基于大單元理念下的探究性作業
——由圓的切線方程說起

廣東省廣州市育才中學(510080) 羅文娟

引言

在新課標、新教材、新高考的背景下,為有效提升學生的數學核心素養,最近大家對大單元教學的研究如火如荼,圍繞高中數學教材內容,開展大單元教學設計研究,以完成單元教學內容的結構化、系統化、關聯性、整體化的融合,促使學生在多元化的數學學習環境下,對本單元的數學內容,形成系統化思維,夯實學生的數學基礎知識,逐漸提升學生的數學核心素養與綜合學習實力.這里筆者設計了一個以“由圓的切線方程說起”為主題的大單元探究性作業,筆者認為探究性作業也可以踐行大單元教學理念,也可以有效培養學生運用邏輯思維方法進行推理和證明的學科素養.

1 問題的起源

高中人教A 版新教材選擇性必修一第二章直線和圓的方程

P92 例2 過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1 的切線l,求切線l的方程.

解法一: 由圓心到切線的距離d=r求得切線的斜率k=0 或再由直線的點斜式方程得到切線方程.

解法二: 聯立圓方程和切線方程消元后由判別式?=0求的k=0 或再由直線的點斜式方程得到切線方程.

2 問題提出

(由以上問題得到啟發,提出問題4,推廣到更為一般的情況)

問題4

(1)過曲線O:mx2+ny2=1(其中m,n為非零常數且m<0,n<0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是否為mx0x+ny0y=1?

(2)過曲線C:m(x-a)2+n(y-b)2=1(其中m,n為非零常數且m< 0,n< 0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是否為m(x0-a)(x-a)+n(y0-b)(y-b)=1?

(3)過曲線y2=2px(p> 0)上一點P(x0,y0)的切線l的方程又是什么呢?

(4)過曲線y=(即xy=1)上一點P(x0,y0)的切線l的方程又是什么呢?

根據以上問題的探究,不由地想進一步探究當曲線方程為任意的二元二次方程的情況.

問題5

過二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0(其中A、B、C不同時為0)表示的曲線上一點P(x0,y0)的切線l的方程又是什么呢?

3 問題解析

當然點P(x0,y0) 的坐標也滿足以上方程.所以過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線l的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

問題4

(1)過曲線O:mx2+ny2=1(其中m,n為非零常數且m<0,n<0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是否為mx0x+ny0y=1?

(由于曲線O:mx2+ny2=1(其中m,n為非零常數且m< 0,n< 0 不同時成立),不一定是圓,以上三問題能用的垂直,這里不能使用了,只能使用聯立方程組消元后使用判別式為零求證.)

探索過程

①如果過曲線O:mx2+ny2=1(其中m,n為非零常數且m< 0,n< 0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的斜率存在,設切線方程為y-y0=k(x-x0),由

問題4

(2)過曲線C:m(x-a)2+n(y-b)2=1(其中m,n為非零常數且m< 0,n< 0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是否為m(x0-a)(x-a)+n(y0-b)(y-b)=1?

問題4 的(2) 和問題4 的(1) 的探索方法是一樣的,只是方程表達式的復雜引起判別式?=0 的計算更為繁雜,原理都一樣,所以同理可以得到以下結論: 過曲線C:m(x-a)2+n(y-b)2=1(其中m,n為非零常數且m<0,n<0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是m(x0-a)(x-a)+n(y0-b)(y-b)=1.

問題4

(3)過曲線y2=2px(p> 0)上一點P(x0,y0)的切線l的方程又是什么呢?

探索過程:

①如果過曲線y2=2px(p> 0)上一點P(x0,y0)的切線l的斜率存在,設切線方程為y-y0=k(x-x0),

左達一手拿著一萬，一手拿著錢包，對著徐藝直搖頭，“你還是太緊張了，跟我第一次下賭場一樣。你得放松一點，別老想著錢包的事。”

②如果過曲線y2=2px(p> 0)上一點P(x0,y0)的切線l的斜率不存在,此時P(0,0),切線方程為x=0,也滿足y0y=p(x+x0).

綜上所述: 過曲線y2=2px(p>0)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是y0y=p(x+x0),即px-y0y+px0=0.

我們可以觀察發現: 這里的切線方程只要把原曲線方程變為y·y=p(x+x),然后二次項留一換一,一次項2x=x+x也留一換一就可以得到.

問題4

(由求得的切線方程y0x+x0y-2=0 的結構,可以看出: 把曲線方程xy=1,兩邊乘以2,得xy+xy=2 然后每個二次項留一換一所得,這與問題4(3)的發現一致.)

問題5

過二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0(其中A、B、C不同時為0)表示的曲線上一點P(x0,y0)的切線l的方程又是什么呢?

根據以上曲線的方程和求得的切線方程的結構對比分析可以得出以下結論:

4 設計意圖

4.1 本探究作業的操作

本探究作業讓學生在課后先思考,然后在堂上分小組分任務找代表主講,教師點評指引.

4.2 本探究作業取材于教材例題,深挖教材

由教材P92 例2 出發,進行改編.由切線所過的已知點在圓外,改為在圓上;由圓的方程到圓錐曲線的方程,到一般的二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0(其中A、B、C不同時為0).

4.3 本探究作業基于大單元教學理念考慮,能有效的提升學生的解決問題能力

4.3.1 本探究作業基于大單元教學理念考慮

圓的方程從圓心在原點處的簡潔形式x2+y2=r2到圓心不一定在原點的稍微復雜的(x-a)2+(y-b)2=r2形式,再到即將在下一章將會學習到的橢圓和雙曲線mx2+ny2=1(其中m,n為非零常數且m< 0,n< 0不同時成立) ,即當m> 0,n> 0,且m≠n時曲線mx2+ny2=1 表示橢圓,當m·n<0 時曲線mx2+ny2=1表示雙曲線,既然研究了橢圓、雙曲線就不差再研究一下拋物線(拋物線另外三種標準形式也可一樣研究),既然研究了除了二次項還帶一次項的方程,就不妨再研究一下帶x·y項的方程,而學生熟悉的只有y=所以就設計了問題1,問題2,問題3,問題4(1)(2)(3)(4).既然這些曲線方程都研究了,那它們的通式:

二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0(其中A、B、C不同時為0)對應的所有曲線是否也有此結論?所以提出了問題5.

上述想法就是把求切線的曲線方程從圓到圓錐曲線,從中心在原點到不一定在原點,從簡單到復雜,從特殊到一般,層層遞進,到更為一般的二元二次方程所表示的曲線,希望達到研究一點到觸通一類的目的.符合了根據數學知識、方法內在的邏輯關聯性,對散落于教材中的教學內容進行整合,形成教學主題單元,從碎片化的知識走向整體、主題式的知識團的大單元教學理念.

4.3.2 本探究作業能有效的提升學生的解決問題能力

舉例: 已知點P為直線l:x+y-2=0 上一動點,過點P作圓x2+y2=1 的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB恒過的定點的坐標為_____.

方法一設點P(m,n),則m+n-2=0,∵過點P作圓x2+y2=1 的切線,切點分別是A,B,∴PA⊥OA,PB⊥OB,∴P、A、O、B四點共圓,其中OP為直徑,所以圓心坐標為∴P、A、O、B四點確定的圓的方程為:半徑長為化為一般方程為:

即x2-mx+y2-ny=0 與x2+y2=1 聯立,求得AB所在直線方程為:

又因為其中m+n-2=0,即m=2-n代入①中,得:(2-n)x+ny=1,所以(y-x)n+2x-1=0,所以解得:直線AB恒過定點的坐標為故答案為:

方法二根據題意設P(m,-m+2),m是實數,切點A(x1,y1),B(x2,y2),則過點P,分別以A,B為切點的圓x2+y2=1 的切線方程分別為lPA:x1x+y1y=1,lPB:x2x+y2y=1,因為這兩切線都過點P,所以把點P的坐標均代入兩切線方程得:x1m+y1(-m+2)=1,x2m+y2(-m+2)=1,此時說明A,B兩點得坐標均滿足直線方程xm+y(-m+2)=1,又因為兩點確定一直線,所以直線AB的方程就是xm+y(-m+2)=1,即m(x-y)+(2y-1)=0,所以由x-y=0,2y-1=0 解得線AB恒過定點的坐標為

以上兩種方法比較,明顯方法二比方法一簡單得多.如果把上題的題目中圓方程換為橢圓的方程或雙曲線方程或拋物線方程,依然求兩切點所在的直線方程則均可用以上方法二,計算方便簡潔,易于學生掌握,可提高教學的有效性,做到“舉一反三”,讓學生積累解題經驗,在日常學習中提升數學學科素養,避免“題海戰術”,有效的提升學生的解決問題能力,從而可見這種大單元為主題的探究性作業是非常有必要的.

4.4 本探究作業各問題的解法既可歸一,也可多樣性,能有效培養學生運用邏輯思維方法進行推理和證明的學科素養,同時也增加了數學探究的趣味性

本探究作業設計成問題串,需要大膽地猜想,然后推理和證明,是訓練學生運用邏輯思維方法進行推理和證明能力的好素材.

這些問題串的通性通法是聯立方程組,讓判別式為零求切線的斜率.但是具體到不同的曲線又可以有其本身特色的解法: 如圓可以用d=r,或用kOP·kl=-1,來求切線的斜率,為了避免斜率存在與否的討論還可以發揮向量的工具性,用向量法來求切線方程;非標準的特殊雙曲線y=的方程本是熟悉的反比例函數,函數特征明顯,求導數比較容易,用導數法求斜率更快捷.

本探究作業各問題的解法既可歸一,也可多樣性,讓學生領會到同類數學問題的研究可以有通法也可有具體問題具體分析的個性解法,數學探究趣味無窮!

5 結束語

這種大單元為主題的探究性作業教學設計,可以使知識更加系統化、科學化,更易于學生從“樹木”見“森林”,在具體問題中又比較容易從“森林”中識別出某“樹木”; 通過對教材內容的深挖,讓學生理解基礎知識,掌握基本技能,掌握解題的基本方法,經歷從簡單到復雜、從特殊到一般再從一般到特殊,即經歷“部分—整體—部分”的活動過程,感悟數學基本思想,從而積累數學基本經驗,提升學科核心素養,值得我們一線教師在日常的教學中不斷的去挖掘和設計出更多的這種大單元為主題的案例.