基于DMD降噪的滾動軸承故障診斷方法

涂福泉,楊家瑜,陳 超,羅迎九,吳維崧

(武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室,湖北 武漢,430081)

滾動軸承是機械傳動中的重要組成部件,廣泛應(yīng)用于各種機械設(shè)備,如風(fēng)電機組、高速列車、航空發(fā)動機等。由于工作環(huán)境的復(fù)雜性,滾動軸承容易出現(xiàn)點蝕、斷裂、磨損等故障,從而影響設(shè)備運行的穩(wěn)定性和可靠性,因此對滾動軸承進行故障診斷具有重要意義。

在設(shè)備故障診斷時,通常是利用傳感器收集的振動信號進行分析。這些振動信號中有大量的噪聲,導(dǎo)致其故障特征不明顯,難以直接應(yīng)用,需要將原始信號進行降噪處理,再進行下一步的分析[1]。經(jīng)典的信號降噪和特征提取方法包括小波變換(WT)、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)、變分模態(tài)分解(VMD)、奇異值分解(SVD)等,然而這些方法都有一些不足之處。例如,WT需要選擇合適的母小波及分解層數(shù);EMD公式缺乏嚴(yán)格的理論推導(dǎo),并且存在模態(tài)混疊和端點效應(yīng)等問題;VMD的參數(shù)選擇對其分解效果影響較大;SVD對強噪聲背景下的信號特征提取效果欠佳。因此,研究人員以上述方法為基礎(chǔ)提出了一系列的改進措施。Yang等[2]針對傳統(tǒng)的采用單一準(zhǔn)則優(yōu)化的小波參數(shù)無法完全描述故障特征的問題,設(shè)計了一種多目標(biāo)優(yōu)化小波濾波器用于提取軸承故障特征,在強噪聲背景下的應(yīng)用效果較好。滾動軸承早期故障信號存在大量噪聲使得故障特征提取十分困難,為此曹玲玲等[3]提出一種將互補集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(CEEMD)和改進小波閾值算法相結(jié)合的方法,可以提高故障信號的信噪比,降噪效果明顯。Yin等[4]提出一種滾動軸承弱故障特征提取方法,能選擇出具有故障特征的內(nèi)模函數(shù),并且通過新構(gòu)造的自適應(yīng)閾值進行信號去噪。趙瑋[5]采用基于VMD和奇異值差分譜的故障特征提取方法,可以有效降低噪聲的影響。鑒于傳統(tǒng)VMD方法對高速列車輪對軸承故障特征提取不夠準(zhǔn)確,李翠省等[6]設(shè)計一種結(jié)合集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EEMD)和改進參數(shù)自適應(yīng)VMD的方法,其在強噪聲干擾下仍具有優(yōu)良的故障特征提取效果。李華等[7]為了提升SVD方法的降噪性能,提出一種基于相關(guān)奇異值比的SVD方法并成功應(yīng)用于軸承故障診斷。Cheng等[8]提出自適應(yīng)周期模態(tài)分解方法,以解決現(xiàn)有滾動軸承故障診斷方法對周期性沖擊故障識別能力差的問題。

動力學(xué)模態(tài)分解(dynamic mode decomposition,DMD)是基于Koopman算子的無方程數(shù)據(jù)驅(qū)動分析方法,它不僅有SVD算法的優(yōu)點,還考慮了機械系統(tǒng)演化過程中的時空特性,具有時空耦合建模的獨特優(yōu)勢,在信號降噪和特征提取方面已得到有效應(yīng)用[9]。DMD本質(zhì)上是一種融合奇異值分解和模態(tài)分解理論的空間降維方法,因此它也不可避免地繼承了兩者的缺點,例如在截斷秩的選取和含調(diào)制成分信號的處理方面存在困難。針對上述問題,本文提出一種Hilbert變換和DMD相結(jié)合并通過奇異值差分譜確定截斷秩的信號降噪和特征提取方法,用于滾動軸承故障診斷。首先使用Hilbert變換對原始信號進行包絡(luò)解調(diào),消除原信號中調(diào)制成分對后續(xù)分析的影響,然后進行動力學(xué)模態(tài)分解,通過奇異值差分譜選擇合適的截斷秩進行信號重構(gòu),從而減少噪聲的干擾,以達(dá)到較好的特征提取效果。本文最后利用仿真信號和美國凱斯西儲大學(xué)公開的軸承故障數(shù)據(jù)集進行方法驗證。

1 基本理論

1.1 Hilbert變換

對一個連續(xù)信號x(t)進行Hilbert變換可表示為[10]

(1)

式中:H[x(t)]表示時域中的Hilbert變換,?為卷積算子。

原信號的解析信號為

(2)

從解析信號中可以得到原信號x(t)的包絡(luò)信號為

(3)

1.2 DMD算法

假設(shè)兩個連續(xù)序列X、X′(用矩陣形式表示)滿足與最優(yōu)線性算子的映射關(guān)系,即X′=AX,DMD算法利用矩陣A的低秩表達(dá)式來捕捉連續(xù)序列潛在的動態(tài)特性[11-12]。

由于DMD最初是應(yīng)用于流體力學(xué)領(lǐng)域,所收集的信號通常是二維矩陣形式,而軸承振動信號是一維的,因此需要將一維振動信號轉(zhuǎn)換為矩陣形式,這里構(gòu)造Hankel矩陣以滿足上述要求[13]。對于振動信號X(t)=[x(1),x(2),x(3),…,x(N)],其Hankel矩陣形式為

(4)

式中:m=N/2,1

DMD算法步驟為:

1)對X進行奇異值分解

X=UΣV*

(5)

式中:U、V為酉矩陣,Σ為奇異值對角矩陣。U的每個列向量相互正交,是X的本征正交分解(POD)模態(tài)。取U的前r階來截斷數(shù)據(jù),通過保留主要模態(tài)來降維。

2)利用X的偽逆來求A

A=X′XT=X′VΣ-1U*

(6)

(7)

(8)

4)計算重構(gòu)矩陣

(9)

(10)

式中:wi=ln(λi)/Δt,bi是每個模態(tài)的幅值。

1.3 奇異值差分譜

奇異值差分譜可以表征奇異值序列的變化,差分譜計算公式如下[14]:

(11)

式中:σi為奇異值。所有的di構(gòu)成奇異值差分譜,差分譜的峰值與信號特征相關(guān),峰值越大,特征越明顯,當(dāng)峰值降低到一定程度便可截斷。

2 本文方法

本文方法的基本流程如圖1所示。首先將原始信號進行Hilbert變換得到包絡(luò)信號,再根據(jù)包絡(luò)信號構(gòu)造Hankel矩陣進行動力學(xué)模態(tài)分解,然后通過奇異值差分譜確定DMD的截斷秩,使用該截斷秩進行重構(gòu)得到重構(gòu)矩陣,其第一行為重構(gòu)信號,根據(jù)重構(gòu)信號進行頻譜分析,提取出準(zhǔn)確的信號特征,從而實現(xiàn)滾動軸承故障的精確診斷。

圖1 本文方法的基本流程

3 仿真信號分析

下面采用滾動軸承內(nèi)圈故障仿真信號來驗證本文方法的有效性。仿真信號表達(dá)式如下[15]:

(12)

式中:fr為轉(zhuǎn)頻,fn為軸承的共振頻率,T為故障周期,C為衰減系數(shù),A0為幅值,n(t)為高斯白噪聲。

設(shè)定采樣點數(shù)N=4 096,高斯白噪聲的信噪比為-5 dB,仿真信號其余參數(shù)的具體取值如表1所示,其中fs為系統(tǒng)的采樣頻率。

表1 滾動軸承內(nèi)圈故障仿真信號的參數(shù)

圖2為仿真信號的時域波形圖。由圖2(b)可見,時域信號的故障特征已經(jīng)被噪聲淹沒,從中無法獲得軸承故障頻率。為了分析信號的故障特征,對加噪聲后的仿真信號進行包絡(luò)譜分析,結(jié)果如圖3所示。在圖3中可以找到信號的特征頻率和部分多倍頻,但是包含大量的噪聲信息。

(a)未加噪聲的仿真信號

圖3 加噪聲仿真信號的包絡(luò)譜

為了更加有效地提取軸承的故障特征,使用本文方法進行信號分析。首先將原始信號通過Hilbert變換構(gòu)造解析信號,對解析信號取模得到包絡(luò)信號,如圖4所示。

圖4 本文方法得到的包絡(luò)信號

根據(jù)包絡(luò)信號構(gòu)造Hankel矩陣,進行動力學(xué)模態(tài)分解,通過奇異值差分譜確定截斷秩的階數(shù),如圖5所示。需要在奇異值分布曲線上選取一個合適的截斷秩階數(shù),但是僅根據(jù)圖5(a)難以確定最優(yōu)點,因此可以根據(jù)奇異值差分譜進行分析。在理想狀態(tài)下,差分譜峰值的大小與信號特征相關(guān),峰值越大,特征越明顯,當(dāng)差分譜峰值降低到一定程度而難以區(qū)分特征信息時便可截斷。如圖5(b)所示,通過奇異值差分譜分析,設(shè)定奇異值差分閾值為0.001,取最后一個峰值大于閾值的差分階數(shù)作為截斷秩階數(shù),最終確定的截斷秩階數(shù)為31。

(a)奇異值分布曲線 (b)奇異值差分譜

根據(jù)設(shè)定的截斷秩階數(shù),可以得到31個精確DMD模態(tài),然后構(gòu)造DMD重構(gòu)矩陣,選取其中第一行為重構(gòu)信號。通過DMD重構(gòu)后的信號如圖6(a)所示,從中可以觀察到故障特征。利用快速傅里葉變換(FFT)對重構(gòu)信號進行頻譜分析,結(jié)果如圖6(b)所示,可以觀察到特征頻率及其多倍頻,譜線突出,特征頻率附近存在一對邊頻,4倍頻附近存在一個上邊頻。上述結(jié)果表明,本文方法能有效降低軸承振動信號中的噪聲干擾,可提取出軸承故障特征頻率。

圖7所示為對比方法(包括SVD、自適應(yīng)DMD、VMD、EEMD)對仿真信號的分析結(jié)果。SVD重構(gòu)信號的包絡(luò)譜中特征頻率和部分多倍頻譜線明顯,但是存在部分噪聲;自適應(yīng)DMD重構(gòu)信號的包絡(luò)譜中特征頻率和部分多倍頻譜線突出,但高于5倍頻的特征不明顯,部分特征信息丟失;選取VMD重構(gòu)信號中合適的模態(tài)分量(IMF3)進行分析,其包絡(luò)譜中故障頻率、2倍頻和3倍頻的譜線較明顯,但伴隨有部分噪聲;選取EEMD重構(gòu)信號中合適的模態(tài)分量(IMF1)進行分析,其包絡(luò)譜中故障頻率、部分多倍頻的譜線較明顯,但噪聲較多。

(a)SVD重構(gòu)信號的包絡(luò)譜 (b)自適應(yīng)DMD重構(gòu)信號的包絡(luò)譜

4 實驗驗證

為了進一步驗證本文方法在實際應(yīng)用中的有效性,以美國凱斯西儲大學(xué)公開的軸承故障數(shù)據(jù)集中的內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)為案例進行分析。軸承故障直徑為0.007英寸(0.01778 cm),轉(zhuǎn)速為1797 r/min,采樣頻率為12 kHz。通過理論計算,軸承內(nèi)圈故障特征頻率為162.19 Hz。

由軸承內(nèi)圈故障信號的時域波形(圖8)可知,故障特征被噪聲淹沒,無法提取出有效的特征信息。該信號的包絡(luò)譜分析結(jié)果見圖9,從包絡(luò)譜中可以提取軸承故障特征,但是還存在噪聲干擾。

圖8 軸承內(nèi)圈故障信號的時域波形圖

圖9 軸承內(nèi)圈故障信號的包絡(luò)譜

為了更好地提取故障特征信息,使用本文方法對原始信號進行降噪處理。首先將原始信號通過Hilbert變換得到包絡(luò)信號,如圖10所示。根據(jù)包絡(luò)信號構(gòu)造Hankel矩陣后進行動力學(xué)模態(tài)分解,并通過奇異值差分譜確定截斷秩的階數(shù)。軸承內(nèi)圈故障信號的奇異值分布及奇異值差分譜如圖11所示,據(jù)此選取合適的截斷秩階數(shù)。從圖11(a)來看,應(yīng)選取曲線變化趨于穩(wěn)定的一個點。設(shè)定奇異值差分閾值為0.001,結(jié)合圖11(b),確定截斷秩階數(shù)為105。

圖10 軸承內(nèi)圈故障包絡(luò)信號的時域波形圖

(a)奇異值分布曲線 (b)奇異值差分譜

截斷秩為105時的DMD重構(gòu)信號如圖12(a)所示,通過FFT得到的頻率譜如圖12(b)所示。將圖12與圖8～圖9對比可知,盡管從原始信號的包絡(luò)譜中可以找到特征頻率和部分多倍頻,但其中伴隨著大量的噪聲,而經(jīng)過Hilbert變換和DMD處理后,重構(gòu)信號的頻率譜中噪聲明顯減少,比較容易找到特征頻率和多倍頻。由此可見,采用本文提出的將Hilbert變換與DMD相結(jié)合、再通過奇異值差分譜確定截斷秩的方法可有效降低振動信號噪聲,便于提取軸承故障特征。

另外,在采用i5-8300H處理器、16 GB內(nèi)存、GTX 1050 Ti顯卡的實驗配置下,本文方法對上述軸承內(nèi)圈故障信號的計算時間為9.66312 s,計算時間較短。因此,當(dāng)設(shè)備性能較好、采樣點數(shù)量較少時可通過該方法進行軸承故障信號實時分析。

圖13所示為對比方法對軸承內(nèi)圈故障信號的分析結(jié)果。從SVD重構(gòu)信號的包絡(luò)譜中可以分辨出故障頻率和部分多倍頻,但是包絡(luò)譜中噪聲較多;從自適應(yīng)DMD重構(gòu)信號的包絡(luò)譜中可以看出部分多倍頻的譜線較為突出,但是噪聲干擾較大,部分倍頻被噪聲淹沒;選取VMD重構(gòu)信號合適的模態(tài)分量(IMF3)進行分析,從包絡(luò)譜中只能觀察到特征頻率和2倍頻,并伴隨有噪聲影響;對EEMD重構(gòu)信號的IMF1分量進行分析,其包絡(luò)譜中故障頻率比較明顯,可以觀察到部分多倍頻,但是噪聲也較多。相對而言,VMD和EEMD重構(gòu)信號中特征丟失和噪聲剔除不理想的情況更嚴(yán)重。

(a)SVD重構(gòu)信號的包絡(luò)譜 (b)自適應(yīng)DMD重構(gòu)信號的包絡(luò)譜

從計算效率角度分析,在實驗配置不變的條件下,SVD方法的計算時間為28.53648 s,計算時間較長;自適應(yīng)DMD方法的計算時間為11.63338 s,計算時間稍長。與SVD和自適應(yīng)DMD相比,本文方法計算速度更快、降噪性能更優(yōu)秀。

5 結(jié)語

針對軸承故障診斷中提取故障特征時難以剔除信號噪聲的問題,本文提出了一種將Hilbert變換、DMD和奇異值差分譜相結(jié)合的方法。首先對原始信號進行Hilbert變換求得包絡(luò)信號,以分離出原信號中的調(diào)幅和載波信息,去除原信號中高頻調(diào)制部分對后續(xù)分析的影響。根據(jù)包絡(luò)信號構(gòu)造Hankel矩陣,再對該矩陣進行DMD處理。鑒于DMD算法的截斷秩選取較為困難,本文通過奇異值差分譜來確定截斷秩,當(dāng)差分值降低到一定程度難以區(qū)分特征信息時便可以截斷。取DMD重構(gòu)矩陣的第一行為重構(gòu)信號,通過FFT得到重構(gòu)信號的頻域譜,從而提取出軸承故障特征。本文方法在對仿真信號和實際的滾動軸承故障信號的分析中均取得了較好的降噪效果,為滾動軸承故障診斷提供了一個有效手段。