分數階RLαCβ電路的多變量域綜合方法研究

梁貴書,周安東

(華北電力大學 電氣與電子工程學院,河北 保定 071003)

0 引 言

電氣設備與器件的分數階電路模型構建離不開電路綜合理論。由于自然界中的材料固有的分數階本質[1],電氣設備與器件實際上也具有分數階的特性。在電氣與電子工程領域中,分數階理論已經廣泛應用于單相逆變器的分數階建模[2]、分數階控制[3-4]、分數階混沌系統的研究[5]。分數階電路綜合即利用分數階元件與傳統整數階元件構建電網絡來實現分數階策動點阻抗函數。其綜合方法通常存在兩種方式,一種是通過整數階電路以逼近擬合的方式來實現分數階電路,另一種是直接通過分數階元件構建電路模型來實現。相比之下,后者得到的電路模型更為簡潔,因此可有效降低元件的冗余度,且精確度更高更易于仿真分析。隨著材料科學的發展與制造水平的提升,已經可制造出分數階元件[6],因此可直接使用分數階元件來實現分數階電路。電路實現的關鍵環節就在于選擇合適的電路綜合方法,考慮到無源網絡在仿真過程中的穩定性要優于有源網絡,因此研究探索分數階電網絡的無源綜合理論方法具有重要意義。

由于分數階電路的策動點阻抗函數復雜度較高,國內外目前難以有一個通用的實現方法。文獻[7-8]研究了由整數階二端口RLC阻抗網絡端接分數階電容與分數階電感元件來實現特殊的分數階電路,但該方法對超過兩個分數階電抗元件的情形并不適用。基于雙變量達林頓綜合方法,文獻[9]解決了分數階雙元次阻抗網絡的綜合問題,然而該綜合方法的缺點是必須借助多口變壓器,不利于分數階電網絡的建模與分析。文獻[10]提出了一個三端口電阻網絡端接兩個分數階電抗元件的的最少儲能元件綜合方法,但該方法可適用的范圍太小。

目前,尚未見分數階三種元件電路綜合的相關報道。文章對分數階RLαCβ三種元件電路的綜合問題進行了探索。首先,基于特勒根能量函數的多變量域表達形式,推導出RLαCβ三種元件電路的Foster綜合方法以及Cauer綜合方法,其中,Foster綜合方法是基于部分分式的展開的思想來實現電路,Cauer綜合方法基于連分式的展開的思想來實現電路。進一步,給出了分數階RLαCβ三種元件電路阻抗函數的一般表達形式,最后,以一個具體的實例計算與仿真,驗證了文中電路綜合方法。與以往綜合方法相比較,所提出的綜合方法不必使用多口變壓器來實現電路,計算方法且較為簡單實用,因此更有利于分數階電路系統的建模與分析。

1 分數階電抗元件

分數階電抗元件主要是指分數階電感與分數階電容。分數階電感的時域特性方程為[11]:

(1)

分數階電感的電感值與階次一般表示為(Lα,α),電感值單位為H/s1-α,其中,0≤α≤1。

分數階電容的時域特性方程為[11]:

(2)

分數階電容的電容值與階次一般表示為(Cβ,β),電容值單位為F/s1-β。其中,0≤β≤1。對式(1)與式(2)取拉式變換,得到分數階電感與分數階電容的頻域特性方程為:

U(s)=LαsαI(s)

(3)

(4)

圖1給出了分數階電感與分數階電容的電路符號。其中u(t)表示分數階電感或分數階電容的端電壓,i(t)表示流過分數階電感或分數階電容的電流。且u(t)與i(t)為關聯參考方向。

圖1 分數階電抗元件的電路符號

2 分數階RLαCβ電路多變量域綜合

2.1 RLαCβ電路阻抗函數的多變量域Foster電路實現

包含RLαCβ三種元件的一般支路如圖2所示。基于特勒根定理及其能量函數,得到圖2所示的單端口策動點阻抗函數為:

圖2 分數階RLαCβ的一般支路

(5)

基于變量代換sα=p1,sβ=p2,式(5)變為:

(6)

進一步對式(6)整理得到:

(7)

根據式(6)與式(7)可知Rk=Rk1+Rk2,對于式(7),由于Rk,Lk,Ck均為實常數,令:

(8)

進一步,令:

(9)

將式(8)與式(9)帶入式(7),從而可使得式(7)可簡化整理為:

(10)

顯然,在式(10)中,Z(q)是一個關于變量q的奇函數,其表達式為:

(11)

根據文獻[12]的結論,具有式(11)形式的Z(q)為q域的電抗函數,其可寫為式(12)所示的部分分式展開的形式為:

(12)

Z(q)可實現為梯形電抗網絡,在式(12)中:k∞,k0是q平面上Z(q)在無窮遠與原點處的留數;ki表示q平面Z(q)在虛軸上極點留數之和,k∞,k0,ki均為非負實數。根據式(8)～式(12),得到RLαCβ三種元件電路分數階阻抗函數多變量域的展開式為:

(13)

在式(13)中,k∞,k0,ki為:

(14)

顯然,根據式(13)可知,第一項可以實現為電感串聯電阻的形式,第二項可以實現為電容串聯電阻的形式,剩余的其他項可以實現為電感串聯電阻之后整體并聯電容串聯電阻的形式,之后將每一項所實現的部分依次串聯起來,最終整體阻抗函數所實現的Foster形式的電路如圖3所示。

圖3 RLαCβ阻抗函數的Foster電路

此外,可以完全對偶地推出RLαCβ電路的導納函數多變量域部分分式展開式為:

(15)

2.2 RLαCβ電路阻抗函數多變量域Cauer梯形實現

RLαCβ電路多變量域阻抗函數為Z(p1,p2),假定其在p1→∞處有一極點,則可以得到:

Z(p1,p2)=k∞1(p1+a)+Z2(p1,p2)=k∞1(p1+a)+

(16)

移去Z(p1,p2)在p1→∞處的極點,根據式(16)可知,k∞1(p1+a)可以實現為電感k∞1p1串聯電阻k∞1a的串聯支路形式,且余函數Z2(p1,p2)仍然為RLαCβ電路的阻抗函數,進一步,根據式(13)可知,Z2(p1,p2)在p2=-b-1處,有:

(17)

根據式(17)可知Z2(p1,p2)在p2=-b-1處有一零點,所以Y2(p1,p2)在p2=-b-1處有一極點,根據式(15),得到:

(18)

(19)

(20)

重復進行式(16)～式(20)的極點提取過程,每提取一次p1→∞處的極點便得到一個電感串電阻的串聯支路,每提取一次p2=-b-1處的極點一個電容串電阻的并聯支路,最終阻抗函數Z(p1,p2)的Cauer梯形電路的實現如圖4所示。

圖4 RLαCβ阻抗函數的Cauer電路

需要說明的是,以上推導過程首先假定在p1→∞處為阻抗函數Z(p1,p2)的極點,若在p1→∞時,RLαCβ阻抗函數Z(p1,p2)→0,此時首先對Y(p1,p2)進行極點的移出,其電路實現步驟與式(16)～式(20)的過程是完全相同的。

根據式(16)～式(20),我們可以得到圖4所對應的阻抗函數Z(p1,p2)的連分展開式為:

Z(p1,p2)=k∞1(p1+a)+

(21)

2.3 分數階RLαCβ電路阻抗函數s域一般表達式

根據式(12),Z(q)為q域的電抗函數,所以Z(q)為奇函數,分兩種情況討論并最終得到分數階RLαCβ阻抗函數s域的一般表達形式:

(1)當Z(q)在原點處有零點時,由于q域網絡僅由電感和電容組成,所以,Z(q)可表示為[12]:

(22)

式中ci,di(i=0,1,2,…),k均為正實數,且要求有[12]di

Z(s)=(sα+a)·

(23)

式中A0,…,AM,B0,…,BN>0。

(2)當Z(q)在原點處有極點時,由于q域網絡僅由電感和電容組成,所以,Z(q)可表示為[12]:

(24)

式中c′i,d′i(i=0,1,2,…),k均為正實數,且要求有[12]c′i

(25)

同理可知,A0,…,AM,B0,…,BN>0。

綜上所述,分數階RLαCβ電路的阻抗函數s域表達形式必然為式(23)或式(25)的形式。

3 算例驗證與仿真

如式(24)所示的分數階s域的阻抗函數:

(26)

對式(26)重新整理,得到:

(27)

將式(27)與式(25)對比可知,二者形式一致。因此式(27)一定可以實現為圖3與圖4所示的RLαCβ電路。對式(26)變量代換s0.1=p1,s0.2=p2,進而得到式(26)的多變量域表達形式為:

(28)

(1)Foster電路實現

根據式(13)與式(14)得到式(28)的部分分式展開式為:

(29)

根據式(29),得到其Foster電路如圖5所示。

圖5 阻抗函數的Foster電路

(2)Cauer電路實現

根據式(16)～式(20)的過程,移去式(28)在p1→∞處與p2=-1處的極點,得到式(28)的連分式展開:

(30)

根據式(30),得到其Cauer電路如圖6所示。

圖6 阻抗函數的Cauer電路

為驗證圖5與圖6所得到的分數階電路的正確性,我們進行頻域仿真驗證,將圖7所示的正弦穩態電壓激勵與階躍暫態電壓激勵應用于式(26)的分數階阻抗函數與圖5與圖6的分數階阻抗網絡,進行數學計算與電路仿真兩方面的互相印證,從而得到圖8所示的端口電流響應。其中,數學計算是基于端口阻抗頻域表達式U(s)=Z(s)·I(s),計算穩態與暫態電壓激勵下的電流響應,之后通過快速傅里葉變換得到端口電流時域響應曲線;電路計算是通過借助分數階電抗元件的分數階微積分定義以及L1插值法得到分數階電抗元件的離散化模型,進一步,通過改進節點法編寫程序軟件對得到的分數階電路進行離散仿真。由圖8可知,其電路仿真曲線與數學計算曲線是相吻合的,因此圖5與圖6所得到的分數階電路實現是正確的。

圖7 電壓激勵

圖8 電流響應

與傳統綜合方法相比,文中所提出的分數階電路綜合方法有以下顯著的特點與優勢:

(1)與傳統的雙變量達林頓電路綜合法相比,文中所提出的電路綜合方法大大降低了計算量與計算難度。傳統雙變量達林頓綜合法必須借助雙變量矩陣的譜分解理論來實現電路,計算難度較高,因此不利于計算機的編程分析;

(2)與傳統的基于阻抗換標思想的電路綜合方法相比,文中所提出的綜合方法適用于分數階RLαCβ三種元件電路,因此具有更廣的適用范圍;

(3)在電路結構的實現方面,傳統的分數階電路綜合方法必須使用多口變壓器來實現電路,得到的電路模型復雜度較高,因此不利于對電氣設備的分數階電路模型進行仿真分析。文中所提出的綜合方法克服了這一缺點。

4 結束語

基于特勒根定理與RLαCβ單端口網絡的能量函數,推導出了分數階RLαCβ阻抗函數的部分分式展開形式的Foster電路綜合方法,以及連分式展開形式的Cauer電路綜合方法。通過具體算例的計算與仿真,驗證了所提出的電路綜合方法。文中提出的綜合方法計算方法簡單且實用性更強,更有利于分數階電路系統的建模與分析,同時進一步完善了分數階電路綜合的理論體系。