基于串并混聯(lián)的機(jī)械手運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型建立與數(shù)值仿真

汪再如

(安徽糧食工程職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程系,合肥 230011)

工業(yè)機(jī)械手無(wú)論是在工作效率還是控制精度,都遠(yuǎn)超過(guò)人工裝配或半自動(dòng)裝配[1-4]。此外,機(jī)械手還可以在高危環(huán)境、極端環(huán)境及有毒有害環(huán)境下替代人工勞動(dòng),避免意外事故的發(fā)生[5]。從結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上來(lái)分析,機(jī)械手設(shè)計(jì)包括串聯(lián)結(jié)構(gòu)[6]、并聯(lián)結(jié)構(gòu)[7]和串并混聯(lián)結(jié)構(gòu)[8],其中串聯(lián)式機(jī)械手設(shè)計(jì)具體包括直角坐標(biāo)式、圓柱坐標(biāo)式、關(guān)節(jié)式3種類(lèi)型,串聯(lián)機(jī)械手具有占地空間小、靈活度高、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)[9]。但串聯(lián)機(jī)械手的整體剛度和承受能力有限,制造和采購(gòu)成本也過(guò)高,限制了其應(yīng)用范圍。

并聯(lián)機(jī)械手采用閉環(huán)式的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),由上下運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和運(yùn)動(dòng)支鏈構(gòu)成,使整個(gè)機(jī)械手結(jié)構(gòu)具有了多個(gè)可操作的自由度[10]。按照自由度和機(jī)械結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度,并聯(lián)機(jī)械手可分為二自由度機(jī)械手、三自由度機(jī)械手,最高至六自由度機(jī)械手。除了結(jié)構(gòu)結(jié)實(shí)耐用、購(gòu)置成本低的優(yōu)勢(shì)之外,并聯(lián)式機(jī)械手還具有剛度大、穩(wěn)定性強(qiáng)、工作精度高等優(yōu)點(diǎn)。鑒于串聯(lián)機(jī)械手和并聯(lián)機(jī)械手各自的優(yōu)點(diǎn),對(duì)將兩者優(yōu)點(diǎn)融合于一身的串并混聯(lián)機(jī)械手研究,逐漸成為了機(jī)器人領(lǐng)域內(nèi)的研究熱點(diǎn)之一。本文從研究串并混聯(lián)機(jī)械手的結(jié)構(gòu)入手,以五自由度機(jī)械手結(jié)構(gòu)為例,基于優(yōu)化Denavit-Hartenberg(D-H)表示法在笛卡爾空間內(nèi)構(gòu)建機(jī)械手運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型,并將機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值仿真,利用機(jī)構(gòu)精度算法提升和改善混聯(lián)機(jī)械手的控制精度。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與空間位姿變化

串并混聯(lián)的機(jī)械手結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足工作空間和自由度的基本要求。首先,在機(jī)械手工作半徑區(qū)域內(nèi)避免存在障礙物,預(yù)留出3個(gè)軸向足夠的半徑空間;其次,依據(jù)具體的工況設(shè)定好機(jī)械手的工作節(jié)律;最后,根據(jù)機(jī)械手的用途和復(fù)雜程度設(shè)計(jì)機(jī)械手的自由度[11]。將等效串聯(lián)結(jié)構(gòu)中的承載部分替換成并聯(lián)結(jié)構(gòu),以提高機(jī)械手整體的剛度和承載能力[4],替換后的機(jī)械手結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

A—底座;B—機(jī)器人大臂;C—中臂;D—上臂;E—機(jī)械手終端。圖1 五自由度機(jī)械手串并聯(lián)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

底座與U型件連接實(shí)現(xiàn)機(jī)械手與底座之間的二維轉(zhuǎn)動(dòng),中臂匹配H型連桿分別與大臂及上臂連接,并實(shí)現(xiàn)360°自由旋轉(zhuǎn);上臂的伺服電機(jī)控制機(jī)械手伸縮和旋轉(zhuǎn)[12],及機(jī)械手對(duì)標(biāo)的物的抓取和擺放[13]。參數(shù)的輸入與輸出將決定終端機(jī)械手的空間位置關(guān)系,對(duì)于混聯(lián)機(jī)械而言等效串聯(lián)的部分需要進(jìn)行下一步的位置正解,并聯(lián)部分無(wú)須正解。基于D-H法構(gòu)建五自由度機(jī)械手的等效串聯(lián)關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)系,將核心參數(shù)設(shè)置為:Li為第i個(gè)機(jī)械手連桿的長(zhǎng)度;βi為第i個(gè)機(jī)械手連桿之間的轉(zhuǎn)角;γi為第i個(gè)機(jī)械手連桿的扭角;κi,i-1為第i個(gè)機(jī)械手連桿與相鄰的第i-1個(gè)機(jī)械手連桿之間的偏置。

在正解求解過(guò)程中依據(jù)所列出的等效串聯(lián)機(jī)械連桿參數(shù),可依次計(jì)算出相鄰連桿的空間位姿變化。從理論上講,自由度越高,機(jī)械手的柔性越好,能做出更復(fù)雜的動(dòng)作。但機(jī)械手的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)于復(fù)雜、自由度越高,在求解反解時(shí)就越復(fù)雜,最終會(huì)導(dǎo)致混聯(lián)機(jī)械手控制過(guò)程的難度過(guò)大,進(jìn)而影響控制精度。

2 運(yùn)動(dòng)參數(shù)建模及動(dòng)力學(xué)特性分析

構(gòu)建串并混聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型可以模擬出機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過(guò)程中關(guān)節(jié)和連桿的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,更有助于實(shí)現(xiàn)對(duì)末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡的精準(zhǔn)控制[14]。在五自由度的機(jī)械手結(jié)構(gòu)中,由于底座的運(yùn)動(dòng)對(duì)整體軌跡精度控制的影響較小,且終端關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的數(shù)值變化量較小[15],為了在運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過(guò)程中降低過(guò)程模擬與仿真的總體復(fù)雜度,在不影響總體動(dòng)力學(xué)特征的前提下,僅討論圖1中機(jī)械手的B、C、D3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)。以拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程為基礎(chǔ),將機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的驅(qū)動(dòng)向量分解,即將其拆分成慣性矩陣A、離心力耦合矩陣φ和重力矩陣G的和,分解的過(guò)程為:

ξ=A(li)ai+φ(li,vi)vi+G(li)。

(1)

式中:ξ為廣義坐標(biāo)系下的驅(qū)動(dòng)向量;li為廣義坐標(biāo)空間內(nèi)第i個(gè)關(guān)節(jié)的位置變量;vi為第i個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)速度;ai為第i個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)加速度。機(jī)械手驅(qū)動(dòng)向量受A、φ、G等3個(gè)因素及l(fā)i、vi、ai的影響,這3個(gè)因素的具體影響過(guò)程分解為:

(2)

式中,χ為與機(jī)械手運(yùn)動(dòng)變化質(zhì)量因素相關(guān)的定常向量。

機(jī)械手大臂采用并聯(lián)結(jié)構(gòu),主要的功能是驅(qū)動(dòng)串聯(lián)的中臂、上臂,傳遞平臺(tái)的動(dòng)力。受到并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)布局和動(dòng)力學(xué)參數(shù)的影響,需要隨時(shí)對(duì)機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方向做出調(diào)整。當(dāng)機(jī)械手的絲杠螺母機(jī)構(gòu)輸入固定的運(yùn)動(dòng)矢量值時(shí),動(dòng)平臺(tái)中心對(duì)應(yīng)來(lái)自不同方向的運(yùn)動(dòng)輸出,且分布在以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓形軌跡上。由式(1)和式(2)可知,各個(gè)關(guān)鍵在運(yùn)動(dòng)中都會(huì)受到重力矩、離心力和耦合慣量的影響。當(dāng)機(jī)械手處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)機(jī)械手的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,如表1所示。

表1 機(jī)械手靜止時(shí)各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

在圖1的串并混聯(lián)機(jī)械結(jié)構(gòu)中,大臂并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有各向同性的特性,故本文的機(jī)械手性能分析主要圍繞著大臂展開(kāi)。通過(guò)空間位姿變化的分析,能夠得到各關(guān)節(jié)角度與末端執(zhí)行器之間的空間位姿關(guān)系,而機(jī)械手各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)速度也會(huì)影響到機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡的偏離程度。針對(duì)于串并混聯(lián)的機(jī)械手,本文模型具有較強(qiáng)的通用性,使用過(guò)程中依據(jù)D-H矩陣所構(gòu)建的參數(shù)組合,可以計(jì)算出各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)位置和旋轉(zhuǎn)角度。雅克比矩陣求解是獲取D-H參數(shù)值和空間運(yùn)動(dòng)位姿的關(guān)鍵步驟,通過(guò)空間位置方程推導(dǎo)出雅克比矩陣的解。在笛卡爾空間內(nèi)機(jī)械手各個(gè)關(guān)節(jié)的線速度和角速度之間的關(guān)系,可以用雅克比矩陣描述(仍舊只考慮大臂、中臂、上臂3個(gè)關(guān)節(jié))。

引入固定坐標(biāo)系角速度的概念,并利用其分解坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角速度,坐標(biāo)系的分解過(guò)程如圖2所示。

圖2 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角速度的分解

機(jī)械手繞多個(gè)空間軸旋轉(zhuǎn),最終姿態(tài)控制為各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角速度的矢量和,在笛卡爾空間內(nèi)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)的最終角度ωend表示為:

式中:η2為大臂關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)的單位向量;η3為中臂關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)的單位向量;η4為上臂關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)的單位向量。

圖3 串并混聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)控制流程

3 數(shù)值模擬與仿真

3.1 系統(tǒng)調(diào)試

借助Matlab軟件對(duì)本文模型做仿真測(cè)試,模型控制的仿真原理圖如圖4所示。

圖4 串并混聯(lián)機(jī)械手模型控制原理

將機(jī)械手傳感器采集到的數(shù)值作為目標(biāo)值輸入模型,并與理論值進(jìn)行比對(duì),設(shè)定好串并混聯(lián)機(jī)械手控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)。將逆模型控制系統(tǒng)的輸出值調(diào)整為10 ms,并將通電脈沖的幅值調(diào)整為20 mm。如圖5～7所示,在仿真環(huán)境下串并混聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)模型的電壓曲線、幅值曲線和轉(zhuǎn)角曲線變化情況都在可控范圍之內(nèi),未出現(xiàn)異常的波動(dòng),表明系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性。

圖5 控制電磁閥通電電壓變化

圖6 幅值補(bǔ)償曲線變化

圖7 運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角曲線變化

3.2 數(shù)值仿真結(jié)果分析

在Matlab仿真環(huán)境下,驗(yàn)證串并混聯(lián)機(jī)械手終端執(zhí)行器在軌跡位移偏差控制、行進(jìn)速度控制和加速度控制等方面的具體表現(xiàn),同時(shí)引入傳統(tǒng)串聯(lián)控制方式參與對(duì)比,仿真結(jié)果如圖8～10所示。

圖8 終端位移偏差控制效果

圖9 終端速度偏差控制效果

圖10 終端加速度偏差控制效果

從位移偏差控制的角度來(lái)看,前120 s串并混聯(lián)機(jī)械手的軌跡控制效果較好,軌跡規(guī)劃趨近于理論值,120 s以后出現(xiàn)了控制偏差,需要通過(guò)后續(xù)的程序調(diào)整或算法補(bǔ)償糾偏;而受到平臺(tái)控制穩(wěn)定性的影響,傳統(tǒng)以單一串聯(lián)方式控制,從20 s開(kāi)始就出現(xiàn)了較大的控制偏差,仿真效果較差。從串并混聯(lián)機(jī)械手速度控制和加速度控制穩(wěn)定性來(lái)看,也要明顯優(yōu)于單一串聯(lián)機(jī)械手的控制方式。盡管串聯(lián)機(jī)械手在響應(yīng)速度上更快,但由于穩(wěn)定性較差,需要進(jìn)行大量的算法補(bǔ)償,控制成本過(guò)大,也無(wú)法獲得更高控制精度。

在Matlab仿真環(huán)境下從機(jī)械手行進(jìn)的理論軌跡中隨機(jī)選定20個(gè)測(cè)試點(diǎn),觀測(cè)在整個(gè)過(guò)程控制中的軌跡偏離程度,如表2所示。

表2 控制過(guò)程中的軌跡偏差程度

從軌跡偏差的控制結(jié)果來(lái)看,所選取的20個(gè)測(cè)試點(diǎn)中,每個(gè)測(cè)試點(diǎn)串并混聯(lián)機(jī)械手的控制偏差都要低于串聯(lián)控制模式,這表明融合并聯(lián)機(jī)械手的結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)以后,機(jī)械臂的穩(wěn)定性得到了提高。再仿真出串并聯(lián)機(jī)械手5個(gè)關(guān)節(jié)在3個(gè)軸向的旋轉(zhuǎn)角度偏差,仿真結(jié)果如表3所示。

表3 串并聯(lián)機(jī)械手各關(guān)節(jié)3個(gè)軸向的角度旋轉(zhuǎn)偏差

仿真結(jié)果顯示,串并混聯(lián)控制模式下總體上5個(gè)關(guān)節(jié)在3個(gè)軸向的角度偏差均值分別為0.128,0.120,0.166°,關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度出現(xiàn)的偏差較小,趨近于理論上的運(yùn)動(dòng)軌跡。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在仿真環(huán)境下構(gòu)建了機(jī)械手運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型,通過(guò)數(shù)值仿真的方式探究串并混聯(lián)機(jī)械手的最佳控制方式。從仿真結(jié)果來(lái)看文中設(shè)計(jì)的仿真模型在電壓控制、幅值補(bǔ)償及旋轉(zhuǎn)角度補(bǔ)償?shù)确矫娑季哂幸欢ê侠硇?在機(jī)械手的控制穩(wěn)定性及控制精度上優(yōu)于傳統(tǒng)的串聯(lián)控制方式。