基于核心問題 培養模型意識
——以小學數學“植樹問題”為例

文 /黃露嵐

隨著基礎教育改革的推進和發展，數學建模越來越受到重視。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出，模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟[1]。模型意識是小學數學學科核心素養的重要組成部分，是形成模型觀念的經驗基礎。培養模型意識不僅能促進學生數學思維發展，開展跨學科主題學習，也能提高學生解決問題的能力，增強學生對數學的應用意識。因此，培養模型意識具有重大的現實意義。

一、緣由：為何基于核心問題培養模型意識

縱觀傳統的小學數學課堂，大部分教師能認識到數學思想的重要性，有在課堂教學中滲透數學基本思想的意識，積極創新教學理念和方式。但是，小學數學教材的明線側重數學知識，數學模型思想是隱含其中的暗線，模型意識的培養在實際的小學數學課堂教學中滲透力度不夠，存在著一些問題。例如，在教師層面，部分教師對數學模型思想理解不到位，缺少對模型意識的系統認識。部分教師在教學時沒有結合學生的學習特征和教學內容，教學方式不符合建模規律，教學沒有方向感，新知教學缺乏對模型意識的滲透，練習環節缺乏模型意識的強化，小結環節缺乏對模型意識的提煉，作業布置缺乏模型意識的體現，種種原因導致應用效果不佳。此外，部分教師沒有深入挖掘教材中蘊含的模型思想，沒有有效整合教材中零散的模型內容，導致教學有模型沒思想。而在學生層面，小學生的模型意識相對欠缺，對模型思想的認識流于表面，對數學模型的認識只停留在朦朧狀態。

核心問題，即統領一節課的中心問題、關鍵性問題，需要學生思考，能發揮問題的價值的問題。本文嘗試以人教版五年級（上冊）“植樹問題”一課為例，基于核心問題，充分調動學生參與數學學習的主動性，使學生深度思考，發現現實生活現象中蘊藏著的數學信息，用數學的思維把這些現象抽象成數學模型，并用數學模型解釋現實生活中的現象，培養模型意識，初步感悟、建構、完善和運用數學模型，幫助學生在親歷建模的過程中培養模型意識，感悟基本數學思想，為發展學生數學學科核心素養奠定基礎。

二、策略：如何基于核心問題培養模型意識

（一）呈現核心問題，感悟模型意識

弗賴登塔爾認為，數學源于生活，又應用于生活，數學知識的根源在于生活中的普通常識。學生需要認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，需要關注數學知識的原型，對現實情境有充分的認識，能用數學的眼光觀察生活情境，發現和提出問題，并運用數學知識解釋現實生活中的現象，分析和解決問題，有效培養模型意識。而在日常的小學數學課堂教學活動中，大部分學生并沒有完整地接受數學建模的專項課程學習。學生有時能夠記住某些特殊情況下的知識建模，但又往往因為生活素材過少、親身體驗不夠等，對數學模型的認識只停留在表面，沒有真正系統地認知和感悟，沒有有效經歷數學抽象過程，導致對數學本質的理解不夠透徹，影響了數學建模，模型意識相對薄弱。

創設合理有效的生活問題情境是培養模型意識的有效途徑。在小學數學課堂教學中，教師要充分利用學生熟悉的生活素材，適時呈現核心問題，展現生活中的數學原型，將數學問題生活化，讓學生在真實且有趣的生活情境中理解數學內容，引導學生自主思考、深入探究、合作交流等，圍繞具有一定思維價值的核心問題，聚焦知識的本質，由淺入深，逐步推進，經歷從生活原型問題逐步抽象到數學問題的過程，感悟模型意識[2]。

例如，在創建全國文明城市的背景下，教師從學生熟悉的生活情境和已有的生活經驗出發，呈現植樹問題：“在1000 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵（兩端都栽）。一共要栽多少棵樹？”學生在梳理條件后提出各種猜測，如199 棵、200 棵、201 棵等，在復雜情境中初步感知棵數和間隔數的關系。基于核心問題“到底需要栽多少棵呢？有什么辦法來驗證呢？”，學生動手實踐，嘗試畫圖驗證，發現較難直接通過畫圖驗證復雜問題情境的猜想。這可以引發學生的認知沖突。教師可以使學生利用學習任務單，主動選擇較小的數據，通過畫一畫、算一算、找一找、說一說等環節，在解決問題的過程中體會：將未學過或者不易解決的問題轉化成已經學過的或者比較容易解決的問題，從簡單情境中發現規律，進而用規律解決復雜的問題情境，化繁為簡。基于核心問題，學生可以在學習中提高解決實際問題的能力，增強合作交流的意識，養成主動探究的習慣，初步感悟模型意識。

（二）聚焦核心問題，建構模型意識

建構主義認為，知識不是簡單地通過傳授得到，而應由學生利用自己已有的知識和經驗主動建構的。模型意識并不是學生天生就具有的，而是一種需要后天不斷努力培養和建構的數學意識。在學生自主探究過程中，教師不能直接灌輸模型意識，而應當扮演好引導者角色，引導學生聚焦核心問題，對學生進行指導或點撥，使學生在具體的生活情境中理解問題，經歷感知、理解、想象、推理、抽象、概括等系列活動，從現實問題中提煉有用的數學信息，舍去非本質要素，在自主探索的過程中建立更多感性認知，及時歸納、總結探究結果，親身經歷數學建模的全過程，把握數學模型的結構特點，建立對數學模型的理解，把新建立的數學模型真正納入原有的認知結構中，并逐步建構模型意識。

例如，圍繞核心問題“兩端都栽時，棵數和間隔數有什么關系？”，學生可以選擇自己喜歡的較小的總長和間隔長，自主探究，合作交流，展示自己設計的植樹方案。教師要及時列表，收集匯總學生的做法，如總長10 米間隔長5 米、總長20 米間隔長5 米、總長10 米間隔長2 米等情況，引導學生在總長相同間隔長不同、總長不同間隔長相同、總長間隔長都不相同等簡單情境中，探究棵數和間隔數的關系，讓學生發現“兩端都栽時棵數比間隔數多1”這一重要規律。然后，學生聚焦核心問題“為什么間隔數要加1？”，借助寫一寫、擺一擺、畫一畫等，演示樹與間隔的一一對應，明確多的“1”在哪里，建立“兩端都栽”的植樹問題模型，即“間隔數=總長÷間隔長，棵數=間隔數+1”。面對生活中的實際問題，學生能夠通過觀察、分析、猜想、選擇、驗證、歸納、抽象等數學活動，采用自主探究、合作交流等形式，研究“兩端都栽”的植樹問題，剝離其他非數學的信息，抽象出數學問題的結構及特征，即棵樹和間隔數的關系，將實際問題初步抽象成數學模型，這也是學生解決數學問題的前提。在此過程中，學生還能用數學語言表達現實世界的數量關系，感悟數學與現實世界的聯系，運用數學思維構建數學模型，探求解決問題的方案，建構模型意識。

（三）剖析核心問題，完善模型意識

小學數學教學有嚴謹的邏輯體系，當建構完新的數學模型后，教師應及時引導學生聯系已建模型，找出內在邏輯關系。這既有利于學生深入理解新模型，也有利于學生進一步完善自身原有的認知結構。舉一反三能力的培養與問題教學之間存在天然聯系。在教學中，教師可以利用一個問題引出其他問題，讓學生借助一個問題解答同類型的問題。數學核心問題應是有利于學生摸索與揭示事物本質的問題，既要符合問題的特點，又要滿足教學的需要。學生要運用數學語言表達現實世界中的問題與數學的內在聯系，解釋表達的合理性，并結合自主探究的結果及出現的問題拓寬探究方向，進而完善模型意識[3]。

例如，在已經建立“兩端都栽”模型的基礎上，教師可以聚焦“只栽一端和兩端都不栽，間隔數與棵數之間有什么關系？”這一核心問題，讓學生以四人小組為單位，借助線段圖，用一一對應的方法說明理由，完善植樹問題的三種基本模型。然后，教師可以讓學生對比分析核心問題：“觀察這三種情況，它們之間有什么區別和聯系？”針對植樹問題兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽的三種情況，學生會把樹與間隔一一對應，發現棵數和間隔數之間的關系，抽象出植樹問題實際上是研究線段中的點和線的關系，經歷完整的植樹問題模型建構過程。在學習過程中，學生會體會到“發現—分析—歸納—總結”的本質就是一個小型的科研過程，能夠發展數學思維、完善模型意識。

（四）把握核心問題，應用模型意識

深度學習理論認為，學生的學習就是要對學習內容達成深度理解和切身體驗，要抓住學習內容的本質屬性，把握知識的內在聯系。學生的認識是在“實踐—認識—再實踐—再認識”的過程中不斷發展的。學生經歷充分的探究活動建立起來的數學模型，并非只是針對個別數學現象或數學特征，而是對現實生活現象的本質屬性和特征進行抽象概括而形成的典型特征，具有一般性。應用是模型的重要價值，模型的存在使問題的解決存在捷徑。應用數學模型，絕不能單純將模型看作數學公式進行機械的記憶、復述與運用，而要將模型作為訓練學生數學思維的手段，為進一步鍛煉學生的數學思維服務。

教師要創設不同的問題情境，為學生呈現豐富的表象積累，組成問題鏈，引導學生在運用數學模型解決問題的過程中，將已經生成的數學模型進行拓展，衍生出新的數學模型，回到現實生活情境中去體驗和檢驗，進一步理解并掌握數學模型。教師要引導學生從不同角度觀察發現模型的共同特征，體會模型的普遍性和應用價值，了解數學模型是數學應用的基本途徑，可以用來解決一類問題，進一步培養學生主動建模的能力和應用模型意識。

例如，教師可以利用“植樹問題，我們真的只是研究如何種樹嗎？生活中有類似這樣的規律嗎？”這一核心問題，讓學生結合實際情境，靈活判斷生活中的“植樹問題”——“樹”在哪里、“間隔”在哪里，從數學上的三種植樹問題拓展到環形植樹問題。教師可以拓展延伸到歷史上著名的“二十棵樹”問題——“20 棵樹，如果每行種4 棵，怎樣種植，才能使種的行數更多？”，使學生學會用數學的眼光厘清不同類型植樹問題的關系，用數學的思維形成一定的解決方法，幫助學生從各個方面認識植樹問題，會用植樹問題的模型解決生活實際問題，用數學的語言表達現實世界。

三、期許：基于核心問題培養模型意識

數學學科核心素養的意義就在于我們應通過數學教學幫助學生學會思維，使他們想得更清晰、更深入、更全面、更合理。模型意識是重要的數學學科核心素養之一，模型意識的培養是社會對人才培養的客觀需求，也是學生全面發展的必要條件。但是，模型意識的培養是復雜性與綜合性并存的過程，并非一蹴而就。模型意識的形成無法可視化，因此離不開教師的指導，這就對教師的教學水平和學生的數學能力提出了較高要求。

在平常的教學中，教師不能忽略對學生數學模型意識的培養，教師應提高自身的建模教學意識，善于在平時的數學課堂上發現、摸索和實踐，完善課堂教學策略，在各個教學環節中反復滲透核心問題，有意識地培養學生的模型意識，真正讓數學思維服務于學生。教師應基于學生學情，依托核心問題，促使學生思考和學習，密切聯系學生實際生活。教師還要利用核心問題整合教學內容，以學生為主體，在課堂上給予學生充分的探究時間和空間，借助多元化的自主探究活動，豐富學生對數學模型的認知，引導學生運用已有知識和生活經驗開展觀察、操作、推理等活動，經歷感知、感悟、建構、完善和應用數學模型的過程，把握數學模型的本質。

四、結束語

教師基于核心問題，培養學生的數學模型意識，有利于學生養成良好的數學思維習慣，使學生對數學規律產生更深層次的認識，感受學習數學的樂趣和價值，真正實現深度學習，從而促進學生數學學科核心素養的發展。