文采用二次平滑[25]加時間平滑的方法進行聯合處理。

首先,對采樣協方差矩陣進行二次平滑

(13)

然后進行時間平滑

(14)

式中:J為反向單位矩陣,即反對角線元素為1、其他元素為0的矩陣。

采用12 陣元的均勻線陣(uniform linear array, ULA),快拍點數設為256,信噪比為10 dB,設置(0°,5°,10°)的3個信號進行仿真。其中,5°的信號為0°信號的相干干擾信號,相關系數為0.8。標準的最小方差譜估計只能估計出2個峰值,而采用平滑處理修正后則可以估計出3個峰值,如圖2所示。

圖2 修正前后譜估計結果Fig.2 Spectrum estimation results with and without correction

2.3 ML估計

除了最小方差譜估計,MUSIC譜估計屬于另一類基于子空間算法的經典譜估計方法,在理想條件下分辨性能優異。但是在陣列存在誤差或相干干擾等非理想條件下,MUSIC譜估計性能顯著下降,需要采用空間平滑進行處理,導致陣列孔徑損失。最小方差譜估計在采用第2.2節的算法修正后性能有所改善,但是最多只能處理兩個相干干擾。另一方面,ML估計通過求解似然函數實現概率統計意義上的最優估計,適用于低信噪比、小快拍數和多個相干干擾等惡劣條件。

在進行空間譜估計時,快拍模型如式(8)所示。通常采用多次快拍進行估計以保證統計性能,其聯合概率密度函數為

(15)

式中:det(·)表示矩陣的行列式;σ2為噪聲功率;A(θ)為陣列流形矩陣;s(ti)為信號;L為快拍數。

求最大似然估計需要對式(15)取自然對數,再求最大值,從而得到信號和角度的估計值:

(16)

(17)

當信號源個數為1時,式(17)退化為常規波束形成,只能估計出波束內的單個目標。而當信號源個數為K時,則成為一個K維非線性優化問題。直接求解需要遍歷搜索空間求極大值,運算量巨大。常用的優化算法有交替投影算法、數學期望最大化算法等,均需要迭代計算,而且無法完全避免只收斂到局部極大值的問題。文獻[29]所提方法雖然加快了搜索速度,但也有可能錯過全局極大值點。因此,要應用ML估計,一是需要減小搜索空間,二是需要提升單次搜索的計算效率。

采用12陣元ULA陣列,設置角度為(11°,13°)的兩個信號,其中13°信號為11°信號的干擾信號,相關系數為0.8。采用ML估計,按照0.01°的搜索網格步長對兩個目標進行二維搜索,仿真結果如圖3所示。

圖3 兩個相關目標估計結果Fig.3 Estimation results with two correlated targets

由圖3可以看出,隨著信噪比升高,估計結果收斂到真實值。再設置3個信號,角度為(11°,12°,13°)。其中,12°,13°信號為11°信號的干擾信號,相關系數均為0.4。仍然按照兩個目標進行二維搜索,仿真結果如圖4所示。

圖4 3個相關目標估計結果Fig.4 Estimation results with three correlated targets

由圖4可以看出,對于功率相等且相關的兩個信號只能估計出一個,但是在大信噪比條件下可收斂到真實值。因此按照兩個目標估計,實際有3個信號的場景,仍然可得到兩個比較準確的結果,并不會失效。

2.4 超分辨成像算法

用于前視成像的高速運動平臺相控陣雷達典型波束寬度為3°～4°,作用距離為1～10 km。由幾何關系可知,盡管波束寬度已經很窄,但是波束內同一距離單元的兩個目標最大距離可達70～700 m不等,因此波束照射區域內可能存在多個需要分辨的反射點目標。

單脈沖算法可精確估計波束內的單個目標,但無法分辨多個目標。MUSIC譜估計可以實現角度超分辨,但是將其應用于前視成像的缺點是估計結果為偽譜,不能反映目標的真實散射特性,而且必須事先準確估計信源個數,還需要對協方差矩陣進行特征值分解,計算時間較長。最小方差譜估計雖然性能不如前者,但是估計結果為真實功率譜,而且不需要知道信源個數,經過修正處理后性能有所改善,因此可用于前視成像的粗估計。在粗估計的基礎上,可采用ML估計進行小范圍搜索,進一步改善目標分辨性能。因此,提出一種聯合最小方差與ML估計的前視成像方法,如圖5所示。步驟如下:

圖5 超分辨前視成像算法步驟Fig.5 Procedures of super-resolution forward-looking imaging algorithm

(1) 對雷達平臺正前方進行波束掃描并錄取回波。采用最小方差譜估計計算最優權值,實現波束形成,見第2.1節;

(2) 在譜估計計算過程中進行修正處理,見第2.2節;

(3) 對每個脈沖重復周期波束形成的結果進行脈沖壓縮;

(4) 對每個角度駐留的n個脈沖進行非相參積累,只保留一組結果,得到距離—方位二維圖像;

(5) 對圖像進行目標檢測,找到幅度峰值過門限的區域,再根據典型目標的尺寸限定目標所在區域大小;

(6) 使用目標所在距離門的方位向數據計算得到協方差矩陣。然后,以各目標所在區域的峰值點為中心,分別進行ML估計的搜索;

(7) 將目標估計結果上報或進行其他后處理。

3 仿真校驗

采用16陣元的ULA陣列,方位向3 dB波束寬度約為6.3°,發射線性調頻波形。雷達平臺高度為1 000 m,x方向速度為100 m/s。設置3個點目標,其雷達散射截面積(radar cross section, RCS)均為1 m2,坐標分別為(4 500,-40),(4 500,0),(4 500,40),目標角度間隔為0.51°。設置參數如表1所示。波束掃描角度步長設為0.1°,信噪比為25 dB。首先,采用最小方差譜估計進行前視成像仿真。可以看出,在較高信噪比條件下可以實現波束內3個不相關目標的分辨,如圖6所示。

表1 仿真參數Table 1 Simulation parameters

圖6 3個不相關目標成像結果Fig.6 Imaging result of three uncorrelated targets

將目標2和目標3改為目標1的相關信號,相關系數均為0.3,再進行仿真。此時,最小方差譜估計的成像結果只有一個尖峰,無法分辨出3個目標,如圖7所示。因此,最小方差譜估計的成像結果無法分辨相關信號,只能作為粗估計結果。

圖7 3個相關目標成像結果Fig.7 Imaging result of three correlated targets

在粗估計的基礎上對圖像進行目標檢測,然后根據目標所在區域,在方位向進行ML估計搜索和計算。設置搜索網格步長為0.05°,估計結果如圖8所示。圖8中,黑色虛線為目標真實位置,藍色實線為由最小方差譜估計得到的粗估計結果,紅色實線為ML估計結果。從仿真結果可以看出,在3個相關目標的條件下用二維ML估計可以估計出其中兩個目標。

圖8 方位向成像結果Fig.8 Azimuth imaging result

為了進一步評估本方法的性能,將ML估計與譜估計類成像方法中的MUSIC譜估計[18,20-22]進行對比。在不同信噪比和目標角度間隔條件下,采用這兩種方法分別對相關目標和不相關目標進行了100次蒙特卡羅仿真,仿真結果如圖9和圖10所示。由于標準MUSIC算法在相關信號條件下性能顯著下降,因此這里對其進行了前向-后向空間平滑處理。可以看出,ML估計在低信噪比和目標角度間隔相對較小的條件下估計性能更好,在相關信號條件下性能雖然有所下降,但是仍明顯優于使用空間平滑的MUSIC譜估計。此外,對ML估計的搜索步長的不同取值進行仿真,仿真結果如圖11所示。

圖9 不同信噪比估計結果Fig.9 Estimation results with different signal-to-noise ratios

圖10 不同角度間隔估計結果Fig.10 Estimation results with different azimuth intervals

圖11 不同步長估計結果Fig.11 Estimation results with different steps

由圖11可以看出,在不相關目標條件下,搜索步長越小則估計誤差越小,而在相關目標條件下,減小搜索步長對估計誤差改善不明顯。由于搜索步長的大小直接影響成像的實時性,綜合考慮估計性能和實時性要求,可以選擇搜索步長小于等于掃描步長的一半。

為了評估本方法的計算量,對ML估計與MUSIC譜估計分別按照2個目標和3個目標進行估計,算法復雜度比較如表2所示。其中,N為天線通道數,M為譜估計的一維搜索次數。可以看出,ML估計需要多維搜索,因此搜索次數遠大于MUSIC譜估計。但是,單次計算所需的乘法和加法次數較少,而且不需要復雜的矩陣特征值分解和信源個數估計運算。因此, 在目標數較小的條件下可以實現實時處理。本文方法通過最小方差譜估計的粗估計結果確定搜索區域,可以縮小搜索范圍,從而減小搜索次數,達到改善成像實時性的目的。

表2 算法復雜度比較Table 2 Algorithm complexity comparison

4 結 論

針對傳統前視成像算法存在的方位向分辨率不足的問題,本文基于陣列信號處理理論提出了一種聯合最小方差與ML估計的超分辨前視成像方法,通過修正和聯合處理,突破了瑞利限的限制,改善了波束內多個目標的分辨性能。

仿真實例說明了該方法的有效性,在波束內存在多個目標的場景下可估計出波束內至少兩個目標的信息,具有一定的工程應用價值。雖然理論上可以支持全部分辨3個甚至更多目標的場景,但是全局搜索計算復雜度過高,無法滿足目前高速運動平臺的實時處理要求,而目前的快速ML估計優化算法如交替投影算法、數學期望最大化算法等也存在一定局限,后續還需要進一步探索算法實時性提升手段,并保證求解的穩定性。