基于數學史料，創設主題活動，助力量感發展

畢宏輝

【摘 ? 要】量感是指對事物的可測量屬性以及大小關系的直觀感知。現行教材對質量單位的教學忽視了對“度量的意義”和“統一度量單位必要性”的理解。為此，教師可通過創設“史料閱讀，還原‘質量相等的物物交換’，理解‘度量的意義’”“動手實驗，理解統一質量單位‘權’的必要性”“再次實驗，理解創造多種‘權’的必要性”“對話歷史，選擇‘典型事件’了解統一標準質量單位的過程”等主題活動，將歷史事實重構成可以操作的主題活動，從知識源流理解質量相關知識，實現數學思維與數學文化的融通，促進學生量感的發展。

【關鍵詞】量感；主題活動；數學史；度量標準統一

“量感”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）在小學階段新增的一個核心素養的主要表現。自《課程標準》頒布以來，各級專家和教師紛紛對其進行解讀。筆者也嘗試從數學史的角度去了解質量度量的昨天和今天，幫助學生從歷史的角度理解質量單位的本質和統一度量標準的意義。

一、基于量感的本質，發現質量發展的不足之處

《課程標準》采用“種差加屬概念”的方式定義“量感”，即“量感主要是指對事物的可測量屬性以及大小關系的直觀感知”。其中“對事物的可測量屬性及大小關系”是“種差”，“直觀感知”是“屬概念”。對于一線教師而言，“量”的含義比較容易理解，主要體現為借助數和度量單位對客觀事物的多少、大小、長短、輕重、快慢等進行的數學刻畫，但在教學中“何為直觀感知”“如何直觀感知”“何為直觀感知了”卻難以把握。為了使教師能很好地把握并具體落實這些問題，《課程標準》從“量感”的三方面具體表現提出了要求：“知道度量的意義，能夠理解統一度量單位的必要性；會針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量，會在同一度量方法下進行不同單位的換算；初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計度量的結果。”

度量教學要促進學生建立對“度量單位”的感知。為此，教師可以設計多維的體驗活動，調動學生的多種感官，使學生感悟統一度量單位的必要性。“輕重”一般是人們利用多種感官對物體輕重形成的認知，是一種對質量的直覺和敏感性。在教學“克和千克”時，通常這樣設計教學過程：教師提供1克或1千克的物品，組織學生開展一系列的體驗活動，左手掂一掂，右手掂一掂，坐著掂一掂，站著掂一掂，然后閉上眼睛掂一掂，體會1克或1千克有多重。當學生建立了1克或1千克的質量感知后，教師再創設新的情境，提供不同的素材，讓學生在活動過程中建立幾克、幾十克、幾百克的質量感知。最后，讓學生以熟悉的參照物為標準，去估計身邊其他物體的質量。顯然，這一設計試圖在“能合理得到或估計度量的結果”上有所突破。

然而，質量單位的感知并不像長度或面積單位那么容易建立，幾個質量單位的估測也不像長度或面積那樣可以通過“數”測量單位的個數而直觀獲得。事實上，建立1克或幾克甚至幾十克的感知并不容易。由此可見，建立對質量單位的感知時，應該適當弱化“估計度量的結果”。

分析現行的多個版本教材可以發現，它們在長度單位和面積單位的教學之前，都編排了引導學生體驗“度量的意義”和“統一度量單位必要性”的活動，而在教學質量單位“克和千克”時，教材卻沒有類似的編排，只是出示生活中購物的場景，接著便直奔主題“表示物品有多重，可以用質量單位克或千克”。顯然，是教材的缺位導致了教學的缺失。基于“質量量感”建立的特殊性，引導學生建立概念時缺少指向第一個具體表現的教學，對學生質量的發展無疑是先天不足。

二、厘清歷史脈絡，啟發量感教學新思考

讓學生了解數學史上發生過的典型事件和出現過的典型人物，從歷史的角度理解質量單位的本質和統一度量標準的意義，對深化學生的數學思維，促進其核心素養的發展都有重要意義。［1］

人類對數和量的認識，可以追溯到原始社會。人類從制造最簡單的工具開始，就產生了量的概念，同時也產生了測量活動。《漢書·律歷志》說：“衡權者：衡，平也；權，重也。”“權衡”是中國古代計量質量的器具的稱謂，今天的砝碼和秤砣，古代稱作“權”；天平和秤桿，古代稱作“衡”。

在理解“統一度量單位的意義”時，學生需要了解幾個重要的歷史事實。一是古代勞動人民因為生產或生活的需要，產生了度量的需求；二是春秋戰國時期，各諸侯國為了多收賦稅，積極發展自己的勢力，都建立了自己的度量衡制度和測量工具；三是秦始皇統一中國后，頒發統一度量衡的命令，確立了統一的度量衡標準，制造和頒發了度量衡標準器，秦朝在遼闊的疆域內實現了度量衡的統一。

基于上述分析，筆者思考可以在“克和千克”單元的學習之前，開設一節“權衡與質量”的單元起始課，落實“量感”中的“知道度量的意義，能夠理解統一度量單位的必要性”這一具體內容。

三、創設主題活動，借助歷史助力量感發展

（一）史料閱讀，還原“質量相等的物物交換”，理解“度量的意義”

教學伊始，教師通過創設“穿越到遠古社會，交換物品”的問題情境，引發學生多元的思考，進而引出本課內容：質量相等的交換。接著，引導學生解讀甲骨文和古代測量工具，讓學生聯系玩蹺蹺板的經歷，理解度量質量的意義。

1. 教師出示古代物物交換的圖片，并提問：他們在干什么？如果你現在穿越到原始社會，會用什么去交換原始人懷里的小羊？為什么。

2.閱讀史料，理解古人測量質量相等的方法和工具。

教師用課件出示圖1，引發學生思考：你覺得這個甲骨文表示什么意思？木衡又是用來干什么的？從圖片中，你能推測古人判斷兩種物品質量相等的方法嗎？

師生共同演示“木衡”的使用方法。

（二）動手實驗，理解統一質量單位“權”的必要性

教師通過設計“用幾個物品交換神秘禮物”的實驗活動，引導學生用已知物的“數量”來刻畫物品未知的質量，理解度量的本質，實現從定性刻畫到定量刻畫的飛躍。首先，選擇花生、小球、立方體等常見物品作為實驗物品，既體現了人類最初選擇日常物品作為度量工具的事實，又寓意著不同諸侯國有各自度量衡制度的事實。其次，通過用常見物品測量神秘物品得到不同的數據，感受要選用同樣輕重的物體來作為測量的單位，理解滿足作為“權”的條件。最后，通過比較用花生、小球、立方體等不同物品測量得到的數據，引發神秘禮物輕重判斷的失誤，模擬歷史上不同諸侯國的度量衡不同帶來的不便，感受“測量單位統一”的意義。

1.明確實驗任務：用幾個物品交換神秘禮物？

實驗物品設置：將班級學生分成6個小組，給每組提供一個簡易天平、一個用不同顏色袋子裝的神秘禮物和一些用來交換的物品（其中3組是花生，2組是小球，1組是立方體）。

2.學生第一次動手實驗并反饋。

師：第一組同學，你們用幾顆花生交換神秘禮物？為什么？

生：18顆花生。因為天平一邊放18顆花生，另一邊放神秘禮物，天平剛好平衡。

師：如果規定1顆花生記作1個測量單位，那你們組的神秘禮物是幾個測量單位？

生：18個測量單位。

6個小組依次反饋，并完成測量數據整理，如表1所示。

3.理解滿足“權”的條件，經歷統一“權”的過程。

師：觀察表1中的測量結果，你對各個小組神秘禮物的輕重有怎樣的判斷？為什么？

（因為學生已經有了用“數”刻畫質量的經驗，所以他們根據根據測量結果，作出三種判斷：①第五組和第六組的神秘禮物一樣重，因為他們的神秘禮物都和12個小球一樣重；②前三組的神秘禮物中，第三組的最重，第一組次之，第二組最輕，因為21顆花生＞18顆花生＞16顆花生；③所用的交換物品不同的組不能進行比較，如第四組和第五組。）

師：為什么在比較第四組和第五組的神秘禮物的輕重時，大家有不同的意見呢？

生：因為第四組用來交換的物品是11個立方體，而第五組是12個小球，我們不知道立方體和小球誰輕誰重，所以不好判斷。

師：只有用“統一的測量單位”去測量，才可以通過比較測量數據的大小，判斷出神秘禮物的輕重。剛才用小球或花生來測量而作出的判斷是否正確呢？我們可以用天平稱一稱神秘禮物進行驗證。

（學生將各個小組的神秘禮物放到天平上稱重，發現第五組和第六組的神秘禮物一樣重，與他們的判斷相同；第三組和第二組的神秘禮物也一樣重，與他們的判斷不同。這個測量結果給學生帶來了很大的沖擊。）

師：為什么用小球測量神秘禮物的輕重作出的判斷是正確的，而用花生測量神秘禮物的輕重作出的判斷卻出現了錯誤？

（通過討論，學生發現每個小球的輕重是一樣的，而每顆花生的輕重卻不一樣，從而得出：只有輕重一樣的物品才可以作為測量的單位。）

（三）再次實驗，理解創造多種“權”的必要性

進行第二次實驗時，教師要求學生用統一的測量單位小球來測量不同的物品，讓學生先感受有了統一的測量單位，就可以定量地刻畫并比較物體的質量，理解“度量標準統一”的意義；再發現用一個測量單位無法測量所有物體的質量，因而需要創造更多的“測量單位”，進一步理解“度量標準”的本質。

1.第二次實驗：測量下面物品有多重？

教師出示圖2中的物品，提問：要測量這3種物品分別有多重，你會選擇什么來測量？為什么？

教師讓學生統一用小球測量，并提問：測量過程中，如果遇到困難，你會怎么解決？

2.學生動手實驗。

3.全班交流反饋。

（1）測量得到回形針重16個小球，說明回形針比神秘禮物重4個小球。

（2）討論：為什么礦泉水不能用小球來測量？

師：為什么用小球測不出礦泉水的質量呢？

生：因為礦泉水太重了。我們把所有的小球都放到了天平上，礦泉水還是一動不動。

師：那怎么解決這個問題呢？

生：再多給我們一些小球，就可以測出礦泉水有多重了。

師：給你足夠多的小球，相信你一定可以完成這個任務。想一想還有其他的辦法嗎？

生：還可以換比小球重一點的東西來測量。

師：你的辦法真好，因為現在的測量單位小球太輕了，測量礦泉水的質量不方便，所以可以用“重一些的球”作為新的測量單位來測量重一點的物品。

（3）思考：為什么塑料塊也不能用小球來測量？

討論得出：塑料塊很輕，現在的測量單位小球太重了，需要用“輕一些的球”作為新的測量單位來測量輕一點的物品。

（四）對話歷史，選擇“典型事件”了解統一標準質量單位的過程

教學中，教師要引導學生思考：古代測量工具木衡為什么要搭配6個銅環權？［2］秦始皇為什么要統一度量衡？感受古代勞動人民的智慧。接著，教師充分運用歷史相似性原理，用數學問題與某一個或某一些歷史問題的相關性，幫助學生理解現行的標準質量單位統一的必要性，促進學生的積極思考。

1.教師用課件出示圖3，并提問：你能理解古代楚國的測量工具“木衡”中為什么配有6個“銅環權”嗎？

2.春秋戰國時期，各個諸侯國的測量單位都是不同的……秦始皇統一中國以后，你覺得他看著這些測量單位會做一件什么事？為什么？

3.秦始皇統一中國后采用的5個測量質量的單位分別是銖、兩、斤、鈞、石［3］，你覺得為什么要有5個測量單位？哪些質量單位現在仍在使用？

4.世界各國的測量單位也不相同，比如英美國家是磅、盎司，俄羅斯是普特……對此，你有什么建議？

引導學生理解不同國家采用不同的測量單位不方便交流，所以需要全世界統一測量單位。

5.18世紀末，法國計量協會統一了國際交流的質量單位“千克”。他們規定：4攝氏度時，邊長1分米的正方體容器裝水的質量為1千克［4］。

出示裝滿水的1立方分米容器，請學生掂一掂，感受1千克水的質量。

6.現在全世界統一使用的常用質量單位有哪些？（克、千克、噸）1克有多重？1千克有多重？我們將在下節課去感受。

上述設計彌補了教材缺位的對“度量質量的意義”和“統一質量單位必要性”的討論，使質量“量感”的建立有了“知識源流”。整個設計將“動手測量物體質量”這條數學思維的明線和“中國古代為什么創造度量衡、統一度量衡”這條文化的暗線有機融合在一起，每一個活動背后都有中華優秀傳統數學文化的支持，中國古代發生的歷史事件又在每個活動中呈現，從而實現“數學思維與數學文化的融通”。

參考文獻：

［1］平國強.“量感”及其培養［J］. 教學月刊·小學版（數學），2023（1/2）：27-31.

［2］邱隆，丘光明，顧茂森，等.中國古代度量衡圖集 ［M］.北京：文物出版社，1984.

［3］丘光明.中國古代度量衡［M］.北京：商務印書館，1996.

［4］陳黎春.質量單位的歷史變遷與發展 ［J］. 小學教學（數學版），2018（1）：58-60.

（浙江省杭州市臨平區文正小學）