面向狀態(tài)空間的永磁同步電動機控制器設(shè)計

田里思， 李佳偉， 劉立偉， 朱 碩， 宋建雄

（中國礦業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

0 引言

永磁同步電動機（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）是一個多變量、變參數(shù)、強耦合和非線性的復(fù)雜對象。傳統(tǒng)的PMSM 矢量控制采用轉(zhuǎn)速和電流PI控制器結(jié)合，其設(shè)計通常采用先內(nèi)環(huán)后外環(huán)的方式，較為繁瑣，且由于傳統(tǒng)的矢量控制中存在級聯(lián)結(jié)構(gòu)，控制系統(tǒng)的動態(tài)性能和抗擾性能有所下降［1］。

狀態(tài)反饋控制只設(shè)計一個控制器，消除了傳統(tǒng)PI控制器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，提高了控制系統(tǒng)的抗擾性能［2］。線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator，LQR）優(yōu)化法為狀態(tài)反饋控制器（State Feedback Controller，SFC）的一種設(shè)計方法，其廣泛應(yīng)用于PMSM的SFC設(shè)計中，但在利用LQR 設(shè)計SFC 之前，需要對控制對象進(jìn)行線性化處理。文獻(xiàn)［3］中在PMSM額定工作點進(jìn)行局部線性化，該方法計算簡單，但當(dāng)電動機運行在其他工作點時存在一定的誤差。文獻(xiàn)［4-6］中采用前饋補償?shù)姆椒▽MSM模型進(jìn)行解耦，從而得到其線性化模型［7-8］，但對于內(nèi)嵌式PMSM 來說，這種方法無法消除磁阻轉(zhuǎn)矩這一非線性項，即使采用id=0 控制方式也不能消除暫態(tài)過程中內(nèi)嵌式PMSM 的非線性［9-10］。文獻(xiàn)［11］中采用反饋線性化方法對內(nèi)嵌式PMSM進(jìn)行了線性化處理，該方法通過狀態(tài)反饋和坐標(biāo)變換，代數(shù)地將非線性系統(tǒng)部分或全部轉(zhuǎn)換為線性系統(tǒng)。

傳統(tǒng)LQR中的加權(quán)矩陣采用試錯法確定，但該方法計算量大，難以使控制系統(tǒng)優(yōu)化效果最佳［12-13］。越來越多學(xué)者考慮將智能算法與LQR結(jié)合，以優(yōu)化SFC的設(shè)計。文獻(xiàn)［6］中利用SFC 對PMSM 進(jìn)行速度控制，同時借助人工蜂群（Artificial Bee Colony，ABC）算法在線調(diào)整其系數(shù)，從而使得控制性能不受電動機參數(shù)變化影響，實時保證系統(tǒng)具有最佳的動態(tài)響應(yīng)。文獻(xiàn)［7-8］中分別針對無軸承PMSM和永磁同步輪轂電動機提出了一種由灰狼優(yōu)化（Grey Wolf Optimization，GWO）算法調(diào)優(yōu)的SFC，該控制器具有良好的跟蹤和抗干擾能力。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文利用輸入輸出反饋線性化將PMSM 非線性數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為線性狀態(tài)空間模型，設(shè)計基于LQR 的SFC；同時采用GWO 算法對LQR中的加權(quán)矩陣Q和R進(jìn)行優(yōu)化，并進(jìn)行Simulink仿真和實驗驗證。

1 基于反饋線性化的PMSM狀態(tài)反饋控制

dq坐標(biāo)系下內(nèi)嵌式PMSM的動態(tài)數(shù)學(xué)模型為：

式中：id和iq分別為三相定子電流在dq軸的分量；ud和uq分別為dq軸電壓；ωm為電動機的機械角速度；Rs為定子電阻；Ld和Lq分別為dq軸電感；p為電動機極對數(shù)；ψf為電動機轉(zhuǎn)子磁鏈；J為電動機轉(zhuǎn)動慣量；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

本文選擇id和ωm作為PMSM 控制系統(tǒng)的輸出，將式（1）的內(nèi)嵌式PMSM 動態(tài)數(shù)學(xué)模型變換成如下形式：

式中：

根據(jù)輸入輸出反饋線性化原理，選擇坐標(biāo)變換如下：

式中：z=［z1z2z3］T為新的狀態(tài)變量；Lfh2（x）=為h2（x）對f（x）的李導(dǎo)數(shù)。則在新坐標(biāo)系下系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

式中：

由此，便可以針對該線性狀態(tài)空間模型設(shè)計SFC，即v= -Kz（K為反饋增益矩陣），此時反饋控制律為：

內(nèi)嵌式PMSM輸入輸出反饋線性化框圖如圖1 所示。

圖1 內(nèi)嵌式PMSM輸入輸出反饋線性化框圖

由于SFC只包含比例調(diào)節(jié)算法，為了保證控制系統(tǒng)在各種負(fù)載條件下跟隨給定時的穩(wěn)態(tài)誤差為零，還需引入積分調(diào)節(jié)算法［14］，本文針對輸出ωm和id分別引入相應(yīng)的積分調(diào)節(jié)算法，以保證在各種負(fù)載條件下電動機轉(zhuǎn)速跟隨給定轉(zhuǎn)速時無穩(wěn)態(tài)誤差，同時保證控制系統(tǒng)具有良好的id=0 控制效果。

引入積分調(diào)節(jié)算法的方法是針對ωm和id引入誤差的積分量，并將其添加到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型中，本文引入了2 個積分量為：

將式（7）的2 個積分量添加到式（5）的狀態(tài)空間模型需要進(jìn)行坐標(biāo)變換，由式（3）的坐標(biāo)變換式可得到2 個新的狀態(tài)變量為：

將以上2 個新的狀態(tài)變量添加到式（5）的狀態(tài)空間模型得到擴展?fàn)顟B(tài)空間模型為：

式中：

本文借助最優(yōu)控制理論中的LQR算法，通過選取加權(quán)矩陣Q和R來確定K，從而使得以下目標(biāo)函數(shù)最小［15］，即

式中：M為目標(biāo)函數(shù)值，x為系統(tǒng)狀態(tài)變量，u為系統(tǒng)輸入，Q和R為加權(quán)矩陣。

2 基于GWO算法的SFC設(shè)計

LQR的加權(quán)矩陣Q和R決定了控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，傳統(tǒng)的LQR采用試錯法選擇加權(quán)矩陣Q和R。為使控制系統(tǒng)性能達(dá)到最優(yōu)，本文采用GWO 算法對加權(quán)矩陣Q和R進(jìn)行優(yōu)化。

2.1 GWO算法原理

GWO算法是一種新型的群體智能優(yōu)化算法，它基于灰狼捕食獵物行為模擬了灰狼群體協(xié)作捕食獵物的行為，其中包括3 個主要過程：跟蹤獵物、包圍獵物、攻擊獵物。如圖2 所示，狼群中存在著嚴(yán)格的等級制度，它們的等級由自身的適應(yīng)度函數(shù)值確定。每個等級的狼各司其職，在每次迭代過程中，狼群會依據(jù)適應(yīng)度函數(shù)值選出α、β和δ狼，底層狼θ則依據(jù)α、β和δ狼的位置更新自身的位置［16］。

圖2 灰狼社會等級制度示意圖

跟蹤獵物的任務(wù)主要由α、β和δ狼完成，包圍獵物的任務(wù)主要由θ狼完成，可以用以下的表達(dá)式表示灰狼包圍獵物的過程：

式中：D為灰狼與獵物的距離向量；Xp（t）為獵物當(dāng)前的位置向量；X（t）為灰狼當(dāng)前的位置向量；X（t+1）為更新后灰狼的位置向量。系數(shù)向量G和H分別為：

式中：g為收斂因子，其模值隨迭代次數(shù)從2 線性遞減到0；r1和r2為模為0 到1 之間的隨機向量。

將α、β和δ狼的位置作為獵物的位置，這樣得到實際的灰狼包圍獵物的表達(dá)式如下：

式中：Dα、Dβ和Dδ分別為底層狼θ與α、β和δ狼的距離向量；Xα、Xβ和Xδ分別為α、β和δ狼當(dāng)前的位置向量；X為底層狼θ當(dāng)前的位置向量

式中，X1、X2和X3分別為α、β和δ狼給出的移動命令，則

式中，X（t+1）為更新后灰狼的位置向量。

灰狼包圍獵物的示意圖如圖3 所示。

圖3 灰狼包圍獵物示意圖

圖中：Dα、Dβ和Dδ分別為θ狼與α、β和δ狼的距離；g1、g2和g3對應(yīng)系數(shù)向量G；h1、h2和h3對應(yīng)系數(shù)向量H。保證算法在迭代過程中的隨機性，即使得θ狼具備全局搜索能力。

系數(shù)向量G可以描述灰狼攻擊獵物的過程，當(dāng)＞1 時，在算法迭代初期有利于尋找全局最優(yōu)解；當(dāng)＜1 時，在算法迭代后期有利于算法的收斂。

2.2 基于GWO算法的SFC設(shè)計

適應(yīng)度函數(shù)的選擇對算法的尋優(yōu)過程具有重要影響，其選擇應(yīng)與控制目標(biāo)相一致。本文的主要控制目標(biāo)是使電動機轉(zhuǎn)速在各種負(fù)載條件下都能跟隨給定值，次要目標(biāo)是使控制系統(tǒng)具有良好的id=0 控制效果。基于以上的控制目標(biāo)，本文選擇適應(yīng)度函數(shù)為

式中：N為總采樣次數(shù)；n為當(dāng)前采樣次數(shù)；Ts為采樣時間；Δeω（n）=ωn（n）-（n），Δeid（n）=id（n）-。計算底層狼θ的適應(yīng)度函數(shù)值的流程如圖4所示。

圖4 計算底層狼θ適應(yīng)度函數(shù)值流程圖

3 Simulink仿真和實驗驗證

經(jīng)過GWO算法優(yōu)化后的加權(quán)矩陣Q和R為：

使用Matlab中的lqr函數(shù)計算得到優(yōu)化后的反饋增益矩陣：

將優(yōu)化后的K代入仿真模型中得到：①電動機在變載情況下（0.1 s時突加5 N·m負(fù)載，0.3 s時又突卸負(fù)載）的仿真結(jié)果（見圖5）。系統(tǒng)具有良好的抗負(fù)載擾動能力。②電動機在變速情況下（開始給定轉(zhuǎn)速設(shè)為400 r/min，0.1 s時變?yōu)?00 r/min，0.3 s時又回到400 r/min）的仿真結(jié)果（見圖6），系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速突變的情況下仍具有良好的轉(zhuǎn)速跟隨能力。③電動機正反轉(zhuǎn)（開始給定轉(zhuǎn)速設(shè)為400 r/min，0.1 s 時變?yōu)?400 r/min，0.3 s時又回到400 r/min）的仿真結(jié)果（見圖7），通過GWO算法設(shè)計SFC 在電動機正反轉(zhuǎn)情況下也能保持良好的控制性能。

圖5 PMSM變載情況下GWO算法仿真波形

圖6 PMSM變速情況下GWO算法仿真波形

圖7 PMSM正反轉(zhuǎn)情況下GWO算法仿真波形

如圖8 所示為PMSM 實驗平臺實物，采用TMS320F28335DSP 作為控制芯片，在Code Composer Studio軟件下進(jìn)行編程操作，采樣周期選為0.1 ms。對應(yīng)PMSM的參數(shù)如下：電動機的額定功率為2.2 kW，額定電壓為380 V，額定電流為3.98 A，額定轉(zhuǎn)速為1500 r/min，定子電阻為2.484 Ω，d軸電感為63.4 mH，q軸電感為0.18 H，極對數(shù)為2，轉(zhuǎn)子磁鏈為0.993 Wb；電動機采用一個2500 線的增量式光電編碼器進(jìn)行測速，使用磁粉制動器來提供負(fù)載。

圖8 PMSM實驗平臺實物圖

圖9 ～11 所示分別為在變載、變速、正反轉(zhuǎn)時的實驗波形。由圖9 可知，在變載條件下，給定轉(zhuǎn)速400 r/min，0.1 s 時突加5 N·m 負(fù)載，0.3 s 時又突卸負(fù)載，電動機電磁轉(zhuǎn)矩在0.1 s時上升為5 N·m，在0.3 s時下降為0 N·m，轉(zhuǎn)速響應(yīng)穩(wěn)定，說明系統(tǒng)對突加負(fù)載和突卸負(fù)載具有良好的抗擾性能。由圖10 可知，當(dāng)給定初始參考轉(zhuǎn)速為400 r/min，0.1 s 后轉(zhuǎn)速設(shè)為500 r/min，0.3 s 后轉(zhuǎn)速又為400 r/min 時，轉(zhuǎn)速響應(yīng)穩(wěn)定，說明系統(tǒng)在變速情況下有較好的轉(zhuǎn)速跟蹤性能。由圖11 可知，當(dāng)給定初始參考轉(zhuǎn)速為400 r/min，0.1 s后設(shè)為-400 r/min，0.3 s 后又回到400 r/min 時，轉(zhuǎn)速響應(yīng)迅速，說明系統(tǒng)在正反轉(zhuǎn)情況下仍有較好的控制性能。實驗結(jié)果與仿真效果基本一致，證明了理論的正確性以及該方法的實用性。

圖9 PMSM變載情況下實驗波形

圖10 PMSM變速情況下實驗波形

圖11 PMSM正反轉(zhuǎn)情況下實驗波形

4 結(jié)語

本文主要針對基于反饋線性化PMSM 的SFC 開展了研究。通過Matlab 仿真軟件和PMSM 實驗平臺完成了電動機在變載、變速和正反轉(zhuǎn)情況下的仿真和實驗。結(jié)果表明：基于GWO 算法設(shè)計的SFC 能夠保證電動機在變載、變速和正反轉(zhuǎn)情況下穩(wěn)定運行；在PMSM抗負(fù)載擾動和轉(zhuǎn)速跟蹤方面有著良好的控制效果。

·名人名言·

只有嚴(yán)格的專業(yè)化能使學(xué)者在某一時刻，大概也是他一生中唯一的時刻，相信自己取得了一項真正能夠傳至久遠(yuǎn)的成就。今天，任何真正明確而有價值的成就，肯定也是一項專業(yè)成就。

——馬克斯·韋伯