破解三棱錐外接球問題的“妙招”

王馨

三棱錐的外接球問題主要有求三棱錐的外接球的體積、表面積、半徑.這類問題對同學們的抽象思維和分析推理能力有較高的要求，解題時通常很難確定外接球的球心，所以很多同學不知如何下手.下面筆者介紹兩個破解三棱錐外接球問題的“妙招”.

一、構造正方體或長方體

如果三棱錐的一條側棱垂直于底面，而且底面是直角三角形，那么可將其視為正方體或長方體的一部分，以三棱錐的三條側棱為邊構造正方體或長方體，這樣正方體或長方體的中心就是三棱錐的外接球的球心，這個正方體或長方體的體對角線就是三棱錐的外接球的直徑，求得正方體或長方體的體對角線長，即可求得三棱錐的外接球的半徑.

解答本題，需根據 ΔABC 的特征，明確當 PM⊥ 底面 ABC 時，即球心 O 在三棱錐的高線 PM 上時，三棱錐的高最大，三棱錐的體積取最大值.于是添加輔助線，構造直角三角形 OAM、PAM ，利用勾股定理求得球的半徑.

雖然三棱錐的外接球問題較為復雜，但是我們只要掌握一些技巧，根據三棱錐的特征構造出正方體、長方體、直角三角形，即可根據正方體、長方體、直角三角形的性質，確定球心的位置，并求得球的半徑.這樣便能化難為易，化繁為簡，快速求得問題的答案.

（作者單位：安徽省臨泉第一中學）