引導語對小學生數學問題提出表現的影響——以平均數為例

陳 婷，孫琪琪，蔡金法

引導語對小學生數學問題提出表現的影響——以平均數為例

陳 婷1，2，孫琪琪2，蔡金法3

（1．西南大學 基礎教育研究中心，重慶 400715；2．西南大學 教育學部，重慶 400715；3．特拉華大學 數學系，特拉華 紐瓦克 19716）

問題提出可以作為一種診斷學生數學概念理解的評估工具，問題提出引導語又關乎問題提出的診斷結果．為考察引導語對小學生問題提出表現的影響，以平均數為例，設計3套不同引導語的平均數問題提出測試卷，隨機選取某公立小學262名六年級學生為測試對象，從問題得分、類型、難度和概念理解程度4方面分析引導語對學生問題提出表現的影響．研究發現：小學生在平均數上具有較好的問題提出表現；不同問題提出引導語顯著影響學生問題提出的類型和難度；在較復雜的問題情境中，問題提出引導語顯著影響學生的平均數理解程度．

問題提出；問題提出引導語；平均數

1 問題提出

近年來，問題提出在改善教學、促進學生概念理解等方面的作用日益受到關注．對學生而言，數學問題提出指：

（1）學生能夠根據已有情境提出包括數學表達式和數學圖表的數學問題；（2）學生能添加合理信息重構原有問題[1]．對教師而言，問題提出是一種教學手段，也是一種教學目標[2]．目前關于問題提出的研究主要是將問題提出作為一種教學手段[3]，考察其在課堂教學中對學生的概念理解以及數學學習的促進作用[4]，許多研究將問題提出作為一種評估手段[5]，通過學生提出問題的類型有效評估其概念理解情況[6]．他們認為學生提出問題必須基于對情境中信息的分析與提取和對相關概念和知識的理解，因此，教師能夠通過學生提出的問題更加全面地觀察學生的學習過程，從而有效評估學生的數學理解．已有數學問題提出的研究主要圍繞師生所經歷的問題提出過程展開[7]，也有學者探究了影響學生問題提出的變量，發現問題提出與數學情境、引導語密切相關[8]．問題提出引導語即教師在進行問題提出教學時采用的提示性話語，能引導學生提出數學問題，進而有效落實數學課程標準對學生提出問題能力的目標要求．引導語主要分為兩大類：一類是基本信息引導語，包含情境引導、數目引導、交流引導、知識或策略引導、學科引導、解答引導6種，另一類是疑問式引導語，引導學生提出疑惑式數學問題[9]．面對不同類型的問題提出引導語，學生有不同的思維過程，他們問題提出表現也不盡相同．關注學生的問題提出表現，從認知層面分析學生對數學概念的理解程度，從而培養學生的問題意識和思維能力[10]．為了幫助教師深入了解學生對數學概念的認知過程，研究選擇“平均數”概念進行分析，為提升數學教師的問題提出教學提供參考．

平均數是小學數學知識中的一個基本統計概念，也是日常生活和統計分析中不可或缺的存在．《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出要“重視平均數統計意義的理解”[11]，平均數的教學要從“算法理解、概念理解、統計理解”3個方面引導學生理解平均數．也就是說，在小學階段，平均數涉及算術程序性理解、算術概念性理解以及統計概念性理解3種類型[12]，包括“平均分配”的計算過程、靈活使用算法解決復雜的平均數任務情境以及作為統計量刻畫數據的集中趨勢，并利用平均數進行不同組別數據的比較等方面．關于平均數概念的理解及其發展過程，部分研究多以國外學生作為研究對象，涉及內容包括其對于平均數各種概念類型的探究[13-15]．如Strauss和Bichler的一項研究表明，不同年齡階段的學生學習平均數的難易程度不同，在理解平均數性質方面也存在顯著差異[16]．關于學生對平均數的算術概念理解情況，蔡金法等人的研究結果表明，中美兩國六年級學生都能正確計算簡單的平均數問題，且中國學生的總體表現好于美國學生，但對于某些復雜問題，兩國學生均缺乏對平均數算法的概念性理解[17]．而對于平均數的統計理解，Watson等通過訪談分析將“學生能夠運用平均數比較圖表中的數據集”視作平均數概念理解的較高水平[18]．由于平均數概念的復雜性，學生并不能對其進行完全的理解．特別是在統計理解方面，不少學生常常把所給數據作為一些離散的點，而不是作為一個整體看待，導致混淆了平均數、中位數和眾數這些統計概念[19]．然而，目前國內關于學生平均數概念理解情況的研究較少，結合問題提出手段考察學生平均數概念理解的研究較為欠缺，對于問題提出引導語與學生問題提出表現的關系也缺乏在相同情境下的探討．因此，研究將采用平均數問題提出測試卷，探究不同問題提出引導語下學生的問題提出表現．具體的研究問題為：不同問題提出引導語下學生提出問題的得分有何差異？學生提出問題的類型是否存在差異？問題提出引導語對學生提出問題的難度有無影響？不同問題提出引導語下學生對平均數概念的理解程度是否存在差異？

2 研究方法

2.1 研究對象

通過方便取樣的辦法隨機選取某市一所普通公立小學六年級的6個班共計262名學生，其中男生137名，女生125名．根據問題提出引導語的不同，將其按學號隨機分為3組，第一類引導語對應的學生作為第一組，第二類引導語對應的學生作為第二組；第三類引導語對應的學生作為第三組．3類引導語下文詳細陳述．調查時間安排在六年級的第一學期．

2.2 研究工具

研究采用測試的方法，測試時長為40分鐘．平均數問題提出測試卷包括4個問題情境任務，分別簡稱為“帽子問題”“成績問題”“書籍問題”“幼崽問題”，要求學生根據每個情境提出3個數學問題．該測試卷來自于已有研究成果，信效度已經過驗證[20]．問題提出引導語分為3類：第一類引導語要求學生“提出3個不同的數學問題，挑戰數學老師來解答”；第二類引導語要求學生“提出3個難度不同（簡單、中等、較難）的數學問題”；第三類引導語要求學生“提出3個不同的數學問題，挑戰同班同學來解答”．3類問題提出引導語皆限定了提出問題的數量，只在問題的具體要求上存在差異．測試卷內容與引導語見表1．

表1 平均數問題提出測試題與3種類型問題提出引導語

2.3 數據回收及處理

研究共發放測試卷262份，回收測試卷262份，問卷回收率和有效率均為100%．對于學生問題提出的表現，參考胡睿[20]和蔡金法[21]等人的編碼框架，被試所提出的每一個問題都包含4個方面的編碼：問題得分、類型、難度和概念理解程度（見表2）．“問題得分”部分，從合理性、拓展性和創新性3方面對平均數問題提出測試卷中學生所提問題進行評價，當學生3個問題均為錯誤問題時，只記最高得分，當學生3個問題中包含至少一個可解的數學問題時，只累加正確問題的得分．“類型”部分，將問題劃分為7種類型．前3個類型“求和”“比較”“分配”不屬于平均數范疇；“平均”“表征”“最值”“判斷”這4個類型屬于平均數范疇，其中“平均”類型問題涉及平均數的簡單計算，“表征”“最值”“判斷”3類問題涉及平均數的統計性概念理解．為了與引導語2的任務要求保持一致，“難度”部分將解題步驟為1～2步的問題確定為簡單難度，步驟為3步的問題為中等難度，4步及以上的問題確定為較難難度．通過這一方式對所有問題的難度進行編碼，統計形成各測試題難度分布情況．“概念理解程度”主要分為：（1）“平均數的算術程序性理解”，即學生知道“平均分配”，能夠求出平均數和總數；（2）“平均數的算術概念性理解”，即學生能靈活使用算法解決復雜的平均數任務情境；（3）“平均數的統計性概念理解”，具體而言就是學生知道平均數作為統計量可以刻畫數據的集中趨勢，還能利用平均數比較不同組別的數據．為保證研究的信度，另請一位熟悉問題提出的數學教育研究人員進行核查，在每個班級的樣本中各隨機抽取30%樣本數據進行獨立編碼分析，兩位研究者在“平均數問題提出測試卷”的編碼一致性程度超過90%，具有良好的信度．

3 研究結果與分析

3.1 3組學生的問題得分情況

通過對3組學生4個任務情境所提問題的得分進行描述性統計分析（見表3），發現除“帽子問題”外，3組學生最低分均存在低于3分的情況，也就是學生所提的3個問題均為錯誤問題．通過對具體任務進行分析，在4個任務情境中，第一組學生在“帽子問題”的得分為8.7分，表現最好，在“書籍問題”和“幼崽問題”的表現最差．第三組學生在“成績問題”和“書籍問題”的表現優于其他兩組，第二組學生在“幼崽問題”的表現更好．就差異性而言，不同問題提出引導語下3組學生提出合理性問題的數量不存在顯著差異．

表2 平均數數據分析框架

表3 3組學生在4個任務上的問題得分的描述統計

關于“帽子問題”和“幼崽問題”，3組學生的平均得分均在7.5分以上，表明越是題干信息豐富的任務情境，學生越容易提出可解的數學問題．而“成績問題”和“書籍問題”的信息較少，特別是“書籍問題”，需要學生自己提取信息或者補充條件，對學生的挑戰更大，導致“書籍問題”的得分最低，3組學生的表現最差．其原因在于“書籍問題”只有一個數學信息，需要學生自己添加合理信息提出問題，題目背景信息與給定條件的多寡對學生提出問題的準確性產生了影響．

3.2 3組學生所提問題類型的差異

根據數據分析框架對合理問題進行編碼（見表4），研究發現，不同測試題學生所提問題的類型分布情況各有不同，卡方分析發現，在“成績問題”和“書籍問題”的第一個問題中，3組學生所提問題的類型與引導語顯著相關（2=19.13，=0.039<0.05；2=19.64，=0.033<0.05），且在任務情境只涉及兩個數學信息情況下，不同問題提出引導語下學生提出問題的類型不同，相比于第一種和第二種引導語，第三種引導語更能引導學生提出多樣的數學問題，更能激發學生的創造性．

表4 3組學生問題提出類型占比

總體來看，學生更傾向于提出“求和”類型和“比較”類型的問題．除“帽子問題”外，其余3個任務情境涉及“分配”類問題占比較少，通過對分配類問題進行歸類，學生提出的多為“加入新數，把平均數提升至目標數”的問題．根據分析框架，計算出4個情境中屬于平均數范疇的類型占比，3組學生在“成績問題”和“幼崽問題”提出直接涉及平均數的問題占比均高于30%，表明大多數學生能夠理解平均數的實際意義．其原因在于，兩個題在題干信息提示了“老師將其中的最高分和最低分去掉”“想知道貓和倉鼠哪一種一次生的幼崽更多”，學生不用補充條件也可以提出例如“去掉最高分和最低分，小明剩下8項測試的平均分為多少分”，“貓平均一次生崽多少只”這一“平均”類型問題．在“成績問題”中，第三組的學生未能和其余兩組一樣提出“表征”和“最值”類問題．在“帽子問題”中，第一組和第三組的少數學生能夠添加合理信息，提出蘊含統計思想的“判斷”類問題．而在“書籍問題”中，第一組的學生未能和其余兩組一樣，提出蘊含統計思想的“判斷”類問題．值得注意的是，在“書籍問題”中，學生所提問題的類型最豐富，特別是第三組的學生，在原有任務情境基礎上，開辟新的視角，提出了涉及平均數概念理解和統計理解范疇的問題．如根據題目給出的信息，學生提出求書籍的最高價，最低價等可能性問題，蘊含平均數沒有必要等于某個數據的“最值”類型問題．

3.3 3組學生提出問題的難度分布

研究以學生所提問題解答所需的常規步驟作為題目難度的表征，學生所提問題在各個難度值上均有不同程度的分布（見表5），簡單和中等難度的問題占到總體的70%以上．由此可見，雖然大多數學生能夠提出可解答的、恰當的數學問題，但是難度值較高，思維挑戰度較大的問題占比較少．除“成績問題”外，各難度的占比依次遞減．這與已有研究結果一致，當學生被要求提出3個數學問題時，他們更傾向于提出相關的平行問題或鏈式問題．在“書籍問題”中，明確要求提出3種類型問題的第二組學生合理問題的占比最高，其所提的較難問題占比也高于其他兩組，表現較好．關于“成績問題”，3組學生較難問題的占比都超過25%，其原因可能在于“成績問題”涉及信息的復雜性足以使學生不用補充條件就可以提出較難的問題．

在“成績問題”的第一個和第三個問題上，3組學生所提問題的難度與其對應的引導語存在顯著相關關系（2=13.47，=0.036；2=22.4，=0.001），即針對不同的問題提出引導語，學生提出問題的難度是不同的，第二種引導語的學生則問題難度呈依次遞增趨勢，與引導語要求一致，第一種引導語和第三種引導語的學生傾向于提出簡單難度的問題，中等難度和較難難度的問題占比比較均衡，但第一組學生較難問題的占比高于第二組．在“書籍問題”的第一個問題上，第一種和第二種引導語的學生更傾向于提出簡單難度的問題（2=14.82，=0.022）；在第三個問題上，第二種引導語的學生更傾向于提出簡單和較難難度的問題，第三種引導語的學生更傾向于提出簡單和中等難度的問題（2=13.23，=0.04）．

3.4 不同問題提出引導語下學生的平均數理解程度情況

研究對3組問題提出引導語下學生的平均數理解程度做了統計（見表6），分析不同問題提出引導語對他們概念理解程度的影響．卡方分析表明，在“成績問題”和“書籍問題”，不同問題提出引導語下學生的平均數理解程度存在顯著差異（2=13.68，=0.008；2=18.52，=0.001）．在“成績問題”中，第三種引導語的學生處于平均數統計性概念理解階段的人數多于前兩種引導語的學生．在“書籍問題”中，第一種引導語的學生處于平均數的算術程序性和概念性理解階段，第三種引導語的學生更注重平均數統計性概念理解．其原因可能為：在提出問題過程中，學生要涉及編輯信息—選擇信息—理解信息—轉換信息4個部分[22]，“成績問題”和“書籍問題”更側重考察學生對信息的理解與轉換，對學生認知要求高，最終導致3組學生在這兩個平均數任務情境中的理解程度存在顯著差異．此外，第三種引導語的挑戰對象是同學，學生更愿意提出多樣的數學問題．

表6 學生的平均數理解程度占比情況

總體而言，3組學生在平均數算術程序性理解和算術概念性理解上的表現優于在平均數統計性概念理解上的表現．大部分學生掌握了平均數的算術程序性理解和平均數的算術概念性理解，熟悉“相加并除”這樣類似平均分的算法，也可以靈活使用平均數算法解決復雜的平均數任務情境，但其發展水平并不同步[23]．如“書籍問題”著重考查學生對平均數的統計性概念理解，需要學生理解10本書的平均價格是代表這10本書的一個數據，不一定每一本書的價格都是平均價格．對于大部分學生而言，基于已有條件，僅能提出“10本書的總價是多少”這類涉及平均數的算術程序性理解的數學問題，這也說明學生對于平均數的算術概念性理解和統計性概念理解程度不深．但也有學生提出“買10冊書需要多少元”這樣的問題，他們用平均數代表數組（10本書），而非作為數組中的一個數（書的單價）．“幼崽問題”中，部分學生掌握了平均數的統計意義，知道平均數具有一組數據集的代表性，可以作為典型值對幾組數據進行比對．

4 研究結論及討論

4.1 小學生在平均數上具有較好的問題提出表現

以262名六年級學生作為測試對象，初步調查六年級學生在不同引導語下的問題提出現狀，發現大多數學生在平均數方面的問題提出表現較好，能夠提出貼合情境可解的數學問題．在問題得分維度，3組學生在圖文信息不夠豐富的“書籍問題”上的表現均弱于另外3道測試題．第二種和第三種問題提出引導語的學生在“帽子問題”情境至少能提出一個以上的正確的、可解答的數學問題，甚至少數學生還能進行拓展和創新．其原因可能是第二類和第三類引導語鼓勵學生提出簡單、合理的問題，且“帽子問題”的信息更加豐富，對于不常接觸問題提出的學生也容易入手．這與已有的同類研究結果一致，大多數小學生具有較高水平的問題提出表現，說明數學問題提出在培養學生數學思維、創新能力方面的作用越發得到重視，問題提出也為學生問題提出過程中發散思維、求異思維的運用提供學習支撐[24]．

4.2 不同問題提出引導語顯著影響提出問題的類型和難度

研究結果表明，問題提出引導語對學生提出問題的類型和難度都存在顯著相關．根據平均數問題提出表現的測試情況，結果表明，大多數學生能夠提出五花八門的問題，但其問題提出表現仍需進一步提升．從類型來看，有超過40%的學生的思維停留在簡單的運算上，且他們提出的問題類型多為“求和”“比較”“分配”，而“最值”和“表征”類問題最少，說明部分學生未能完全掌握平均數的意義，不太清楚可以用平均數描述和表征一組數據．在“成績問題”和“書籍問題”情境的第一個問題，不同組的學生提出問題的類型也不同，特別是第三組學生在“書籍問題”所提問題的類型比其他兩組學生的更豐富．原因可能是第三類引導語是挑戰同班同學回答，學生的積極性增強，更愿意對問題進行拓展，提出更加新穎的問題．也可能是大多數學生只是通過改變某個條件提出了不同的問題，部分同學甚至所提的問題在難度或類型上完全沒有變化，導致學生所提問題的類型在第一個問題上差異明顯．

從所提問題的難度來看，第一類引導語是以教師為提問對象，旨在引導學生提出更高難度的數學問題，第二類引導語直接規定問題難度，將其劃分為簡單、中等和較難3組難度，最后一類引導語則是以同班同學為對象，偏重引導學生提出更多合理的數學問題．3類引導語的學生提出較難問題的比例并不高，部分學生為了提問而提問，出現低水平的重復；另一方面，雖然學生都積極參與問題提出，注重問題的新穎性，但是部分問題欠缺信息，屬于不可解的問題．通過3組比較，分析問題提出引導語對不同學生所提問題的影響程度．研究發現，問題提出引導語在“成績問題”“書籍問題”的第一個和第三個問題上對學生所提問題難度的影響更為顯著．可能的原因主要有兩個方面：一是引導語涉及對象不同，學生預設的問題難度也不同；二是難度較大的問題需要更多的思考時間，對學生的認知要求更高，差異也就更為明顯；三是問題情境本身具有一定的難度，且這些難度具有差異性和特定性．其中，“成績問題”和“書籍問題”不僅需要學生理解信息，還需要合理編輯與選擇信息，對他們來說難度較大．研究結果表明，盡管3組問題提出引導語都有利于引導學生提出數學問題，但更具體的要求可以促使學生更多地思考問題提出的情況，從而使他們進行更深入的數學思考．

4.3 較復雜問題情境中問題提出引導語顯著影響學生的平均數理解程度

在4個任務情境中，部分學生提出了錯誤問題，但可以通過其余的數學問題評估其對于平均數的理解．卡方分析表明，在“成績問題”和“書籍問題”，不同問題提出引導語下學生的平均數理解程度存在顯著差異．第三種引導語的學生對平均數統計性概念理解程度優于其他兩種引導語的學生．整體來看，3組學生所表現出的對平均數的算術程序性和概念性理解優于對平均數的統計性概念理解，但有很大比例的學生只停留在平均數的直接應用上，主要集中在計算平均數或利用平均數求和．具體而言，第一組的學生多處于平均數的算術程序性理解和統計性概念理解階段，第二組的學生多處于平均數的算術程序性和算術概念性理解階段，第三組的學生多處于平均數的算術概念性理解和統計性概念理解階段．

5 結束語

問題提出能夠幫助教師了解學生在平均數概念理解的思維過程，結合研究結論及已有文獻[25-28]，得到以下啟示．第一，教師在進行教學時，應注重設計多樣的問題提出引導語，創設“真實”情境，引導學生利用已有數學信息進行提問，在課堂中培養學生的問題提出能力．第二，學生在進行數學概念的學習時，應重視對概念的意義的理解而非僅僅會計算．第三，不同問題提出引導語的作用不同，教師應根據學生具體情況選擇合適的問題提出引導語，對于基礎較薄弱的學生，可以側重于引導學生發現某種數學事實或提出預答式數學問題或引導學生提出疑惑式數學問題．對于中等學生或學優生，則引導他們提出各種各樣難度不同的問題，提升信息提取能力和創新能力．此外，引導學生之間互相進行問題提出，也有利于培養學生的數學思維以及提高學生的問題提出能力．

研究定量分析六年級學生在不同引導語下的平均數問題提出表現，彌補了當前問題提出實踐研究的些許不足，為一線教師開展問題提出教學、評估學生概念理解提供了參考，但仍然存在一定的局限性．第一，由于研究者將測試時間限定為40分鐘，出現了部分學生尚未提出問題的情況，不能完全確定學生缺乏對平均數的統計性概念理解．第二，樣本選取有一定局限性，因而所得結論可能并非對所有學生都適用．第三，樣本來自6個班級，其任課教師不同，可能會影響學生的問題提出表現．為彌補以上研究的不足，未來還可在原來測試卷的基礎上對問題數量或者測試時間進行完善和改進．例如，當減少任務情境數量或者延長測試時間時，掌握平均數統計意義的人數是否會增加．此外，在今后的研究中，也會直接對不同地區、不同學校的教師和學生進行教學實驗，以檢驗引導語在問題提出教學中對學生平均數理解的影響效果．

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Impact of Prompts on the Performance of Elementary School Students’ Mathematical Problem Posing Involving Arithmetic Average

CHEN Ting1, 2, SUN Qi-qi2, CAI Jin-fa3

(1. Center for Basic Education, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. Faculty of Education, Southwest University, Chongqing 400715, China;3. The Department of Mathematics, University of Delaware, Delaware Newark 19716, USA)

Problem posing can be used as an assessment tool to diagnose students’ understanding of mathematical concepts, with problem-posing prompts also related to the diagnostic results of problem posing. To investigate the impact of prompts on elementary school students’ problem-posing performance, using average as an example, three sets of problem-posing tasks with different prompts were designed, and 262 sixth-grade students from a public elementary school were randomly selected as test subjects. The impact of the prompts on the students’ problem-posing performance was analyzed according to four aspects: quantitative scoring on posed problems, types of problems posed, difficult levels, and degree of conceptual understanding. It was found that the most of students are able to pose problems related to arithmetic averages, and the problem-posing prompts significantly affected on the content nature and difficulty of the students’ posed problems. In the more complex problem situations, the problem-posing prompts significantly affected students’ understanding of arithmetic averages.

problem posing; problem-posing prompts; arithmetic average

G623.5

A

1004–9894（2023）05–0028–07

陳婷，孫琪琪，蔡金法．引導語對小學生數學問題提出表現的影響——以平均數為例[J]．數學教育學報，2023，32（5）：28-34．

2023–08–21

國家社會科學基金“十四五”規劃2022年度教育學一般課題——藏族學生數學學習行為投入測評模型構建及應用研究（BMA220221）

陳婷（1974—），女，甘肅莊浪人，教授，博士，博士生導師，主要從事民族教育、數學教育研究．蔡金法為本文通訊作者．

[責任編校：張楠、陳雋]