2022 年新高考I 卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的解法探究與推廣*

佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(528000) 洪銳敏

1 問(wèn)題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》提出把握數(shù)學(xué)本質(zhì),啟發(fā)思考,改進(jìn)教學(xué)的課程基本理念,即以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,提高教學(xué)的實(shí)效性[1].因此,本文以2022 年新高考I 卷第22 題為例,基于GeoGebra 對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行探究與推廣,并給出嚴(yán)格的邏輯推理證明,將信息技術(shù)與高考數(shù)學(xué)試題的變式研究結(jié)合起來(lái),這不僅可以為試題的命制和變式提供參考,而且更有助于引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念和原理的本質(zhì).

2 原題呈現(xiàn)與解法探究

前提下無(wú)法直接求出方程根的準(zhǔn)確值,故需將求方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理探究根的個(gè)數(shù)和根的和差間的等量關(guān)系.由(1)知f(x) 在(-∞,0) 單調(diào)遞減,在(0,+∞) 單調(diào)遞增;g(x) 在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增,f(x)min=g(x)min=1,故若存在直線(xiàn)y=b與曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn),則須b>1,且B點(diǎn)為曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)和直線(xiàn)y=b的公共交點(diǎn),x1<0

原題呈現(xiàn)(2022 年新高考I 卷第22 題) 已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．

(1)求a;

(2)證明: 存在直線(xiàn)y=b,其與兩條曲線(xiàn)y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

解法探究本題以極值點(diǎn)偏移為背景,既是近幾年高考的熱點(diǎn)[2],也是二輪復(fù)習(xí)時(shí)的綜合內(nèi)容,涉及多方面的知識(shí)點(diǎn)[3].第(1)問(wèn)是根據(jù)函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx的導(dǎo)數(shù)研究f(x)和g(x)單調(diào)性的常規(guī)問(wèn)題,考查學(xué)生的順向思維能力.根據(jù)兩個(gè)函數(shù)有相同的最小值這一條件求a的值,通過(guò)分類(lèi)討論,分別確定f(x) 和g(x) 的最小值f(x)min和g(x)min,令f(x)min=g(x)min,解關(guān)于a的方程,即可得到a的值.第(2) 問(wèn)中,不妨設(shè)從左到右的三個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,C,橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,即要證明x1+x3=2x2,實(shí)質(zhì)是討論方程ex-x=b(2.1)與方程x-lnx=b(2.2)根的和差間的等量關(guān)系.由于方程(2.1)和(2.2)是包含指數(shù)和對(duì)數(shù)的方程,學(xué)生不借助信息技術(shù)的

因此,存在直線(xiàn)y=b,其與兩條曲線(xiàn)y=f(x) 和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

本題是以極值點(diǎn)偏移為背景的壓軸題,考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化、等差數(shù)列的概念等知識(shí)點(diǎn),解題過(guò)程體現(xiàn)出對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和分析法的綜合考核,要求學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯推理素養(yǎng)和逆向思維能力.往年較為常見(jiàn)的以極值點(diǎn)偏移為背景的試題以對(duì)不等式證明的考查為主[4],解題過(guò)程需要結(jié)合題意構(gòu)造出新的函數(shù)[5],本題的不同之處在于不設(shè)置證明不等式的題目,而是要求證明直線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)橫坐標(biāo)和差間的等量關(guān)系(x1+x3=2x2或x2-x1=x3-x2),且解題過(guò)程不需要構(gòu)造新的函數(shù),這是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊以極值點(diǎn)偏移為背景命制試題的第一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn).其次,這是自2014 年新高考政策在浙江省和上海市試點(diǎn)實(shí)施以來(lái),全國(guó)I 卷首次將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題與數(shù)列結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查,也是本試題在考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊的第二個(gè)創(chuàng)新點(diǎn),從命題的形式上看比較新穎,既遵循了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》提出的引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)的課程基本理念,也是新高考試題命制的靈活性和敢于突破常規(guī)的體現(xiàn),對(duì)后續(xù)高考試題中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的命制和一線(xiàn)教師的教學(xué)有一定的借鑒意義,下文筆者將借助GeoGebra 繼續(xù)對(duì)該解答題進(jìn)行探究與推廣.

3 探究思路和過(guò)程

2022 年新高考I 卷第22 題第(2) 問(wèn)是證明存在直線(xiàn)y=b,其與兩條曲線(xiàn)y=f(x) 和y=g(x) 共有三個(gè)不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列,得到x1+x3=2x2,即x2-x1=x3-x2=b,線(xiàn)段AB=BC=b.下面筆者借助GeoGebra 探究直線(xiàn)y=c(c> 1,c≠b)與兩條曲線(xiàn)y=f(x)和y=g(x)有四個(gè)不同的交點(diǎn)的情況,如圖1 和圖2,先繪制出直線(xiàn)y=c與兩條曲線(xiàn)y=f(x)=ex-x和y=g(x)=x-lnx的圖象,作出直線(xiàn)y=c(c> 1,c≠b) 動(dòng)態(tài)變化的效果[6].設(shè)從左到右的四個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,C,D,橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x4,探究x1,x2,x3,x4的和差間的等量關(guān)系,以及以A,B,C,D四點(diǎn)為端點(diǎn)的各線(xiàn)段長(zhǎng)度與之間存在的等量關(guān)系.通過(guò)GeoGebra 對(duì)相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)追蹤和探究,分別得到下列4 個(gè)結(jié)論,然后通過(guò)邏輯推理證明結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)性,為試題的命制和變式提供參考.

圖1 1 < c < b 時(shí)直線(xiàn)y=c 與曲線(xiàn)y=f(x)和y=g(x)的圖象

圖2 c > b 時(shí)直線(xiàn)y=c 與曲線(xiàn)y=f(x)和y=g(x)的圖象

4 結(jié)論與證明

結(jié)論1直線(xiàn)y=c(c> 1,c≠b)與兩條曲線(xiàn)y=f(x)和y=g(x) 共有從左到右的四個(gè)不同的交點(diǎn),設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,c),B(x2,c),C(x3,c),D(x4,c),則總有線(xiàn)段AB=CD恒成立.

5 教學(xué)建議

本文在對(duì)2022 年新高考I 卷第22 題解題探究的基礎(chǔ)上,借助GeoGebra 探究直線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)橫坐標(biāo)和差間的等量關(guān)系和以交點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段長(zhǎng)度與之間存在的等量關(guān)系,通過(guò)圖象和數(shù)據(jù)直觀發(fā)現(xiàn)以上4 個(gè)結(jié)論并給出證明過(guò)程,是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊與解析幾何板塊知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合,根據(jù)以上探究過(guò)程,筆者給出以下四點(diǎn)教學(xué)建議:

5.1 注重信息技術(shù)在課堂教學(xué)中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

以GeoGebra、幾何畫(huà)板等軟件為代表的信息技術(shù)工具是數(shù)學(xué)教師設(shè)計(jì)并實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的良好載體,是落實(shí)引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合的課程基本理念,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)的有效途徑.教師在日常教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重信息技術(shù)在課堂教學(xué)中的應(yīng)用,這不僅能將數(shù)學(xué)問(wèn)題從抽象轉(zhuǎn)化為具體,有助于學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境的理解,而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

5.2 注重加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力

以極值點(diǎn)偏移為背景的問(wèn)題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊的高頻考點(diǎn),要求學(xué)生在熟練掌握函數(shù)與導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的前提下對(duì)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)用、分析并解決實(shí)際問(wèn)題,屬于“多想多算”,且注重對(duì)分析法的考核,因此,學(xué)生必須在平時(shí)的練習(xí)過(guò)程中加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊在數(shù)學(xué)運(yùn)算上容易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)包括冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)的互化,含有指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式求解,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)等.邏輯推理不僅體現(xiàn)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的解題過(guò)程對(duì)分析法的運(yùn)用上,還滲透在學(xué)生能夠有邏輯地思考問(wèn)題,形成重依據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)上.

5.3 重視引導(dǎo)學(xué)生建立多知識(shí)點(diǎn)或不同知識(shí)板塊間的聯(lián)系,深化轉(zhuǎn)化與化歸思想

由于2022 年全國(guó)新高考I 卷第22 題將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)和數(shù)列結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查,本文探究發(fā)現(xiàn)并證明的4 個(gè)擴(kuò)展結(jié)論涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)和解析幾何板塊知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合,因此,教師在日常教學(xué)過(guò)程中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生建立多知識(shí)點(diǎn)或不同知識(shí)板塊間的聯(lián)系,深化轉(zhuǎn)化與化歸思想,鼓勵(lì)學(xué)生將難題轉(zhuǎn)化和歸結(jié)為已習(xí)得的知識(shí)進(jìn)行求解.例如,把對(duì)方程根的個(gè)數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),將二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一元二次不等式化歸為二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一元二次不等式進(jìn)行求解等.

5.4 夯實(shí)變式訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和問(wèn)題解決能力

將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)與數(shù)列結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查是2022 年全國(guó)新高考I 卷第22 題試題命制的創(chuàng)新點(diǎn),以證明直線(xiàn)與題干所給的兩條曲線(xiàn)從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列設(shè)問(wèn),是發(fā)揮高考對(duì)人才選拔功能的體現(xiàn),因此,教師在設(shè)計(jì)題目時(shí),要注意深挖試題內(nèi)涵,從試題測(cè)評(píng)的層面檢驗(yàn)學(xué)生是否真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),突出教育評(píng)價(jià)的指揮棒作用,并對(duì)試題進(jìn)行變式和創(chuàng)新,使學(xué)生能從不同的角度或難度層次上進(jìn)行解題訓(xùn)練,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和問(wèn)題解決能力.