弗蘭克-赫茲實驗集電極電流微分測量分析

李潮銳

(中山大學 物理學院,廣東 廣州,510275)

弗蘭克-赫茲(Frank-Hertz,F-H)實驗利用熱電子在外電場加速過程中與原子交換能量,通過測量集電極電流變化推斷原子激發電位. 常規方法可觀測到的實驗現象普遍包括:

1)隨集電極電位VP增大,集電極電流IP的起始第二柵極電壓VG2升高;

2)隨VP增大,IP-VG2曲線整體下移;

3)隨VP增大,IP-VG2曲線中的IP谷電位或峰電位向VG2高電壓端移動;

4)即使VP高于原子激發電位,仍可清晰地觀測到IP-VG2的變化規律;

5)在VP恒定的條件下,IP-VG2曲線隨VG2增大呈現類周期振蕩上揚;

6)原子激發電位隨VG2升高而逐漸增大(激發電位遞增).

文獻[1]指出:不管在發生能量交換之前還是之后,管中熱電子電流都具有能量分布規律.常規實驗方法中,IP來自所有能量高于VP的熱電子的貢獻,或者說,IP是對所有可到達集電極熱電子(流)的累加(積分)測量結果.本文采用集電極電流微分測量方法,通過集電極微分電流iP(V)的能量(電位)分布討論分析F-H實驗的普遍現象.根據iP(V)能量分布峰形特點及變化規律,從IP微分測量角度理解實驗測得的原子激發電位遞增現象的物理本質.

1 實驗技術方法

實驗主體裝置是復旦天欣弗蘭克-赫茲實驗儀(I型),包括燈絲電源、第一柵極電源、第二柵極電源、集電極電源和集電極電流放大測量等功能模塊.常規接法是以集電極P為接地端,這有利于集電極電流放大測量電路設計,實驗所用的運算放大器由+12 V和-12 V雙電源供電. 關于常規方法的F-H實驗參量優化及其結果評估參見文獻[2].

使用實驗儀內部燈絲電源VF=1.70 V,以使實驗中最大集電極電流IPmax不超量程;不施加第一柵極電位,即VG1=0 V. 改用艾德克斯(iTech)IT6874B直流電源和普源(Rigol)DP831A直流電源分別提供第二柵極電壓VG2和集電極電位VP,外部電源也將VG2和VP分別擴大至0～100 V和0～30 V(甚至更高)范圍;二者均采用約0.20 V的步進實施測量. 用吉時利(Keithley)DMM7510多用表測量集電極電流IP(實際測量的是由運算放大器輸出電壓來表征IP),2臺普源(Rigol)DM3068多用表則分別用于測量VG2和VP.泰克(Tektronix)AFG3252信號源為集電極提供頻率為27.8 Hz且其峰-峰值為0.200 V的交流調制電壓,并與集電極直流電源輸出(串聯)疊加,由中大科儀OE1022I數字鎖相放大器測量IP交流分量(實際測量的是運算放大器輸出電壓交流分量);以AFG3252信號源TTL同步輸出為OE1022I鎖相放大器外參考信號. 通過RS232,USB和GPIB接口對實驗系統實施計算機測控操作和數據采集分析.

實驗過程可能會遇到2個問題:

1)在VP接近或高于原子激發電位,即IP較微弱時,IP出現負值.特別是燈絲電流較小情況,IP負值更為明顯.

2)改變VP對VG2存在的弱影響.

圖1所示為實驗測量電路等效示意圖.無論是從陰極發射出來隨之進入加速區,還是從加速區經過第二柵極進入減速區,熱電子都具有初速度(初動能或初能量),這等效于有電源驅動.因此,在加速區和減速區的回路中,除了電路中的實體電源外,還應該考慮附加等效電源的作用.

圖1 F-H實驗等效電路示意圖

圖1中,EG2和EP分別為第二柵極和集電極可調等效電源,VG2和VP則分別為第二柵極和集電極所施加的(可測)電位,RG2和RP分別表示F-H管加速區和減速區的等效電阻,R為第二柵極等效電阻,IG和IP分別為加速區和減速區回路電流.根據基爾霍夫電壓定律可得

EG2=VG2+VR,

(1)

-EP=VP-VR,

(2)

其中,

VG2=RG2IG,

(3)

VP=RPIP,

(4)

VR=(IG-IP)R.

(5)

由式(2)、式(4)和式(5)可得

(6)

由式(5)和式(6)可知,當EP增大時,IP減小,VR增大.可以認為,此時絕大多數熱電子已穿過第二柵極進入減速區,或者柵極等效電阻比RG2和RP都小得多.因此,隨EP增大,將可能出現IP為負值的情況.

由式(1)～(6)可知,在任一設定EG2的情形下,當EP增大時,IP減小,VR隨之變化,從而使VG2發生改變.實驗事實也表明:VG2隨EP發生微弱變化.因此,在測量iP(V)-V的能量(電壓)分布過程中,每次改變EP都需要對EG2輸出進行及時修正,以確保VG2恒定.

上述分析表明:IP負值和VP與VG2相關聯.首先,確認(調節)IP測量電路的靜態工作零點.為解決集電極電流微分測量中VP變化對VG2的弱影響,每當改變VP時,同步調節IT6874B直流電源輸出以使VG2恒壓.在VG2<70 V時,恒壓精度優于10 mV,而高電位端恒壓精度則優于16 mV,由此保證實驗測量的準確性.

2 實驗結果與分析

2.1 常規方法的實驗結果

圖2所示為IP-VG2的實驗結果.由圖2可見,IP隨VG2的增加呈現類周期振蕩上揚.不同VP下的IP-VG2曲線清晰地顯示了上述6種普遍實驗現象.表1記錄了不同VP情形下IP峰處的VG2,可以看出:IP峰處對應的VG2隨VP的變化而變化,經計算還可以發現由兩相鄰峰的VG2差值所得的原子激發電位也隨著VG2的增加而逐漸增大(激發電位遞增).

表1 不同VP情形IP峰處的VG2

圖2 不同VP情形下IP-VG2實驗結果

2.2 集電極電流IP微分測量原理

關于F-H實驗的普遍現象,已有文獻進行了廣泛觀測和描述[3-8]. 在確定的VG2條件下,柵極熱電子將具有不同能量,且呈現粒子數的能量分布規律. 若忽略由第二柵極到集電極之間原子對熱電子運動的影響,那么圖2中的IP表示處于第二柵極所有電位V高于VP的熱電子的集體貢獻.在確定的VG2和VP條件下,假設電位為V的熱電子對集電極電流的貢獻為iP(V),那么IP可表示為(等效于并聯電路)

(7)

將式(7)改寫成離散化積分形式

(8)

如果不考慮減速區中原子的影響,那么到達集電極的熱電子與處于第二柵極的熱電子的能量分布規律相同.因而,在確定的VP處,施加微小調制ΔVP,測量對應的IP變化量ΔIP,即實施V=VP時的IP微分測量,且由此得到具有電位VP的熱電子的貢獻iP(VP).一系列不同的VP所構成的iP(VP)-VP關系可以表示到達第二柵極時熱電子電流的電位分布規律iP(V)-V.

當VP=0時,增大VG2直至可以觀測到IP和iP(V),以此為實驗起點.具體步驟為:

1)同步采集VG2,IP,VP和iP(VP);

2)步進增大VP,并重復步驟1),直至VP達到最大值,完成在VG2不變條件下iP(VP)-VP的測量;

3)將VP調回最小值,并重復步驟1);

4)適量增大VG2,按步驟1)～3)重復完成實驗測量,可得到一系列不同VG2條件下的iP(V)-V結果.

圖3顯示了VG2=17.68 V,IP與iP(VP)隨VP的變化關系.在任一確定的VP處,常規方法的集電極電流IP(藍色線上的數據點)為V≥VP條件下所有iP(VP)(紅色線自VP起在高能端的所有iP數據點)的累加結果,由式(7)表示;或者說,是由iP(VP)-V能量分布(紅色線)在V≥VP范圍內與iP(VP)=0基線所圍面積,由式(8)描述.注意:IP與iP(VP)累加或積分結果可能相差(積分)常量.

圖3 IP與iP(VP)隨VP的變化

由圖3可知,對于任一確定的VP,IP為電位V≥VP情形下所有(可能)iP(V)的累加(積分).若對每個確定(恒定)的VG2逐一完成所有V≥VP情形下iP(V)的累加也可得到圖2中IP-VG2的結果.或者,在V≥VP情形下,逐一測量每個確定VP的iP(V)-VG2數據,進而將所有數據在不變的情形下疊加,也可得到圖2中VP條件下IP-VG2的結果.

綜上所述,在VG2確定的情況下,IP來自V≥VP情形下所有(可能)iP(V)的集體貢獻,而每個iP(V)在IP中具有不同占比.圖4顯示了不同VP情況下iP(V)-VG2的實驗結果.曲線均呈現出與IP-VG2相似的類周期振蕩趨勢,還直觀地顯示了不同VP下iP(V)-VG2在IP-VG2中的占比差異,同時不同VP之間的相對占比也隨VG2發生變化.由此可知,當VP確定時,iP(V)-VG2在IP-VG2中的占比隨VG2的變化而變化.值得一提的是,即使在VP=13.51 V的情形下,依然可以清晰地觀測到iP(V)隨VG2的類周期振蕩趨勢.

圖4 不同VP情形下iP(V)隨VG2的變化情況

2.3 集電極微分電流iP電位分布

從陰極發射出來的熱電子,在逸出陰極表面時遵從狄拉克-費米分布,這也正是真空管情形測量金屬電極電子逸出功(函數)的物理依據.F-H管不是真空管,管里充有原子氣體.熱電子自陰極發射出來后,在VG2的加速作用下,伴隨著向集電極方向熱運動的同時,還與管中原子不斷發生碰撞(甚至發生原子激發交換能量).此過程中,在確定的VG2作用下,管中熱電子都必將達到具有能量分布的動態平衡.

圖5顯示了不同VG2情形下,微分電流iP(V)隨VP的分布情況.事實上,在VG2略小于3.50 V時已有少量熱電子到達第二柵極,且當VP=0時可觀測到微弱的IP和iP(V).逐步增大VG2,當VG2≥5.71 V,iP(V)能量峰形分布逐漸清晰.同時,隨著VG2的增大,熱電子可獲得更多(平均)能量,從而使iP(V)峰位向VP高能端移動,且iP(V)峰寬同步增大.假設單位時間從陰極發射出來的熱電子數量基本穩定,那么相應的能量峰高必將下降,能量分布整體向下壓縮.圖5所示實驗結果與上述熱電子能量峰形分布隨VG2變化的分析結果一致.可以得出:iP(V)呈現的峰形能量分布并非VP的δ函數,這增加了準確分析IP-VG2物理過程的難度.文獻[9]也通過實驗觀測了抵達集電極熱電子的能量分布規律.

圖5 不同VG2情形下iP(V)隨VP的分布

2.4 集電極電流隨集電極電位的變化分析

VP也被稱為閾值電位(能量),對于任意VP,只有V≥VP時,熱電子才可被測量.圖5中,當VG2≤7.82 V時,無法觀測到IP起始信號.隨著VP的增大或減小,IP起始信號對應的VG2也相應地上升或下降.圖5實驗結果解釋了普遍現象1):隨VP增大,IP的起始第二柵極電壓VG2升高.

對任一恒定的VG2,在VP處的IP均為V≥VP情形下iP(V)的積分結果.當VP增大時,不同VG2情形下對iP(V)的積分隨之減小,即對應的IP下降.或者說,當VP增大,可到達集電極熱電子的數量減少,IP下降.圖6所示的iP(VP)-VP能量分布結果展示了不同VG2下,IP隨VP的變化情況,直觀地解釋了普遍現象2):隨VP增大,IP-VG2曲線整體下移.

圖6 不同VG2情形下iP(VP)-VP的能量分布

2.5 集電極電流IP峰(谷)隨VP的變化分析

以圖2中VP=4.50 V,分析IP-VG2曲線C峰所處范圍iP(VP)-VP能量分布變化過程為例.圖7顯示了當VG2∈[33.91 V,36.74 V]時,iP(VP)-VP的實驗結果,結果表明:在此范圍內,iP(VP)-VP分布隨VG2增大向VP高電位端移動且峰高逐漸上升.由此可見,由VP=4.50 V直線與iP(VP)-VP曲線在高電位端所圍面積(即IP)隨VG2的增大而增大,從而解釋了圖2中當VG2∈[33.91 V,36.74 V]時,IP隨VG2逐漸上升的現象.

圖7 IP上升側iP(VP)-VP分布隨VG2的變化情況

圖8顯示了當VG2∈[40.98 V,43.81 V]時,iP(VP)-VP的實驗結果.在此范圍內,隨VG2增大,iP(VP)-VP分布峰也向VP高電位端移動,但是峰高明顯下降.盡管在VP低電位端逐漸出現新能量分布峰,但VP=4.50 V直線與iP(VP)-VP曲線在高電位端所圍面積(即IP)隨VG2增大而減小.此過程與圖2中當VG2∈[40.98 V,43.81 V]時,IP隨VG2增大而逐漸減小的過程一致.

圖8 IP下降側iP(VP)-VP分布隨VG2的變化情況

通過iP(VP)-VP實驗事實,圖7和圖8分別說明了VP=4.50 V時,IP-VG2曲線C峰兩側IP變化的內在關聯.結合上述分析,當VG2∈[37.44 V,40.27 V]時,必然存在IP峰值點.

圖9顯示了處于IP峰附近iP(VP)-VP分布隨VG2的變化情況.針對不同VG2,在VP≥4.50 V區域iP(VP)-VP曲線與iP(VP)=0基線所圍成面積為最大值,即為IP峰處電位VG2.

圖9 IP峰附近iP(VP)-VP分布隨VG2的變化情況

若VP增大,所有VG2下IP(VP)-VP曲線所圍面積均變小,從而使IP-VG2曲線整體下移,對應普遍實驗現象2).顯然,不同VG2下的面積(即IP值)變化并非等量.以圖2中曲線C峰為例,當VP增大時,對于VG2較小的情形,其iP(VP)-VP與VP在高電位端所圍面積的減少數量也較多,因此最大面積也將出現在更高VG2的條件下,如圖9所示.同理,圖2中IP-VG2曲線的IP谷也隨VP增大而出現在更高的VG2,上升側和下降側也都同步向高VG2方向移動.上述實驗現象解釋了普遍現象3):隨VP增大,IP-VG2曲線中的IP谷電位或峰電位向VG2高電壓端移動.

2.6 VP高于激發電位情形分析

從圖6、圖8和圖9實驗結果可見:iP(VP)-VP能量分布延伸到高于原子激發電位的VP高能端.到達集電極的熱電子包含2種情形:

1)與管中原子完成能量交換和后續從燈絲發射出來,并在加速區獲得足以“跨越”集電極電位的熱電子;

2)能量滿足卻沒發生交換,而在加速區又繼續獲得能量的熱電子.

顯然,高于激發電位的iP(VP)-VP分布主要來自后者.圖2中IP-VG2曲線所記錄的就是那些經過加速區抵達第二柵極時,還具有“剩余”能量足以“跨越”VP(閾值)的所有熱電子的集體貢獻.上述iP(VP)-VP實驗事實表明:管中熱電子具有能量分布規律且隨VG2變化,并在與管中原子交換能量過程不斷建立新的動態平衡分布.顯然,即使VP高于激發電位,但其與iP(VP)-VP分布高電位端所圍面積仍不為零,且隨VG2變化.由此解釋了普遍現象4):即使VP高于原子激發電位,仍可清晰地觀測到IP-VG2的變化規律,如圖10所示.

圖10 VG2高電位端iP(VP)-VP的分布變化情況

圖10結果表明:隨VG2增大,高于激發電位的iP(VP)-VP占比也逐漸增大,意味著滿足但沒完成能量交換的熱電子數量隨VG2增大而增加(積累效應),因而出現普遍現象5):在VP恒定條件下,IP-VG2曲線隨VG2增大呈現類周期振蕩上揚.

2.7 微分電流iP峰周期與峰位和展寬

圖5顯示了處于VG2低電壓端,隨VG2逐步增大,iP(VP)-VP分布逐漸呈現出完整峰形分布.隨VG2增大,峰處電位(能)往更高能量方向移動,這意味著熱電子獲得越來越多能量.

當繼續增大VG2時,實驗可觀測到如圖11所示的變化情況:當VP處于高電位,原有iP(VP)峰漸漸隱沒,與此同時,在VG2的低能端,新的iP(VP)增峰緩緩呈現且逐步往VP的高能端移動.隨著VG2繼續增大,高能端iP(VP)峰熱電子持續獲得更多能量,直至激發管中原子而失去能量,從而使高能iP(VP)峰逐步消失.在這個過程中,從燈絲發射出來的后續熱電子的能量也在持續補充,對應VG2的低能端新增iP(VP)峰也隨之逐漸清晰.重復圖3所示的初始階段情況,圖12實驗結果驗證了該物理過程.

圖11 VG2增大時前峰緩緩隱沒而后峰漸漸呈現

圖12 VG2增大時iP(VP)-VP分布后峰完整顯現過程

通過圖5、圖11和圖12的實驗結果,從iP(VP)和iP(V)-V能量分布變化規律的角度,分析了圖2中IP-VG2曲線自A峰到B峰區間的物理過程.可以發現:iP(V)峰“形成—增強—激發—減弱—消失(伴隨著新峰出現)”歷程反映了熱電子iP(V)-V能量分布的“生命”周期[1].顯然,當VG2持續增大,iP(V)-V將進入下一個“生命”周期,周而復始.

圖13顯示IP-VG2曲線中B峰到C峰區間iP(VP)-VP能量分布重復著上述周期過程.由圖13可以看出:

圖13 VG2增大時iP(VP)-VP分布(峰)的“生命”周期

1)當VG2=36.74 V,iP(VP)-VP單峰(圖中標記為前峰)完整呈現;

2)當VG2=40.98 V,前峰往VP高能端移動,且峰高下降,而低能端則出現1個新iP(V)-V能量分布(圖中標記為后峰);

3)當VG2=43.10 V,前峰進一步往VP高能端移動,且峰高繼續下降,隨之低能端后峰逐漸形成;

4)當VG2=45.23 V,前峰持續往VP高能端移動,但峰強更弱,而后峰則逐漸增強;

5)當VG2=48.76 V,前峰消失,后峰完整呈現.

在此過程中,隨著VG2逐步增大,持續發生原子激發而失去能量的熱電子數量同步增加,從而前峰逐漸減弱直至消失.與此同時,后續從陰極發射出來(包括管中沒有完成激發)的熱電子,在VG2加速作用下逐漸形成新的iP(VP)-VP能量分布,即圖13中后峰的成長過程.值得一提的是,在VG2=48.76 V處,后峰比在VG2=36.74 V處的前峰具有更高的峰位VP和更大的峰寬.圖14顯示了在VG2實驗范圍內全部出現iP(VP)-VP“完整”峰形的觀測結果.結果表明:隨VG2增大,后一個“生命”周期的峰位VP比前一個周期具有更高電位,且其峰寬也隨之增大.

圖14 熱電子iP(VP)-VP分布峰形隨VG2的變化

由于VG2采用步進而非連續改變,難以準確判斷iP(VP)-VP分布完整單峰的起點電位(能).在圖13中選用VG2為36.74 V和48.76 V處iP(VP)-VP分布峰,圖14則選用VG2為36.03 V和48.06 V處的分布峰,2種情形下對應的iP(VP)-VP分布略有差異,但可從峰寬增大推斷iP(VP)峰必然移向VP高能端.同理,盡管難以獲得VG2為61.47,74.14和88.21 V情形下iP(VP)-VP分布的完整單峰,但通過峰寬可以推斷峰位VP變化.

2.8 激發電位遞增問題

上述實驗結果表明:iP(VP)-VP能量分布只存在單峰和雙峰2種形態.單峰描述沒有發生原子激發情形的熱電子能量分布;雙峰反映伴隨著原子激發(交換能量),后續從陰極發射出來熱電子獲得能量并形成新的動態平衡分布.

顯然,當峰寬增大到一定程度,雙峰之間也將出現部分交疊,從而無法得到清晰完整的單峰分布,如圖14中VG2為74.14 V和88.21 V的情況.從圖14中可見,單峰iP(VP)-VP分布峰位VP和峰寬隨“生命”周期遞進(或稱“進化”)逐步增大,說明熱電子達成單峰iP(VP)-VP分布的總能量(或平均能量)隨“生命”周期遞進而遞增.從能量守恒角度,這意味著管中熱電子需要獲得比前一周期更多的能量,因此必須在比前一周期更高的VG2作用下才能實現新的完整單峰分布.

圖13實驗結果表明:完整單峰僅可能出現在沒有發生原子激發的特殊情形.一旦發生原子激發,IP反映的是雙峰變化的疊加結果.因此,常規方法所測得的IP-VG2曲線中每處VG2的IP既包含發生原子激發過程前峰變化,同時還可能包含后峰貢獻.上述分析可知:原理上相鄰2次純完整單峰iP(VP)-VP能量分布所處的準確VG2差值即為管中原子激發電位.

常規方法則是在確定VP條件下觀測IP-VG2的變化,以圖13中VP=4.50 V情形為例.若以IP峰處為起點,隨著產生原子激發,圖中前峰漸弱,直至由VP≥4.50 V區域iP(VP)-VP面積(積分)所得IP達到最小;隨后,由于區域內后峰漸強,IP也相應增大;直至VP≥4.50 V區域內前峰消失(或面積最小),而后峰面積最大,此時IP到達新峰值.由此可見,在任一VP情形下IP隨VG2變化的實質為iP(VP)-VP能量分布隨VG2變化過程的體現,由IP-VG2曲線相鄰IP峰處的VG2差值可合理表征原子激發電位.

既然iP(VP)-VP分布峰寬隨其“生命”周期遞增,相應的IP(VP)峰位也逐漸移向VP高能端,那么在單峰分布范圍內任一VP處觀測IP-VG2曲線,兩相鄰IP峰對應的VG2差值也必然隨之遞增,如圖15所示.

圖15 相鄰IP峰與iP(VP)單峰分布VG2差值遞增情況

圖15中橫坐標n表示相鄰IP峰或iP(VP)-VP單峰分布情形電位VG2差值的排序,且隨VG2增大方向增加.其中,曲線1為表1中不同VP情形下相鄰IP峰處電位VG2差值的同序平均結果,曲線2為圖14中IP(VP)-VP單峰分布對應的VG2差值,VG2步進約為0.7 V(圖中也考慮了差值的誤差傳遞修正).盡管二者斜率有差異,但趨勢一致,曲線1變化基本反映了曲線2的物理過程.

上述分析表明:IP-VG2曲線重復出現的IP峰反映了熱電子iP(VP)-VP單峰能量分布的“生命”周期.由于iP(VP)-VP分布后峰比前峰具有更高峰電位能和更大能量范圍,這意味著熱電子想要從加速區獲得更多能量將需要更高VG2,這就是IP峰電位VG2差值遞增的內在原因.由此解釋了普遍現象6):原子激發電位隨VG2升高而逐漸增大(激發電位遞增).

綜合上述分析可知,盡管IP-VG2曲線清晰地展示了原子激發實驗現象,但通過相鄰IP峰電位VG2差值對激發電位的分析只是半定量分析.F-H實驗測得的原子激發電位遞增源于熱電子具有能量分布且其展寬隨加速電場增強而增大.值得一提的是,隨著VP增大,在IP值中反映單峰分布占比減弱,而雙峰分布組合占比增加.由此推斷,當VP超出單峰分布范圍或高于原子激發電位時,IP-VG2實驗測量沒有意義.

3 結束語

F-H實驗物理內容豐富,是本科物理教學的重點實驗項目,多種實驗現象也已得到廣泛關注并被分析討論.本文通過在集電極電位VP施加微小調制ΔVP,利用鎖相放大技術實現集電極電流微分iP(VP)測量方法.由一系列不同VG2情形下的iP(VP)-VP分布實驗結果,解釋了常規方法所觀測到的普遍現象.實驗發現:iP(VP)-VP能量分布僅出現單峰和雙峰2種形態,其中單峰描述了發生原子激發前的熱電子能量分布,雙峰反映了伴隨著原子激發(交換能量),在低電位端出現新的動態平衡分布.IP-VG2曲線的類周期振蕩反映了iP(VP)-VP單峰和雙峰交替出現的“生命”周期.根據能量守恒,需要更高加速電位(能)VG2才可形成完整單峰.通過iP(VP)-VP測量分析,有助于透徹理解F-H實驗原理,以及測得激發電位遞增現象的物理本質.

致謝:感謝復旦大學樂永康教授的交流.感謝中國科學技術大學孫臘珍教授的有益討論.