初中生幾何證明題解題思維能力培養(yǎng)析談

林杰

【摘要】社會主義新時(shí)代要求培養(yǎng)高素質(zhì)的綜合型人才，初中數(shù)學(xué)在發(fā)掘?qū)W生邏輯思維、空間想象思維等方面的能力具有重要作用.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，空間幾何是一項(xiàng)重要的教學(xué)內(nèi)容，空間幾何對于學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)具有實(shí)踐意義.文章以如何培養(yǎng)初中學(xué)生幾何證明題解題思維能力為主線，從當(dāng)今的教育現(xiàn)狀出發(fā)，簡要分析了現(xiàn)如今初中生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)中存在的問題、培養(yǎng)初中生幾何證明題解題思維能力的意義以及對存在的問題和具體意義進(jìn)行分析，提出相應(yīng)的培養(yǎng)策略，以期對今后初中數(shù)學(xué)中空間幾何及相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)提供參考.

【關(guān)鍵詞】幾何證明；數(shù)學(xué)思維能力；解題思維

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何證明是一塊重要的內(nèi)容，空間幾何知識的學(xué)習(xí)能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力等.教師通過對空間幾何的系統(tǒng)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生這些相應(yīng)的能力，對于學(xué)生解決生活實(shí)際問題具有重要意義.

一、現(xiàn)今初中數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)教學(xué)中存在的問題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)中，幾何證明占據(jù)了較大的比重.在初中數(shù)學(xué)中幾何證明這部分知識的解題思維培養(yǎng)教學(xué)雖然已經(jīng)具備了一定的成效和適用性，但是還是比較缺乏活性.比如教師教學(xué)培養(yǎng)方法不夠靈活、教師太注重教材、教師對學(xué)生個(gè)體差異考慮不全面以及教師教授的解題方法較單一等.而這些問題對培養(yǎng)學(xué)生初中數(shù)學(xué)幾何證明題解題思維能力有著較大的阻力，成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的一大反推力.

（一）教學(xué)模式古板，以教師講解為主

由于受到傳統(tǒng)教學(xué)模式根深蒂固的影響，以及教學(xué)壓力過重，即使是在新的教育背景下，要想完成新的教育理念和教育方式的更新也存在較大困難.由于傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響，即使教師在教學(xué)過程中有意識地避開傳統(tǒng)的教學(xué)模式，積極向新的教育理念和教學(xué)模式靠近，但免不了思維還是會受傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響，難以做到真正的創(chuàng)新教學(xué)，總會不自覺單方面地將知識傳授給學(xué)生，學(xué)生就成了知識的接收工具.另外，由于教學(xué)工作量較大，教師需要教授給學(xué)生的知識過于繁雜，這就使學(xué)生很難有充足的時(shí)間去探索新知識、新的解題方式方法，只能一味地接受教師給的現(xiàn)成的知識和解題思維.正是因?yàn)檫@樣的問題存在，從而大大禁錮了學(xué)生思維能力的發(fā)展.而在幾何證明這種需要較強(qiáng)思維邏輯能力才能掌握的數(shù)學(xué)知識中，各種各樣的問題和困難也將陸續(xù)產(chǎn)生.

（二）課堂教學(xué)專注于課本，與生活脫軌

當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)理念注重與生活相聯(lián)系，讓學(xué)生學(xué)習(xí)生活中的數(shù)學(xué).而一些教師在教授過程中往往“照本宣科”，一味地按照課本上的解題方式給學(xué)生講解，完全沒有創(chuàng)新和結(jié)合生活.就幾何證明而言，有很多的幾何證明題往往來自生活實(shí)際，要想讓學(xué)生更好地掌握幾何證明題的解題思維，單單課本上那點(diǎn)東西是完全不夠的.

（三）沒有充分考慮學(xué)生個(gè)體差異性

世界上沒有完全相同的樹葉，人也一樣.每個(gè)學(xué)生都屬于完全獨(dú)立的個(gè)體，對于相同的問題，可能會有多種多樣的思考方式和結(jié)果.因此，在針對同一個(gè)幾何證明問題時(shí)，不同學(xué)生的思考方式也會存在差異，有的學(xué)生可能邏輯思維能力強(qiáng)，而有的學(xué)生邏輯思維能力弱.幾何證明題檢驗(yàn)學(xué)生的思維能力往往是多方面的，需要學(xué)生具備多方面的數(shù)學(xué)思維能力，因此，教師對于學(xué)生幾何證明題解題思維能力的培養(yǎng)要從不同的方面入手.而很多教師在對學(xué)生幾何證明題解題思維能力培養(yǎng)的過程中往往會忽略學(xué)生個(gè)體間的差異，采用所謂的“一律平等”的方式進(jìn)行培養(yǎng)，導(dǎo)致培養(yǎng)效果差.

（四）解題方法缺乏多樣化

幾何證明題考查了學(xué)生靈活運(yùn)用多種思維的能力.不同的學(xué)生，各有所長，有的學(xué)生可能綜合思維能力強(qiáng)，有的學(xué)生邏輯思維能力較強(qiáng)，有的學(xué)生反證能力較強(qiáng).而大多數(shù)幾何證明題的證明方法不止一種，學(xué)生可以從多個(gè)方面著手證明，所以學(xué)生就可以根據(jù)自己的長處，結(jié)合自己擅長的方式，找準(zhǔn)證明方向.而在實(shí)際初中數(shù)學(xué)幾何證明題的教學(xué)中，教師的解題教學(xué)方法較為單一，從而在一定程度上限制了學(xué)生幾何證明題思維的發(fā)散.

二、幾何證明題解題思維能力培養(yǎng)的意義

（一）提高學(xué)生邏輯推理能力

在解答幾何證明題的過程中，解題步驟往往需要根據(jù)一定的理論依據(jù)和條件說明進(jìn)行逐步推理，這對學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力有著很大的考驗(yàn).教師帶領(lǐng)學(xué)生掌握基本的理論關(guān)鍵后，再通過實(shí)際例題，進(jìn)行反復(fù)練習(xí)，逐漸找準(zhǔn)幾何證明題的解題步驟和思路，并對學(xué)生的邏輯推理能力進(jìn)行反復(fù)的鍛煉，對進(jìn)一步提高學(xué)生邏輯推理能力有著積極意義

（二）加強(qiáng)學(xué)生對幾何語言的理解

幾何題往往由文字、符號和圖形組成，而這些組成部分被稱為幾何語言.在對學(xué)生幾何證明題解題思維能力培養(yǎng)的過程中會涉及對幾何題中文字、符號、圖形的理解.教師通過讓學(xué)生反復(fù)理解幾何語言，以此強(qiáng)化學(xué)生對整個(gè)幾何證明題的理解以及解題思維框架的構(gòu)建.因此，教師通過對學(xué)生幾何證明題解題思維能力的培養(yǎng)，不僅能夠讓學(xué)生對幾何語言進(jìn)行深入的理解，而且對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)有著一定的幫助.

（三）提高學(xué)生的空間思維能力

幾何是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科，是數(shù)學(xué)這個(gè)大學(xué)科體系的重要分支.幾何指對空間結(jié)構(gòu)的研究，也就說明了其對人類空間思維能力的培養(yǎng)有著很大的幫助.而幾何證明題就是幾何這門學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生空間思維能力的方法和途徑的載體.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師借助這一載體，是提高學(xué)生空間思維能力的重要途徑.

三、初中生幾何證明題解題思維能力培養(yǎng)的策略

（一）創(chuàng)新教學(xué)方式，注重學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)

傳統(tǒng)的教學(xué)方式是教師教、學(xué)生聽，師生互動交流少，導(dǎo)致教師無法掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，也無法了解學(xué)生對知識的理解程度，這對學(xué)生能力的培養(yǎng)有著很大的局限性.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，空間幾何這部分內(nèi)容很抽象，學(xué)生需要用上抽象思維、邏輯推理等能力.傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)方式很難調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，也無法引起學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣，這對教學(xué)來說是很不利的.因此，教師應(yīng)創(chuàng)新教學(xué)方式，以學(xué)生喜聞樂見的方式進(jìn)行教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，以達(dá)到事半功倍的效果.如，在教學(xué)“三角形”這一部分內(nèi)容時(shí)，教師可以讓學(xué)生舉一些生活中常見的三角形事物或在生活中利用三角形原理的事物進(jìn)行導(dǎo)入，提高學(xué)生的課堂參與感、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，讓學(xué)生理解三角形的形態(tài)或三角形具有穩(wěn)定性這一特征.再如，在教學(xué)“三角形全等的判定方法”的過程中，學(xué)生對于“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“邊邊邊”“直角邊斜邊”這五個(gè)定理的理解和記憶很容易出現(xiàn)偏差，因此教師在教學(xué)過程中，應(yīng)充分考慮學(xué)生能力的發(fā)展特點(diǎn)，將每一個(gè)定理設(shè)置成一個(gè)個(gè)活動，如先預(yù)設(shè)一個(gè)情境，讓學(xué)生按步驟完成情境內(nèi)容，看學(xué)生是否能得到預(yù)定定理，如果不能得到預(yù)定定理，分析原因是什么，再讓學(xué)生實(shí)際參與活動的例證中，根據(jù)自己實(shí)踐證明的結(jié)果，推斷能夠達(dá)到預(yù)定定理的條件，或是不能達(dá)到預(yù)定定理的原因.根據(jù)這一活動內(nèi)容，可以培養(yǎng)學(xué)生的推斷假設(shè)能力，提高學(xué)生的課堂參與感、成就感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在玩中學(xué)，從而提高學(xué)生對知識掌握的程度，在幾何解題應(yīng)用某一定理時(shí)才不會找錯(cuò)三角形全等的條件.

（二）數(shù)學(xué)問題生活化

陶行知先生說：“生活即教育，教育即生活.”由此可見，生活與教育息息相關(guān)，我們不能脫離生活而簡單地搞教育，要培養(yǎng)實(shí)踐型人才，將數(shù)學(xué)問題與生活中的實(shí)際問題相結(jié)合就是很好的方法，檢驗(yàn)學(xué)生是否具有數(shù)學(xué)思維的方法之一就是學(xué)生能否學(xué)以致用.生活處處皆數(shù)學(xué)，我們在生活中經(jīng)常能用到數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)也源于生活，因此數(shù)學(xué)也可以解決實(shí)際生活問題.如我們的家里面會有一些簡單的置物架，置物板的下方往往有一條斜的小木棒連接木板外緣與墻體，一塊兒木板要如何才能垂直于墻面且平衡在墻上呢？小木條的存在就與墻體和置物板形成一個(gè)三角形，這就是利用了三角形具有穩(wěn)定性的原理.如果是單純地講解三角形具有穩(wěn)定性，學(xué)生或許也能記住，但是將數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活問題相結(jié)合，將數(shù)學(xué)問題生活化無疑效率更高.

（三）日常教學(xué)中的能力培養(yǎng)

1.抽象、具象能力

在空間幾何中，經(jīng)常出現(xiàn)點(diǎn)、線、面根據(jù)不同條件在空間中的變換，這就需要學(xué)生發(fā)揮自己的想象，根據(jù)不同的條件在腦海中構(gòu)建不同的立體圖形，并尋找他們變換的關(guān)聯(lián)，再將這種變換引發(fā)的結(jié)果應(yīng)用到具體的解題中.空間幾何對學(xué)生的抽象思維能力要求很高，對于初中生而言，他們的空間想象能力有限，其應(yīng)用也是較為缺乏的，因此在教學(xué)過程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間想象，利用具體形象去開發(fā)他們的空間思維，培養(yǎng)學(xué)生抽象能力.教師可以在日常授課時(shí)有意無意的就一些簡單的想象題對學(xué)生空間想象能力進(jìn)行培養(yǎng)，并引導(dǎo)其進(jìn)一步應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)幾何證明的解題中.

在空間幾何證明題中，最考驗(yàn)學(xué)生思維想象能力的是立體圖形和動點(diǎn)問題.初中生認(rèn)知有限，對于初中生而言，簡單的一維和二維都可以理解，但是涉及空間的變換就有難度了.如圖1，已知立方體ABCD-EFDH，求證△ABF≌△HGC.剛剛學(xué)習(xí)幾何的學(xué)生，很難看懂后面隱藏的虛線，也很難理解其意義，教師在教學(xué)過程中需要用通俗的語言告訴學(xué)生：“其實(shí)它后面的并不是虛線，只是我們從一個(gè)方位無法看見圖形的全貌，因此采用虛線表示看不見的線段.”并需要借助教具向?qū)W生展示，幫助其建立立體的概念，培養(yǎng)學(xué)生空間思維，然后才能教學(xué)生對應(yīng)地理解圖形并進(jìn)行解題.解題思路如下：

（1）要將ABCD分別與EFGH進(jìn)行對應(yīng)，明確立方體的對應(yīng)邊相等；

（2）找到正面△ABF與背面的△HGC；

（3）將三角形中的邊進(jìn)行一一對應(yīng)，AB=GH，BF=GC，AF=HC；

（4）利用“邊邊邊”定理證明△ABF≌△HGC.

2.信息提取、推理能力

空間幾何證明題還有一個(gè)特點(diǎn)，在題目中將一些解題信息用其他語言表達(dá)出來，而這就需要學(xué)生有信息提取能力，將這一類轉(zhuǎn)換表達(dá)的敘述用通俗的表達(dá)呈現(xiàn)出來.另一類題是需要學(xué)生理解并記住一些圖形的特點(diǎn)，并在已知條件中提煉出來再用.這就要求教師在日常教學(xué)中，注重學(xué)生信息提取能力的培養(yǎng).比如，同一定理的不同說法，要給學(xué)生都講解提點(diǎn)一下，并分析在不同的情況下的具體表述方法，尤其是剛開始學(xué)習(xí)空間幾何的學(xué)生或理解能力有待提高的學(xué)生，可以進(jìn)行單獨(dú)訓(xùn)練.如圖2，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AE=CF，求證∠E=∠F.本題解題關(guān)鍵一是需要學(xué)生記得平行四邊形的相關(guān)知識，如平行四邊形對角相等、對邊相等；二是需要學(xué)生學(xué)會觀察，巧妙聯(lián)系各已知條件，添加輔助線構(gòu)建三角形.解題思路如下：

（1）連接AC（構(gòu)建三角形）；

（2）在△ABC和△CDA中（找到有聯(lián)系的兩個(gè)三角形）；

∵AB=CD，BC=DA，AC=CA（尋找兩個(gè)三角形全等的條件），

∴△ABC≌△CDA（SSS），

∴∠B=∠D（再次提取有用條件）.

∵AB=CD，AE=CF，

∴BE=DF.

（3）在△BCE和△DAF中（找到有聯(lián)系的兩個(gè)三角形）.

∵BE=DF，

∠B=∠D，

BC=DA，

∴△BCE≌△DAF（SAS），

∴∠E=∠F.

在空間幾何的已知條件中還含有一些隱藏條件，學(xué)生需要主動推理出隱藏的條件，很多時(shí)候，這些隱藏條件就是解題的關(guān)鍵，這就需要培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，讓學(xué)生在獨(dú)立情況下也能用這一能力進(jìn)行獨(dú)立思考，尋求解題思路.對于這一類題型，教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建有利條件，切記告訴學(xué)生不能嫌麻煩，有些題看似構(gòu)建的輔助線沒用，實(shí)則是要進(jìn)一步推理才能得出一些實(shí)際條件.

（四）解題方法多樣化

空間幾何的證明一般都有好幾個(gè)切入點(diǎn)，也就是一個(gè)題有多條解題思路，只是有簡有繁.首先，教師在平時(shí)上課講授的過程中，應(yīng)盡量為學(xué)生多講解幾條解題思路，學(xué)生根據(jù)思維的個(gè)性差異選擇合適自己的解題思路.其次，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生主動探索自己的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生探索的能力，不讓學(xué)生局限于教師所限定的方法中.最后，對于有主動意識的學(xué)生，他們的思維比較活躍，他們會在課堂上提出一些新思路.“三人行，必有我?guī)熝?”教師要敢于肯定學(xué)生的正確解題思路，并給予贊揚(yáng)，對于提出錯(cuò)誤思路的學(xué)生也要給予鼓勵(lì).空間幾何的解題思路比較多，教師在教學(xué)過程中要注意解題方法多樣性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維.

1.作輔助線法

在空間幾何的解題過程中，最常用的就是作輔助線法.通過在已知的圖形中作相應(yīng)的輔助線，可以讓已知條件更加清晰明了，或讓一些隱藏的條件在輔助線的作用下更直接地體現(xiàn)出來.如圖3，已知∠1=∠2，AB>AC，求證BD>DC.

在本題中，可以作輔助線，如圖4，在AB上取一點(diǎn)M，連接DM，使得AM=AC，

在△ADC和△ADM中，

∵AM=AC，∠1=∠2，AD=AD，

∴△ADC≌△ADM，

∴∠3=∠4，CD=MD.

∵∠BMD>∠3=∠4>∠B，

∴∠BMD>∠B，

∴BD>DM，

∴BD>DC.

在上面的題目中，其實(shí)并不能直接比較BD和DC的長短，通過作輔助線構(gòu)建兩個(gè)全等的三角形，在條件轉(zhuǎn)換后即可比較BD和DC的長短.

2.分析綜合法

這種方法在整個(gè)幾何證明題解題中比較常見，也比較容易掌握.該方法即通過正向思維邏輯關(guān)系，對已知條件進(jìn)行深入分析，再通過進(jìn)一步層層推理，最終得出想要的結(jié)果.另外，還可以通過逆向思維邏輯方式，從已有的結(jié)果出發(fā)進(jìn)行反向推理，當(dāng)最終推理得出的結(jié)果與已有的條件、定義以及結(jié)論相反或相違背，則證明結(jié)果正確.

3.反證法

這種方法也屬于逆向思維的靈活運(yùn)用.在解題過程中，即通過先將假設(shè)題目中給出的結(jié)論不成立，然后根據(jù)假設(shè)進(jìn)行層層推理，如果最終推理出的結(jié)果與已知的定義、條件等相違背，則證明結(jié)論是正確的.

4.面積法

這種方法相對另外幾種方法而言較為少用，一般針對一些特殊的問題才會用到.該方法即將幾何證明題中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形的面積關(guān)系，從而達(dá)到最終的證明目的.

結(jié) 語

幾何對于培養(yǎng)學(xué)生空間想象思維、邏輯思維等能力具有重要意義，但初中生學(xué)習(xí)幾何還是有點(diǎn)難度的，因此，幾何知識在初中數(shù)學(xué)中占據(jù)了很大的比重，是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，所以教師在幾何知識的教學(xué)中，應(yīng)以多樣化的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生解題思維，提升學(xué)生解答幾何證明題的水平，為學(xué)生的終身發(fā)展打下基礎(chǔ).

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