基于CST-GAN的翼型參數化方法

田潔華，孫迪，屈峰，白俊強

西北工業大學 航空學院，西安 710072

隨著飛行器的經濟性、安全性、環保性等各項性能指標要求的提高，氣動優化設計在飛行器設計中占據越來越重要的地位［1-3］。其中，幾何參數化方法的特性對優化設計的尋優區間和計算效率有著深刻的影響［4］。一個好的參數化方法，需保證最優解包含在設計空間中的同時，能夠用盡量少的參數和足夠高的精度來定義幾何外形，以減少設計過程中的計算量。

傳統的參數化方法，如Bezier曲線［5］、B樣條方 法［6］、自 由 變形（FFD）法［7］、解 析 函數 疊 加法［8］、類別形狀函數變換（Class and Shape Transformation， CST）法［9］等，往往需要較多的設計參數才能對翼型進行準確描述，這對依賴高精度CFD仿真的氣動優化技術提出了巨大挑戰。在氣動外形優化中，越高的設計維度和越大的設計變量范圍，會覆蓋更廣的設計探索空間，由此也會產生大量CFD計算問題，加劇“維數災難”現象［10］。

為克服“維數災難”現象，許多學者開展了對設計空間降維方法［11-15］的研究。張威等［16］使用主成分分析（PCA）方法，提取了翼型的主要幾何變形模態，并以此作為設計變量，對RAE2822翼型進行了優化。Wu等［17］采用本征正交分解（POD）方法對CST基函數的系數進行降維處理，結果表明POD參數化方法可以用更少的參數個數，達到與高階CST方法相近的翼型表示效果。此外，非線性降維方法也被應用于緩解“維數災難”，吳則良等［18］提出了一種基于深度自動編碼器（DAE）的神經網絡模型，將該模型用于翼型參數的非線性降維，并與POD和CST方法進行對比，實現了更高的優化效率。

在大尺度設計空間中，可能包含較多奇異外形，使得優化過程對無效設計的探索次數增加，優化效率仍有較大提升空間。針對此問題，部分學者采用深度生成對抗網絡對有效外形設計的分布進行學習，以進一步改善設計空間。Chen等［19］在Info-GAN中 融 入Bezier層 構 造 了Bezier-GAN，研究結果表明該模型能夠減少設計空間中的奇異外形，提升優化效率。Du等［20］利用外形控制能力更好的B樣條曲線，構造了BSpline-GAN，進一步提升了翼型表示能力。盡管如此，這些模型的性能依然受限于Bezier和Bspline參數化方法，需要較多控制點才能對翼型外形進行準確描述。

與Bezier和B-spline參數化方法相比，CST方法對翼型曲線有更加靈活的控制能力，能夠用更少的設計變量較為精確的描述幾何外形［21］，其設計參數還具有明確的物理意義，可以方便地對前緣曲率半徑、后緣角及后緣厚度進行控制［22］。為此，本文充分利用CST方法的優點，在Info-GAN中融入CST層，構造新的翼型表示方法：CST-GAN，以進一步提升翼型表示能力，減少設計空間中的奇異外形，從而提高優化效率，節約計算成本。

1 CST-GAN參數化方法

1.1 CST參數化方法

CST參數化方法最初由Kulfan等［23］提出，通過一個類別函數和一個形狀函數來描述幾何外形，用公式表示為

式中：ζ=y/c；ψ=x/c；c為翼型弦長；x為翼型x軸坐標；y為翼型y軸坐標；ζTE為翼型后緣相對y軸坐標。

類別函數可以表示為

N1和N2定義了所表示的幾何外形的類別。美國國家航空咨詢委員會（NACA）系列圓頭尖尾翼型類別函數取N1=0.5，N2=1.0；對于雙圓弧翼型，取N1=1.0，N2=1.0；Sear-Haack旋成體的類別函數則取N1=0.75，N2=0.75，如圖1所示。

圖1 類別函數定義的外形Fig.1 Geometric shape described by class function

CST方法的形狀函數S(ψ)通常用n階Bernstein多項式的加權和表示：

式中：Bin為Bernstein多項式，i為多項式中的指數，n為多項式的階數；Kin為組合數；wi(i=0，1， … ，n)為權重因子，組成幾何外形的n+1階參數向量w。圖2為形狀函數不同基函數對應的曲線形狀。

圖2 形狀函數的基函數曲線Fig.2 Basis function curves of shape function

在文獻［23］中，Kulfan等提出并證明了形狀函數在前后緣的取值分別與前緣曲率半徑RLE、后緣角β和后緣厚度yTE有關，表示形式為

通過對CST函數進行推導，可得翼型前緣點曲率的精確計算公式為

忽略小量，可得近似公式為

式中：κx=0表示前緣點曲率；w0表示第1個CST參數；w1表示第2個CST參數。

1.2 生成對抗網絡

生成對抗網絡（Generative Adversarial Network， GAN）是GoodFellow等［24］于2020年提出的一種深度生成模型，如圖3所示。生成器G以服從某種先驗分布（如正態分布、均勻分布）的噪聲z作為輸入，生成與真實數據分布相近的樣本G(z)，判別器D則接收生成數據x~=G(z)和真實樣本數據x，并辨別真假，其損失可以表示為

圖3 生成對抗網絡Fig.3 Generative adversarial network

標準生成對抗網絡旨在學習樣本的潛在概率模型并且生成符合該分布的數據，能夠實現高維數據的低維表示。其學到的特征在數據空間中以一種復雜無序的方式編碼，高度耦合，不具備可解釋性［25］。為彌補該缺陷，信息最大化生成對抗網絡（Info-GAN）［26］被提出，如圖4所示。

圖4 信息最大化生成對抗網絡Fig.4 Information maximizing generative adversarial network

Info-GAN的生成器以潛在變量c和不可壓縮噪聲z作為輸入，在判別器末端不僅輸出接收樣本來自真實樣本數據的概率，還輸出對潛在變量的預測c^，通過最大化生成數據x~和潛在變量c之間的互信息I(c；G(c，z))來學習樣本的可解釋性特征，但由于互信息難以計算，故采用最大化其下界的方式來近似代替，互信息下界為

式中：H(c)表示潛在變量的熵值；Q是為了近似P(c|x)引入的輔助分布。對LI的詳細推導可以參考文獻［26］。Info-GAN的總損失函數表示為

這里的Pc是潛在變量的先驗分布，λ是信息損失的權重參數。c的分布一般是固定的，所以H(c)可以作為一個常量處理。

1.3 CST-GAN參數化模型

GAN可以通過生成器G生成一系列離散點表示幾何外形，然而，該離散表示無法保證翼型曲線是光滑的，此外，噪聲變量所描述的幾何特征高度耦合，不具有物理可解釋性，很難為優化算法在設計空間中的探索提供有效反饋。針對這些問題，本文在Info-GAN的生成器中引入CST參數化層，構造了CST-GAN，以保證在學習可解釋性特征的同時，能夠生成光滑的翼型曲線。

通過對有效設計外形的分布進行學習，CST-GAN可以建立已知先驗分布與有效設計外形分布的映射關系，進而對先驗分布采樣，通過生成器獲得服從有效設計分布的翼型，以避免優化過程中出現奇異外形。

CST-GAN使用與Info-GAN相似的網絡結構，并在生成器的末端添加了CST參數化層，如圖5所示。在CST-GAN中，潛在變量c和噪聲變量z作為生成器的輸入，經過反卷積層產生控制翼型上下表面的參數wupper和wlower，最后通過CST層合成翼型外形。

圖5 CST-GAN模型結構Fig.5 Model architecture of CST-GAN

翼型x坐標為

式中：m表示CST曲線上的點數；x位于[0， 1]區間；y坐標按式（1）計算。

考慮到數值穩定性，CST方法中的Bernstein多項式為

式中：Γ表示數學中的gamma函數；exp為指數函數。

除了生成對抗損失和互信息損失，還添加正則項以進一步提高翼型生成效果。

1）翼型交叉損失

為防止生成翼型的上下表面出現交叉，在模型中添加如下正則項：

式中：N是批樣本數量；m是CST曲線上點數；yki，l表示第k個樣本下表面CST曲線上第i個點的y坐標；yki，u表示第k個樣本上表面CST曲線上第i個點的y坐標。

2）前緣點曲率損失

為避免產生尖前緣翼型，添加如下正則項：

式中：w0，u和w0，l分別為控制翼型上下表面曲線的第1個CST參數。

綜上，CST-GAN的總損失函數為

2 算例分析

2.1 模型訓練

本文使用UIUC翼型數據庫作為訓練數據，該數據庫約含有1 600個翼型。采用CST方法對翼型重新擬合，擬合后的翼型上下表面各有128個點，均為外形光滑的有效設計。

表1給出了CST-GAN的網絡層設置。CST參數化層采用7階Bernstein多項式，即生成器生成的翼型共由16個CST參數控制，類別函數取N1=0.5，N2=1.0。潛在變量服從均勻分布Pc=Unif(-1， 1)，噪聲變量服從標準正態分布Pz=N(0， 1)。對 于 式（15）中 的 參 數，取λ=1，λ1=10，λ2=10。采用Adam優化器［27］進行反向傳播以更新梯度，batch size設置為32，訓練步數設置為10 000，初始學習率為0.000 1。

表1 CST-GAN的網絡層設置Table 1 Network layers setup of CST-GAN

圖6為CST-GAN在潛在維度dc=3、噪聲維度dz=8時隨機采樣翼型的幾何外形及曲率分布。其中，k表示曲率。可以看出，由CST-GAN生成的翼型，其外形光滑，曲率連續，具有良好的幾何性能。

圖6 CST-GAN生成翼型外形及曲率分布Fig.6 Geometric shape and curvature distribution ofairfoils synthesized by CST-GAN

圖7給出了翼型外形隨潛在變量c1、c2、c3和噪聲變量z1、z2、z3的變化。當潛在變量均勻變化時，翼型的幾何特征也呈規律性變化，比如在c2=0時，隨著c3的增大，翼型厚度也逐漸增大，c1的改變則會引起翼型彎度的變化，而噪聲變量只引起翼型外形的微小改變。這表明，CST-GAN方法的潛在變量可以描述翼型的主要幾何特征，能夠直觀地反映翼型幾何外形的變化，具有一定的物理可解釋性，而噪聲變量只能控制翼型外形的微小特征。

圖7 翼型外形隨潛在變量和噪聲變量的變化Fig.7 Airfoil shape variation with latent code and noise variable

2.2 超參數影響

為了將CST-GAN應用于翼型優化設計中，進一步研究潛在維度和噪聲維度對CST-GAN參數化的影響，以確定合理的設計變量數量，將主要從模型對數據的學習情況和翼型擬合精度2方面開展研究。

首先，本文采用最大平均差異（MMD）［28］評估生成設計的質量。MMD測量的是兩個分布之間的相似程度，值越小，說明兩個分布越接近，因而可以用來衡量生成數據與訓練數據分布的相似性，評估模型對數據的學習程度。MMD的計算公式為

式 中：k(x，x′)=exp(-‖x-x′‖2/(2σ2))是 高 斯核函數；σ是核長度尺度，一般取為1。

圖8為不同噪聲維度下MMD隨潛在維度的變化，可以看到，隨著潛在維度增加，生成數據的質量也大幅提升，而在達到8個潛在維度后，提升的幅度減小。另一方面，當潛在維度較低時，噪聲維度的增加會提高生成數據的質量；而當潛在維度較高時，噪聲維度增加到一定程度反而會使生成質量下降，這是因為足夠的潛在變量和噪聲變量使得對翼型的表示能力趨于飽和，進一步增加設計維度反而會對模型的訓練提出挑戰，降低生成質量。此外，相比于噪聲維度，潛在維度的增加引起生成質量提升幅度更大，這印證了圖7得出的結論：潛在變量描述翼型的主要幾何特征，而噪聲變量只控制翼型外形的微小變化。

圖8 MMD隨潛在維度的變化Fig.8 MMD variation with latent dimension

根據以上分析，CST-GAN比較合理的潛在維度為8。進一步，在該潛在維度下，研究噪聲維度對生成質量的影響，如圖9所示。可以看到，MMD隨噪聲維度的變化較小，在噪聲維度達到8之后生成數據的質量很難再有提升，因此，MMD評估結果表明，CST-GAN比較合理的潛在維度和噪聲維度為8。

圖9 MMD隨噪聲維度的變化Fig.9 MMD variation with noise dimension

其次，研究了潛在維度和噪聲維度對CSTGAN翼型擬合精度的影響。由于CST-GAN對翼型的擬合無法解析求解，故而采用遺傳算法［29］（GA）通過迭代的方式獲取使翼型坐標均方誤差最小的設計變量。圖10給出了在不同噪聲維度下，潛在維度對翼型擬合精度的影響，這里用均方根誤差（RMSE）衡量擬合精度。可以看到，隨著潛在維度增加，翼型擬合精度逐漸提高，而在達到8個潛在維度后難以繼續提升，這與圖8的結果基本一致。在翼型擬合精度方面，CSTGAN比較合理的潛在維度為8。

圖10 潛在維度對CST-GAN擬合精度的影響Fig.10 Influence of latent dimension on fitting accuracy of CST-GAN

圖11給出了CST-GAN在潛在維度dc=8時翼型擬合精度隨噪聲維度的變化，以及與其他參數化方法的對比，這里采用均方差（MSE）作為擬合精度的衡量指標，注意橫坐標為設計變量總個數。可以看到，CST-GAN的翼型擬合精度隨噪聲維度變化較小，當設計維度大于16時，擬合效果很難再提升。因此，CST-GAN比較合理的潛在維度和噪聲維度都是8，與MMD評估結果一致，這也將在后文研究工作中采用。

此外，當設計變量數量小于18時，CSTGAN的翼型擬合精度明顯高于Bezier和Bspline方法。PCA降階參數化方法在10個維度以上對翼型的擬合誤差最小，這是因為CSTGAN擬合翼型需要通過迭代來獲取近似解，精度有所下降，而PCA方法通過求解最小二乘問題可以獲得更高的擬合精度。然而，這并不妨礙CST-GAN具有更好的翼型表示能力和優化性能，本文后面的研究工作將對此進行證明。

2.3 幾何空間與目標空間分析

通過幾何空間與目標空間分析，進一步研究CST-GAN和其他參數化方法的翼型表示能力。

在本文中，PCA方法采用前10個主成分作為設計變量，取值范圍對應UIUC翼型數據庫的擬合邊界。CST和FFD方法均以NACA0012翼型為基準翼型，采用16個設計變量對其擾動以獲取新翼型。其中，FFD參數的擾動范圍參考文獻［19］，取±0.2，CST參數的擾動范圍取±0.5。CST-GAN則采用8個潛在變量和8個噪聲變量作為設計參數，并按照對應的分布采樣取值。

圖12為不同參數化方法隨機采樣翼型的幾何外形。可以看到，由CST-GAN采樣生成的翼型都是外形光滑的有效設計，而PCA、CST、FFD方法依次出現了更多的奇異外形，表明CSTGAN具有較好的翼型表示能力。

圖12 隨機采樣翼型Fig.12 Airfoils by random sampling

圖13為UIUC數據庫和不同參數化方法隨機采樣1 500個翼型對應的目標空間。氣動力均通過XFOIL［30］計算獲得，圖中（0，0）點表示交叉翼型或者XFOIL計算失敗的翼型。可以看到，CST-GAN隨機采樣翼型的目標空間與UIUC數據庫最接近，說明CST-GAN成功地學習到了樣本數據的分布。CST和FFD方法的目標空間分布與UIUC數據庫相差很大，出現了較多負升力和高阻力的翼型，這是因為它們的幾何空間中含有較多的奇異外形，如圖12所示。PCA方法在樣本數據上對翼型進行了學習，使得其目標空間分布較CST和FFD方法有所改善，但由于PCA方法未能學到樣本數據的真實分布，故與UIUC數據庫仍有較大差別。

圖13 隨機采樣翼型的目標空間Fig.13 Target space for randomly sampled airfoils

幾何空間與目標空間的分析結果均表明，CST-GAN具有較好的翼型表示能力。

2.4 翼型外形優化

在表2描述的翼型優化算例上，對CSTGAN參數化方法進行測試。CST-GAN的設計參數包括8個潛在變量和8個噪聲變量，其中，潛在變量c在［-1，1］內取值，噪聲變量z在［-3，3］內取值。對于其他參數化方法，均沿用前文所述的配置。采用全局尋優性能良好的遺傳算法（GA）作為優化框架，初代種群使用拉丁超立方采 樣（LHS）［31］生 成，種 群 大 小 為36，共 優 化500代。翼型氣動力通過XFOIL計算獲得。

表2 優化算例Table 2 Optimization case description

對于每種參數化方法，各優化10次。圖14為平均優化收斂曲線，表3列出了優化設計的性能參數，表4對比了不同方法的優化耗時，圖15給出了不同方法的10次優化翼型和對應的升阻比。從優化收斂曲線可以看出，CST-GAN的初 代種群就含有較好的翼型設計，且在70代時基本收斂，具有最快的優化收斂速度，PCA次之，而CST和FFD直到300代才趨于平緩。這是因為CST-GAN采樣生成的是外形光滑的有效設計，而PCA、CST和FFD方法依次出現了更多的奇異外形，如圖12所示，使得在優化過程中對無效設計的探索次數增加，導致優化效率降低。同時，表4說明CST-GAN優化耗時最少，有效減少了計算成本。

表3 優化設計的性能參數Table 3 Performance parameters of optimization design

表4 優化耗時Table 4 Time consumption after optimization

圖14 平均優化收斂曲線Fig.14 Mean optimization convergence history

圖15 優化翼型Fig.15 Optimized airfoils

圖15表明CST-GAN優化的翼型外形更加光滑，表3則展示了CST-GAN較好的優化效果，對升阻比優化的平均值和最優值均領先其他方法，證明CST-GAN具有良好的翼型表示能力，可以提供有潛力的翼型設計。此外，CST-GAN多次優化的標準差為8.86，相對較小，說明CSTGAN的優化效果更加穩定。

這些結果充分表明，本文構造的CST-GAN具有良好的翼型表示能力，可以加快優化收斂速度，提高優化效率，節約計算成本。

3 結 論

基于UIUC翼型數據庫，結合CST參數化方法和生成對抗網絡，提出了一種更高效的翼型表示方法：CST-GAN方法。通過超參數影響研究、幾何空間與目標空間分析發現，CST-GAN具有良好的翼型表示能力，最后基于該方法開展了翼型優化設計，得出如下結論：

1）CST-GAN可以生成外形光滑的有效設計，具有良好的幾何性能。其潛在變量描述了翼型的主要幾何特征，能夠直觀地反映出翼型外形的變化，具有一定的物理可解釋性，而噪聲變量只控制翼型外形的微小特征。

2）CST-GAN能夠以較少的設計變量實現較高的翼型擬合精度，并能獲得與樣本集相似的目標空間分布，具有良好的翼型表示能力。

3）與其他幾種參數化方法相比，CST-GAN可以實現更有潛力的翼型設計，獲取更加穩定的優化結果，其良好的翼型表示能力，可以加快優化收斂速度，提升優化效率，節約計算成本。此外，該方法魯棒性強，易于實現，有拓展至三維機翼及整機的參數化建模并進行氣動優化設計的應用潛力。