提升高中學生數學運算能力的實踐探究

邢燕

摘要：數學運算在高中數學教學與學習中占據重要地位，通過案例探究，分析教與學中的常見問題，梳理學生運算錯誤的主要類型，提出針對性的解決策略以及提升學生運算能力的操作方案，并對策略和方案的實踐進行反思總結，在教學中落實數學運算核心素養的培養.

關鍵詞：數學運算能力；實踐探究

1 高中數學教與學中常見的運算問題

1.1 學生學習各類運算方法時常見的問題

一些學生在數學學習中對運算不夠重視，平時學習和練習中只強化思路訓練，不重視運算訓練，認為算錯只是大意，只要注意就能避免，殊不知運算也是講技巧和方法的，正確的運算方法可以幫助你算得又快又準，錯誤的運算會導致你總是掉坑.一些學生在數學學習中對運算不夠認真，出現看錯數、算錯數、計算不嚴謹等現象，導致最終答案錯誤.這樣的運算錯誤大部分學生是歸為粗心，自認為這題我會，只是不小心算錯而已，下次小心就可以了.但事實上，數學運算是數學學科的核心素養之一，數學的學習就是要培養學生認真細致的做事態度，避免“差之毫厘，謬以千里”.

1.2 教師教學各類運算方法時常見的問題

首先，有些教師在教學過程中比較重視概念、定義等知識點的教學，強調通過概念、定義掌握問題的本質，常忽略了概念、定義的掌握也需要練習來強化.而數學練習中大多需要運算，只有運算正確才能得到正確答案.其次，教師在教學中往往會重視提問的設計，分析解題思路，但會忽略解題過程中的運算方法和運算步驟的總結與歸納.最后，教師在教學中雖然強調了正確的運算過程，但忽略了對學生易錯點的分析，導致學生總是會而不對，不能通過練習獲得成就感，從而對數學產生厭倦心理，對數學學習失去興趣.

2 提升高中學生數學運算能力的策略

2.1 理解概念，夯實運算根基

利用新授課幫助學生理解不同的運算有不同的法則，但又有相通的體系.高中階段常用的數學運算有整式、分式、根式的運算，指對數的運算，復數、向量的運算，集合運算，三角恒等變形，立體幾何體積、表面積、角和距離的運算，排列組合與概率統計的運算，導數與函數、數列的運算，等等.可以說，數學學習離不開運算，但運算前一定要深入理解知識的來龍去脈，熟練掌握概念、定理、公式.教師要引導學生將新學的概念與舊知識進行比較，以加深理解，并鞏固復習.只有正確理解概念，在運算中才能注意到平方會增根、約分會漏解、對數函數要注意定義域等這些細節，才能在運算中保持恒等變換.所謂運算的基本知識和方法，就是明確每種運算所適用的對象和范圍，理解這種運算的數形關系，熟悉其逆用、變式及推廣.在教學中，教師要給出針對性的訓練，以加深學生對概念的理解.例如，“三角函數恒等變換”中“二倍角公式”這一節的新課教學，推導出公式，簡單直接運用后，就需要進行公式的逆用、變形訓練.

例1 求下列各式的值：

（1）sinπ12cosπ12；

（2）tan 22.5°1－tan 222.5°；

（3）cos4π12－sin4π12；

（4）cos 20°·cos 40°·cos 80°.

教師可根據基本概念、基本公式設計一些題目變式，以問題串形式給出，激發學生的思維和興趣，鼓勵他們解決復雜問題提升數學運算能力.這樣可以加深學生對公式的理解記憶，熟悉公式的不同形式，更好地運用二倍角公式解決有關倍角、半角的問題，提高運算的正確率.

2.2 優化方法，明確運算方向

教師在教學中要展示不同的解題方法，讓學生體會不同方法的運算差異.對運算過程中受挫的學生，教師應及時幫助他們發現和糾正錯誤，鼓勵并指導他們反思總結，改進方法，明確運算方向.同時，為學生提供多樣化的訓練，包括不同難度和題型的題目，以幫助學生熟悉各種類型的數學運算，培養他們的運算能力.例如，求解圓錐曲線中的最值問題，不僅需要運算的基本功，還需要選擇合適的方法，才能簡化運算，正確求解.

例2 已知橢圓Γ：x2a2＋y2b2＝1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2.短軸的兩個端點與F1，F2構成面積為2的正方形.（1）求Γ的方程；（2）如圖1所示，過右焦點F2的直線交橢圓Γ于A，B兩點，連接AO并延長，交Γ于點C，求△ABC面積的最大值.

在例2的解題過程中會遇到幾處需要選擇正確策略便于簡化運算的地方.首先，直線方程的選擇.直線方程斜截式的兩種形式——x＝my＋t，y＝kx＋b，選哪個運算更簡單？通過比較會發現，如果已知直線經過的點在x軸上，則用前者運算更簡單；如果已知直線經過的點在y軸上，則用后者更簡單.其次，直線和橢圓聯立方程，代入消元后，直接求解會有根號和分式，用“設而不求，整體代換”思想可簡化運算.再次，在求三角形的面積時，需要用到弦長公式——①|AB|＝1＋k2|x1－x2|，②|AB|＝1＋1k2|y1－y2|（k≠0），選擇哪一個公式使運算更簡單.既要看前面所設的方程，消元后得到的是關于x還是關于y的一元二次方程，也要看后面題目所求的是什么.最后，化簡后的式子怎樣求最值，可以利用函數的性質或基本不等式求最值，也可以利用三角換元、圖形的幾何特征求最值.

不同背景的題目往往幾個方法都可以解決問題，但不同方法解決問題的難度是不同的，有些簡單直接，有些則比較繁瑣，這就需要優化解題策略，選擇合適的運算方法.總之，在教學中要教會學生明確運算方向，選擇合適的方法，促進運算能力的提高.

2.3 養成習慣，熟用運算方法

教學中可利用專項訓練提高學生的運算能力，促使學生熟練掌握運算方法，養成習慣.專項訓練也稱為題組訓練，該訓練不是盲目的，而是有目的、有計劃地進行各個運算專題的訓練.明確的目標可以有效引導學生的學習，不做無用功，少走彎路，使學生在訓練中學會運算的通性通法，達到觸類旁通的效果.這種訓練不能搞題海戰術，需要教師精挑細選有變式、有梯度的同類題.認真研究高考真題，參考各地模擬題，可以直接歸類練習，還可以變換數字、角度進行變式訓練.通過對這類高質量題的反復練習，歸納總結，糾錯反思，有效提高學習效率的同時，也提高了針對這類題的運算能力.學生在這樣的專題訓練中，可以熟練掌握一類題的運算方法，形成“肌肉記憶”，即養成習慣.在復習課中使用這種訓練方法效率高，效果好.例如，在高三一輪復習中，講解“直線與圓相切”這一節時，有關切線長的最值問題，可以給出以下例題和變式.

例3 若P為直線y=x+1上一動點，過點P作圓C：（x-3）2+y2=1的切線PA，A為切點，求切線長的最小值.

變式1 已知P為直線y=x+1上一動點，過點P作圓C：（x-3）2+y2=1的切線PA，PB，A，B為切點，則PA＼5PB的最小值為___________.

變式2 已知P為直線y=kx+1（k>0）上一動點，過點P作圓C：（x-3）2+y2=1的切線PA，PB，A，B為切點，若弦AB長的最小值為2，則k的值為___________.

高考鏈接 （2020年新課標Ⅰ卷＼5理）已知⊙M：x2+y2－2x－2y－2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點.過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB方程為___________.

深度的變式和高考鏈接，使學生熟悉這類題目的題設和所求以及解決這類問題的通性通法，再遇到此類問題時能快速找到最簡單的解題路徑，從而提高學習效率，對學生的數學思維和數學運算能力都能起到綜合提升的效果.

3 反思總結

兩年的實踐探究，我們發現提升數學運算能力對不同的學生而言有很大的差異，個體的主觀能動性對效果影響極大，唯有持之以恒方有成效.教師需要把數學運算的培養貫穿教學的始終，在教學中可以運算作為紐帶建構教學進程，引導學生通過運算發現規律，借助運算解決問題［1］，發展學生的數學思維，促進高中學生運算思想和運算能力的形成.數學運算核心素養的形成，不僅需要教師的指引，更需要學生的積極參與，以形成自己的運算習慣和運算觀.數學運算核心素養的培養是一個循序漸進的過程［2］，需要一線教師長期不懈怠的探索和研究.因此，應把數學運算核心素養的培養滲透到每一節課的教學中，落到實處.

參考文獻：

［1］章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021：19-20.

［2］馬云鵬.關于數學核心素養的幾個問題［J］.課程＼5教材＼5教法，2015（9）：36-39.