在數(shù)學(xué)生態(tài)智慧課堂中培育學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)
——利用“鱉臑”探索和鞏固空間中的垂直關(guān)系

李 佳

(北京一零一中學(xué) 100091)

1 問題的提出

數(shù)學(xué)生態(tài)智慧課堂將數(shù)學(xué)課堂視為有生命力的生態(tài)系統(tǒng),師生在這一和諧的生態(tài)系統(tǒng)中獲得生命的成長(zhǎng)和智慧的生成.數(shù)學(xué)生態(tài)智慧課堂吸收了和諧課堂、興趣促學(xué)課堂、啟迪智慧課堂等課堂教學(xué)的優(yōu)點(diǎn),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展需求,凸顯了教育的本質(zhì)屬性,關(guān)注教學(xué)主體的生命成長(zhǎng)、教學(xué)活動(dòng)中的智慧生成、課堂環(huán)境的生態(tài)和諧、課堂教學(xué)的長(zhǎng)期效益;數(shù)學(xué)生態(tài)智慧課堂的價(jià)值目標(biāo)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育[1]．

高中立體幾何的學(xué)習(xí)能夠提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．事實(shí)上,通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力,發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí);形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)[2]．利用何種素材來培育學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),一直都是一個(gè)值得探索的問題．四個(gè)面都是直角三角形的四面體中,存在著多組線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系,能夠很好地幫助學(xué)生理解空間中的垂直關(guān)系,進(jìn)而培育學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．另外,考慮到繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的要求,也為了讓學(xué)生充分了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家在立體幾何方面取得的成就,培養(yǎng)民族自信心和自豪感,筆者以我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“鱉臑”為素材,基于數(shù)學(xué)生態(tài)智慧課堂的理念設(shè)計(jì)了一節(jié)探索和鞏固空間中垂直關(guān)系的課,并進(jìn)行了實(shí)踐和反思．

2 主要教學(xué)過程

課堂伊始,為了啟發(fā)學(xué)生動(dòng)腦思考、調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,筆者向?qū)W生們提出了一個(gè)具有一定開放性的問題．

問題1一個(gè)四面體的四個(gè)面中,可能有幾個(gè)直角三角形?請(qǐng)分別畫出示意圖．

這個(gè)問題的部分答案是容易得到的,絕大多數(shù)學(xué)生都能順利地說出來,可能有一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)直角三角形,并且作出對(duì)應(yīng)的示意圖．然而有意思的是,很多學(xué)生都不能順利地指出來可能有四個(gè)直角三角形．甚至有學(xué)生斷言不可能有四個(gè)直角三角形,給出的理由是:如圖1所示,如果∠PAB,∠PAC,∠BAC都是直角,那么感覺△PBC不太可能是一個(gè)直角三角形．無疑,學(xué)生其實(shí)提出了一個(gè)非常好的問題:能否嚴(yán)格證明圖1中的△PBC一定不是直角三角形?不過,為了不沖淡本節(jié)課的研究主題,筆者將證明留作課外思考題,并提醒學(xué)生可以利用解三角形的有關(guān)知識(shí)去說理．

圖1

隨后,筆者分享我國(guó)《九章算術(shù)》“商功”中的記載:斜解立方,得兩塹堵．斜解塹堵,其一為陽(yáng)馬,一為鱉臑,陽(yáng)馬居二,鱉臑居一,不易之率也．并且利用圖2進(jìn)行了簡(jiǎn)單的解釋和說明,并且提出了如下問題．

圖2

問題2圖2中鱉臑的四個(gè)面是否均為直角三角形?說明理由．

由于上述鱉臑是通過分割正方體得到的,學(xué)生對(duì)正方體中的垂直關(guān)系比較熟悉,因此很多學(xué)生都能正確地得出結(jié)論:鱉臑中的四個(gè)面都是直角三角形,而且利用直線與平面垂直的概念和性質(zhì),能夠給出證明．這當(dāng)然也就達(dá)到了幫助學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)知識(shí)的目的．

隨后,筆者提出了如下問題和任務(wù)．

問題3你能用斜二測(cè)畫法畫出圖2中的鱉臑嗎?要求將鱉臑中的一個(gè)面水平放置．

設(shè)計(jì)這樣的環(huán)節(jié)無疑是為了培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力．有學(xué)者認(rèn)為,作圖是立體幾何學(xué)習(xí)的“第一大事”,畫好了圖形的導(dǎo)學(xué)案,不利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力[3]．實(shí)際上,筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn),把立體幾何圖形換個(gè)角度呈現(xiàn),這一任務(wù)看似簡(jiǎn)單,但對(duì)學(xué)生來說還是有一定難度的．有些學(xué)生在完成這個(gè)任務(wù)時(shí)明顯遇到了困難,這也說明學(xué)生還沒有充分理解構(gòu)成鱉臑的關(guān)鍵．為了幫助學(xué)生突破這一難點(diǎn),筆者提出了如下問題．

問題4已知如圖3中的兩個(gè)四面體都是鱉臑,其中哪些角是直角?試總結(jié)一個(gè)四面體是鱉臑的充要條件．

圖3

因?yàn)樗o的圖形是常見的形式,而且學(xué)生對(duì)斜二測(cè)畫法中哪些角表示的是直角也是熟悉的,所以在指出哪些角是直角方面學(xué)生基本沒有困難．然而,在嘗試總結(jié)四面體是鱉臑的充要條件時(shí),出現(xiàn)了很多有意思的答案．例如,有三條棱兩兩互相垂直,有三個(gè)面兩兩互相垂直,每一個(gè)面都與另外一個(gè)面相互垂直,有三條不共點(diǎn)的棱兩兩相互垂直,有兩條異面的棱分別垂直于一個(gè)平面等．當(dāng)然,這些答案中有些是不正確的．不過,由于有了前面圖1等的鋪墊,為錯(cuò)誤的答案找到反例也并不是一件非常困難的事情．學(xué)生在這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)過程中都能積極主動(dòng)地思考和總結(jié)．在此基礎(chǔ)上,筆者又向?qū)W生提出了如下問題．

問題5為了確定鱉臑的表面積或者體積,最少需要確定鱉臑的幾條棱長(zhǎng)?說明理由．

這個(gè)問題拋出來之后,絕大多數(shù)學(xué)生有些無所適從．經(jīng)過與部分學(xué)生交流,發(fā)現(xiàn)學(xué)生的典型反應(yīng)是,鱉臑中共有6條棱,但是由于直角三角形的限制,棱與棱之間的關(guān)系顯得比較復(fù)雜,因此不知道該從何入手．此時(shí),筆者抓住了學(xué)生所提到的直角三角形的限制,提示學(xué)生能否從這個(gè)角度出發(fā)去思考可以減少哪些棱長(zhǎng)信息．有學(xué)生根據(jù)這個(gè)提示很快指出,根據(jù)勾股定理,每個(gè)直角三角形對(duì)應(yīng)的斜邊長(zhǎng)信息可以減少,因此最少的棱長(zhǎng)數(shù)不會(huì)超過3．那么,最少的棱長(zhǎng)數(shù)是否可能是2呢?針對(duì)這個(gè)問題,筆者提示學(xué)生可從鱉臑的構(gòu)造方式去思考,學(xué)生借助長(zhǎng)方體得到了正確的答案．接下來,筆者給出了一個(gè)挑戰(zhàn)性更大的問題．

問題6能否從鱉臑分割出新的鱉臑?

這個(gè)問題的設(shè)計(jì),一方面是為了引導(dǎo)學(xué)生鞏固利用割補(bǔ)的思想繼續(xù)研究空間中的垂直關(guān)系,另一方面也是測(cè)試學(xué)生是否能利用問題4所探究到的結(jié)果去構(gòu)造鱉臑,以此提升學(xué)生利用已有信息解決復(fù)雜問題的能力,讓學(xué)生感受到發(fā)現(xiàn)的樂趣,感受到發(fā)現(xiàn)的驚喜．鑒于這個(gè)問題的綜合性,筆者要求學(xué)生采用合作的方式解決相關(guān)問題,并且嘗試總結(jié)出所有的分割方法．

基于前面已有知識(shí),不難看出,問題6有多種不用的解答方式．如圖4所示,過點(diǎn)A在平面PAB中作PB的垂線AE,然后連接EC,就可知四面體E-ABC也是一個(gè)鱉臑;或者過點(diǎn)B在平面ABC中作AC的垂線BF,然后連接PF,就可知四面體P-ABF也是一個(gè)鱉臑．

圖4

最后,筆者嘗試讓學(xué)生自行總結(jié)鱉臑中所涉及的垂直關(guān)系．

問題7鱉臑中存在哪些垂直關(guān)系?嘗試用符號(hào)列出其中的垂直關(guān)系,并指出它們之間的關(guān)系．

設(shè)計(jì)該問題的目的,一方面是幫助學(xué)生鞏固怎樣用符號(hào)表示線線、線面、面面垂直關(guān)系,另一方面也是引導(dǎo)學(xué)生得出經(jīng)典的怎樣借助線線垂直研究線面垂直、面面垂直等內(nèi)容．實(shí)踐表明,學(xué)生能夠較好地完成相應(yīng)的任務(wù)．

3 總結(jié)與反思

不難看出,上述教學(xué)過程是以“問題串”的形式展開的．“問題串”是指在一定的學(xué)習(xí)范圍和主題之內(nèi),教師圍繞一定目標(biāo)或某一個(gè)中心問題,按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)而精心設(shè)計(jì)的一組問題[4]．在這一教學(xué)實(shí)踐中,筆者事實(shí)上是圍繞鱉臑這個(gè)四面體的特征設(shè)計(jì)了7個(gè)層層遞進(jìn)的問題,組成了一個(gè)力圖能夠激發(fā)學(xué)生思考、增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣、幫助理解和應(yīng)用知識(shí)、培育直觀想象核心素養(yǎng)的問題串．

還要特別強(qiáng)調(diào)的是,本節(jié)課所采用的鞏固空間中垂直關(guān)系的方式與一般的做法是不同的．傳統(tǒng)上,為了鞏固某個(gè)特定的知識(shí)點(diǎn),一般的做法是找一些與該知識(shí)點(diǎn)有關(guān)的、答案具有封閉性的例習(xí)題,然后按照一定的邏輯進(jìn)行組織和教學(xué)．本節(jié)課所采用的問題實(shí)際上都具有一定的開放性．近些年來,隨著數(shù)學(xué)課程改革和評(píng)價(jià)的深入,結(jié)構(gòu)不良問題(也稱為劣構(gòu)問題)已經(jīng)出現(xiàn)在了高考試題中,這類問題的解決往往需要考生有更高的思維能力和素養(yǎng)．因此,日常的教學(xué)過程中,應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注對(duì)試題條件的挖掘、辨識(shí)和選擇,如果條件有隱藏信息,也要及時(shí)發(fā)現(xiàn)和利用[5]．無疑,在日常的教學(xué)過程中,采用開放性問題進(jìn)行教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良問題中隱藏的信息等．

教學(xué)的進(jìn)程也就是問題串中問題逐步解決的過程,其中采用了數(shù)學(xué)生態(tài)智慧課堂的理念．需要注意的是,在這個(gè)過程中,教師扮演的不是傳統(tǒng)的知識(shí)傳授者角色,而是一個(gè)引導(dǎo)者和指導(dǎo)者．也就是說,教師要不斷地提出學(xué)生能夠理解和解答的問題,引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考或者進(jìn)行合作交流與學(xué)習(xí),并且在必要的時(shí)候進(jìn)行恰到好處的提醒,從而真正有利于學(xué)生能夠自主地經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程,使得知識(shí)真正的“生長(zhǎng)”出來．

當(dāng)然,任何一種新的教學(xué)嘗試都會(huì)存有遺憾和可以改進(jìn)的地方．實(shí)際教學(xué)的實(shí)踐表明,本節(jié)課所設(shè)計(jì)的內(nèi)容還是偏多,導(dǎo)致教學(xué)過程中有些可以進(jìn)一步探究的問題沒有時(shí)間展開．