功能梯度壓電壓磁圓柱殼中縱向波的截止頻率1)

鄧良玉 曹小杉 馬星荃 汝 艷

(西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院,西安 710048)

引言

功能梯度材料是由兩種或兩種以上材料組成,其成分和結(jié)構(gòu)沿某一方向連續(xù)梯度變化的非均質(zhì)材料.相比于傳統(tǒng)的均質(zhì)彈性材料,功能梯度材料具有耐高溫、減小殘余應(yīng)力等優(yōu)勢,隨著各種新型材料的發(fā)現(xiàn),功能梯度材料技術(shù)不僅應(yīng)用于彈性材料中,也應(yīng)用于壓電材料、壓磁材料和壓電壓磁材料等材料當(dāng)中.壓電壓磁材料是一種力電磁耦合材料,在智能結(jié)構(gòu)和智能材料領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,可以用來制作傳感器[1]和換能器[2]等精密電子元件.一方面,可以將功能梯度的概念引入到壓電壓磁材料中,制備出材料參數(shù)漸變的力電磁耦合材料,以期獲得更好的性能,可以應(yīng)用于各類換能器、傳感器及各類聲波器件中.另一方面,材料由于亞表面的老化、損傷和腐蝕等原因會導(dǎo)致材料特性出現(xiàn)漸變特性,采用功能梯度壓電壓磁材料模型可以表征含漸變梯度損傷后的壓電壓磁材料結(jié)構(gòu)的材料特性.因此功能梯度壓電壓磁材料及結(jié)構(gòu)中的靜、動力學(xué)行為成為智能材料結(jié)構(gòu)力學(xué)研究熱點(diǎn)之一.

基于高性能聲波器件的結(jié)構(gòu)無損檢測的兩大類應(yīng)用需求,研究者關(guān)注對不同結(jié)構(gòu)中的彈性波的傳播.近些年來,對于彈性波的研究多集中在棒[3]、板[4]、殼[5]和半空間[6]等結(jié)構(gòu)上,例如壓電納米半空間結(jié)構(gòu)中的表面波[7]、密度梯度對圓柱殼中彈性波波形的調(diào)控作用[8]和黏彈性梯度層中的瞬態(tài)波[9]等等.壓電壓磁材料及其結(jié)構(gòu)中的彈性波也得到研究人員的關(guān)注,Li 等[10]分析了理想界面磁電層狀結(jié)構(gòu)中外部磁場對結(jié)構(gòu)中SH 波位移、應(yīng)力、電勢和磁勢的影響.Pang 等[11]和趙星等[12]分別討論了非理性界面的磁電板狀結(jié)構(gòu)和半空間結(jié)構(gòu)中電磁邊界條件對SH 波頻散的影響.Kumari 等[13]揭示了多層壓電圓柱殼中殼體厚度、初始應(yīng)力等對SH 波相速度的影響規(guī)律.孔艷平等[14]討論了磁電彈板中厚度-扭轉(zhuǎn)波的位移、電勢和磁勢.上述文獻(xiàn)的研究內(nèi)容大多集中在彈性波的頻散特性、波結(jié)構(gòu)分析.

截止頻率是彈性波的重要特性之一,在工程上具有廣泛應(yīng)用,可用于超聲無損檢測[15]、測量結(jié)構(gòu)厚度[16-17]、傳感器[18]和濾波器[19]等當(dāng)中.通常針對各類半空間結(jié)構(gòu),由于需滿足無窮遠(yuǎn)處衰減條件,其彈性導(dǎo)波有速度上限.此時彈性導(dǎo)波的不同模態(tài)的截止頻率對應(yīng)的是彈性波速達(dá)到波速上限值的情況[20].而對于有限厚度結(jié)構(gòu)(如板、殼)中,彈性導(dǎo)波的波速無上限,其截止頻率對應(yīng)為波數(shù)趨近于零的情況.通常,研究非均質(zhì)有限厚度結(jié)構(gòu)中彈性導(dǎo)波截止頻率時,可以采用直接求解法,即采用解析[21-22]或者數(shù)值方法[23]求得波的頻散曲線并由此分析頻散曲線中波數(shù)趨近于零的情況.均質(zhì)板的Lamb 波與SH 波的截止頻率解析解答均采用直接求解法得到[24].如果材料為非均質(zhì)材料,波動方程為變系數(shù)偏微分方程組,解析求解較困難,因此多采用數(shù)值方法求得頻散曲線.解析求解場方程的方法主要有特殊函數(shù)法[25]、冪級數(shù)方法[22]和勒讓德級數(shù)法[26]等.特殊函數(shù)法僅限于材料參數(shù)按照某些特殊規(guī)律變化的情況,而冪級數(shù)法和勒讓德級數(shù)方法的本質(zhì)是漸近解析解,無法給出簡單形式的顯式解答.Cao 等[27-28]在研究功能梯度板中的SH 波[27]和Lamb 波[28]的截止頻率時發(fā)現(xiàn),可以僅討論波數(shù)趨近于0 的情況并簡化方程,基于Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)方法獲得彈性導(dǎo)波的顯式解析解答,并與文獻(xiàn)[21]中的傳統(tǒng)直接求解法所得結(jié)論對比,可得到這些顯式解答形式簡單且具有足夠的精度的結(jié)論.隨后,周鳳璽等[29]將該方法應(yīng)用于梯度飽和多孔材料中彈性波的截止頻率,并進(jìn)一步論證了該解答的精確性[29].基于這些方法,研究已拓展至壓電壓磁圓柱殼中環(huán)向SH 波的截止頻率[30]、壓電準(zhǔn)晶體圓柱殼軸向波截止頻率[31]、偏心圓柱中導(dǎo)波的截止頻率[32]和壓電圓板自由振動的截止頻率[33]等多個方向.

本文研究了內(nèi)外表面無應(yīng)力和電磁開路條件下功能梯度壓電壓磁圓柱殼中縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率.首先,令波數(shù)趨近于零并簡化波動控制方程組;然后利用齊次邊界條件將控制微分方程組解耦為兩個獨(dú)立方程;進(jìn)一步采用WKB 法分別求解兩個獨(dú)立方程并將解代入邊界得到截止頻率顯式表達(dá)式和簡化形式;分別與均質(zhì)殼體中的貝塞爾函數(shù)解和功能梯度結(jié)構(gòu)中的傳統(tǒng)方法進(jìn)行對比分析,驗(yàn)證了WKB解的精確性;最后研究了材料參數(shù)梯度組成方式、參數(shù)梯度變化及圓柱殼體厚度變化對截止頻率的影響,以期為基于截止頻率的非均質(zhì)材料圓柱結(jié)構(gòu)的超聲無損檢測提供理論依據(jù).

1 基本方程

設(shè)如圖1 所示功能梯度橫觀各向同性壓電壓磁圓柱殼,其中roθ 面為各向同性面,極化方向沿z軸正向.圓柱殼內(nèi)徑為Ra,外徑為Rb,材料參數(shù)沿徑向連續(xù)變化,是坐標(biāo)r的函數(shù).對于沿殼體z軸方向傳播的縱向?qū)Р?其周向波數(shù)為0,即位移、電勢和磁勢函數(shù)與 θ 無關(guān).那么,柱坐標(biāo)系下位移、電勢和磁勢函數(shù)可表示為

圖1 功能梯度壓電壓磁圓柱殼Fig.1 An FGPPM cylinder shell

其中,u,w分別為徑向和軸向位移函數(shù),φ表示電勢函數(shù),ψ代表磁勢函數(shù).

應(yīng)變與位移的關(guān)系為

其中,Srr,Sθθ,Szz和Srz為應(yīng)變分量.

電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系為

其中,Er和Ez為電場強(qiáng)度分量.

磁場強(qiáng)度與磁勢的關(guān)系為

其中,Hr和Hz為磁場強(qiáng)度分量.

橫觀各向同性壓電壓磁材料的本構(gòu)方程為

其中,σrr,σθθ,σzz和 τrz為應(yīng)力分量;Dr和Dz為電位移;Br和Bz為磁感應(yīng)強(qiáng)度;c11,c12,c13,c33和c44為彈性系數(shù);e15,e31和e33為壓電系數(shù);ε11和 ε33為介電系數(shù);f15,f31和f33為壓磁系數(shù);g11和g33為磁電系數(shù);μ11和 μ33為磁導(dǎo)率.如果材料為功能梯度材料,上述材料參數(shù)都是坐標(biāo)r的函數(shù).

柱坐標(biāo)下的運(yùn)動方程為

其中,ρ 是材料密度,也是坐標(biāo)r的函數(shù).

電位移平衡方程為

磁感應(yīng)平衡方程為

將式(2)～式(4)代入式(5),再把新的方程代入式(6)～式(8)得到場控制偏微分方程組

其中,“ ′ ”表示對r的導(dǎo)數(shù).

2 問題求解

對于在圓柱殼軸向傳播的縱向波,其試探解可設(shè)為

其中,U(r),W(r) 分別代表徑向和軸向位移幅值,Φ(r)代表電勢幅值,Ψ(r)代表磁勢幅值,i 為虛數(shù)單位,k表示波數(shù),ω表示頻率.

將波函數(shù)試探解式(10)代入式(9)中,偏微分形式的場控制方程組化為常微分方程組的形式

當(dāng)k→0 時,常微分方程組可化為

其中,ωn表示截止頻率.此時邊界條件可以寫為

式(14)和式(15)積分可得

其中,q1和q2是積分常數(shù).結(jié)合式(20)、式(18)和式(19)可以得到

將式(21)代入式(13)可得

其中,cE是等效彈性系數(shù),且

2.1 梯度圓柱殼體縱向?qū)Рń刂诡l率的WKB 解

式(22)可以采用WKB 法進(jìn)行求解,假設(shè)式(22)的解為

其中,設(shè)?(r)可表示為

將式(23)代入式(22)得

求解式(26)得

忽略 ?l,l＞1,從而得到式(23)的解

其中,C1和C2是兩個待定常數(shù).為等效剪切波波速的倒數(shù).由式(17)～式(19)可知,位移函數(shù)w滿足的邊界條件為

將式(28)代入式(29)得

式(30)和式(31)存在非0 解的充分必要條件為C1和C2的系數(shù)矩陣行列式為0,進(jìn)而可以得到

同樣采用WKB 法對式(12)求解得

式中,C3和C4為待定系數(shù),將式(33)代入邊界條件式(16)并考慮非零解存在的充分必要條件得

ωnU是滿足式(34)的截止頻率解.

觀察式(32)和式(34)可以發(fā)現(xiàn),考慮到 ωnU和ωnW是數(shù)值較大的參數(shù),當(dāng)材料參數(shù)緩慢變化時,等式的右邊趨近于零,因此可以簡化為

可以寫為

因此有

從式(37)可以看出,截止頻率 ωnU和 ωnW可以看作兩個近似的等差數(shù)列集.如果材料為均質(zhì)材料,則截止頻率為

2.2 均質(zhì)圓柱殼體截止頻率的Bessel 函數(shù)解

為對比驗(yàn)證WKB 解的精確性,本文給出均質(zhì)圓柱殼體縱向?qū)Рǖ奶厥夂瘮?shù)解.當(dāng)殼體退化為均質(zhì)材料時,可以求得截止頻率的精確解,此時式(12)變?yōu)?/p>

式(40)為Bessel 方程,求得解為

將式(41)代入式(16)中,考慮方程組非0 解存在的充分必要條件,令方程組系數(shù)矩陣行列式為0,得到

式(22) 可采用相同方法求解,可以得到關(guān)于ωnW的超越方程

3 數(shù)值算例

數(shù)值算例中,將討論3 種材料.第1 種是均質(zhì)材料,材料參數(shù)如表1 所示.第2 種材料是由已知的壓電材料與壓磁材料復(fù)合而成的功能梯度壓電壓磁材料.其中內(nèi)表面為壓電材料 BaTiO3,外表面為壓磁材料 CoFe2O4,材料參數(shù)如表2 所示.除電磁系數(shù)為常數(shù)外,材料參數(shù)的梯度變化規(guī)律為

表1 一種均質(zhì)壓電壓磁材料的材料參數(shù)Table 1 The materials parameters of homogeneous piezoelectric-piezomagnetic material

表2 BaTiO3 和 CoFe2O4 的材料參數(shù)Table 2 The materials parameters of BaTiO3 and CoFe2O4

其中,p為梯度參數(shù),f(1)為BaTiO3的材料參數(shù),f(2)為 CoFe2O4的材料參數(shù),且

即圓柱殼內(nèi)徑為材料 BaTiO3,外徑材料為 CoFe2O4.電磁系數(shù)選擇為g11=5.0×10-12N·s·V·C.

第3 種為人工設(shè)定材料功能梯度,擬用以討論不同材料參數(shù)梯度變化對截止頻率的影響規(guī)律.這種材料在內(nèi)徑處,材料參數(shù)與表1 所示材料參數(shù)相同,有且僅有一個參數(shù)梯度變化,其他材料參數(shù)為0.材料參數(shù)變化規(guī)律滿足

3.1 解的精確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證WKB 解的準(zhǔn)確性,算例1 討論均質(zhì)壓電壓磁圓柱殼中縱向波的截止頻率.其中,殼體內(nèi)徑Ra=9 mm,外徑Rb=10 mm,材料參數(shù)同表1 中的參數(shù).對比式(32)和式(34)給出的WKB 解與式(43) 和式(42) 得到的Bessel 函數(shù)解.計(jì)算結(jié)果如表3 和表4 所示.從兩個表中可以看出,WKB 解式(32)和式(34)與簡化的解式(39)和式(38)的結(jié)果是一致的;WKB解與Bessel 函數(shù)解得到的結(jié)果之間很相近,其中第1 階模態(tài)之間的相對誤差不超過0.05%,并且隨著模態(tài)的增加,兩者之間的相對誤差也越來越小.

表3 均質(zhì)壓電壓磁圓柱殼中縱向波的截止頻率ωnW/MHzTable 3 The cut-off frequencies ωnW/MHz of longitudinal waves in a homogenous piezoelectric-piezomagnetic cylinder shell

表4 均質(zhì)壓電壓磁圓柱殼中縱向波的截止頻率ωnU/MHzTable 4 The cut-off frequencies ωnU/MHz of longitudinal waves in a homogenous piezoelectric-piezomagnetic cylinder shell

算例2 考慮采用傳統(tǒng)的計(jì)算截止頻率的方法,即求解方程(11)并代入邊界條件,考察k→0 時的ω值.由于方程(11)為變系數(shù)常微分方程組,直接求解困難,該類問題的常見解法有勒讓德級數(shù)法[26]和冪級數(shù)方法[22].截止頻率的直接解法可以采用冪級數(shù)方法求得其漸近解,并得到頻散方程.計(jì)算過程中選用第二種變化形式的功能梯度材料,取殼體內(nèi)徑Ra=9 mm,外徑Rb=10 mm,計(jì)算k=0.001 時的頻率值并與WKB 解對比分析,如表5～表7 所示.其中,利用WKB 法求解功能梯度壓電壓磁材料、均質(zhì)壓電材料和均質(zhì)磁電材料圓柱殼體中縱向波的截止頻率,可以得到兩個序列的值,如表5 和表6 所示,兩個序列模態(tài)由低至高用羅馬數(shù)字編號.采用直接解法求得的截止頻率為一個系列,對應(yīng)模態(tài)用阿拉伯?dāng)?shù)字編號,如表7 所示.計(jì)算結(jié)果對比可得,兩者計(jì)算結(jié)果幾乎無差別.但顯而易見,如采用漸近解法求得整體頻散曲線并進(jìn)而求得截止頻率,計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于WKB 解,且不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性.

表5 BaTiO3 圓柱殼、CoFe2O4 圓柱殼和FGPPM 圓柱殼中縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率ωnW/MHz 的WKB 解Table 5 The cut-off frequencies ωnW/MHz of longitudinal waves in BaTiO3,CoFe2O4 and FGPPM cylinder shell

表6 BaTiO3 圓柱殼、CoFe2O4 圓柱殼和FGPPM 圓柱殼中縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率ωnU/MHz 的WKB 解Table 6 The cut-off frequencies ωnU/MHz of longitudinal waves in BaTiO3,CoFe2O4 and FGPPM cylinder shell

表7 BaTiO3 圓柱殼、CoFe2O4 圓柱殼和FGPPM 圓柱殼中縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率(MHz)Table 7 The cut-off frequencies of longitudinal waves in BaTiO3,CoFe2O4 and FGPPM cylinder shell (MHz)

3.2 材料參數(shù)梯度變化對截止頻率的影響

考察功能梯度壓電壓磁材料的不均勻性對縱向波截止頻率的影響.首先觀察算例2 中的計(jì)算結(jié)果,對比分析 BaTiO3圓柱殼、CoFe2O4圓柱殼和梯度參數(shù)p=0.1 的功能梯度壓電壓磁圓柱殼中縱向波的前5 階截止頻率 ωnW和 ωnU,如表5 和表6 所示.可以看到功能梯度壓電壓磁圓柱殼的截止頻率介于BaTiO3圓柱殼和CoFe2O4圓柱殼之間.在同一階模態(tài),BaTiO3圓柱殼縱向波的截止頻率 ωnW的值大于CoFe2O4圓柱殼的截止頻率 ωnW的值,而 BaTiO3圓柱殼縱向波的截止頻率 ωnU的值則小于 CoFe2O4圓柱殼的截止頻率 ωnU的值.

進(jìn)一步,討論功能梯度壓電壓磁圓柱殼中縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率與梯度參數(shù)p的關(guān)系,表8 和表9對比了p=0.1,0.2,0.3 這3 個不同值時縱向?qū)Рㄇ? 階截止頻率的變化情況,可以看到隨著p的增大截止頻率 ωnW也隨之增大,而截止頻率 ωnU則隨著p的增大而減小.

表8 不同梯度參數(shù)功能梯度圓柱殼中縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率ωnW/MHzTable 8 The cut-off frequencies ωnW/MHz of longitudinal waves in FGPPM cylinder shell with different gradient coefficient

表9 不同梯度參數(shù)功能梯度圓柱殼中縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率ωnU/MHzTable 9 The cut-off frequencies ωnW/MHz of longitudinal waves in FGPPM cylinder shell with different gradient coefficient

在前面的討論中,所有的材料參數(shù)都是同時變化的,為了討論某一類材料參數(shù)的變化對縱向?qū)Рń刂诡l率的影響,在計(jì)算過程中,每次只使一類材料參數(shù)梯度變化,其余參數(shù)均保持為均質(zhì),選用第1 種變化形式的功能梯度壓電壓磁材料,分別計(jì)算彈性模量參數(shù)、電學(xué)參數(shù)、磁學(xué)參數(shù)和密度參數(shù)梯度變化的情況.在計(jì)算過程中取殼體內(nèi)徑Ra=9 mm,外徑Rb=10 mm,p=0.1.計(jì)算結(jié)果如圖2 和圖3 所示,從圖中可以看出隨著彈性模量參數(shù)、電學(xué)參數(shù)和磁學(xué)參數(shù)梯度參數(shù)的增加,縱向波的截止頻率也隨之增加,而且可以明顯看出,彈性模量參數(shù)變化對截止頻率的影響最大,磁學(xué)參數(shù)對截止頻率的影響最小.而對于密度參數(shù),梯度參數(shù)的增加會使截止頻率減小.

圖2 材料參數(shù)梯度變化對截止頻率 ωnU 的影響Fig.2 Influence of material parameter gradient change on the cut-off frequencies ωnU

圖3 材料參數(shù)梯度變化對截止頻率 ωnW 的影響Fig.3 Influence of material parameter gradient change on the cut-off frequencies ωnW

3.3 殼體厚度對截止頻率的影響

討論了不同殼體厚度情況下縱向波的截止頻率,在計(jì)算過程中選用算例中提出的第2 種材料.殼體內(nèi)徑保持不變,取Ra=9 mm,外徑為1 0～12 mm,材料密度為常數(shù),其余參數(shù)的梯度系數(shù)為p=0.1.計(jì)算結(jié)果如圖4 所示.

圖4 圓柱殼厚度變化對截止頻率的影響Fig.4 Influence of cylinder shell thickness change on the cut-off frequencies

從圖4 中可以看出,在圓柱殼內(nèi)徑保持不變,厚度增加的情況下,縱向波各模態(tài)的截止頻率會隨著厚度的增大而減小,且高階模態(tài)的減小趨勢更為顯著.

4 結(jié)論

本文用WKB 法研究了功能梯度壓電壓磁圓柱殼中縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率.當(dāng)材料退化為均質(zhì)材料時,可以得到殼體縱向波截止頻率的Bessel 函數(shù)解.分別對比均質(zhì)壓電壓磁圓柱殼體中縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率的Bessel 函數(shù)解和由功能梯度壓電壓磁圓柱殼體中縱向?qū)Рl散曲線所得的截止頻率,驗(yàn)證了WKB 解的高精確性.通過數(shù)值算例可以發(fā)現(xiàn),縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率是兩個近似等差數(shù)列集的集合;對于由 BaTiO3材料和 CoFe2O4材料復(fù)合而成的功能梯度壓電壓磁圓柱殼,縱向?qū)Рǖ慕刂诡l率介于BaTiO3圓柱殼和CoFe2O4圓柱殼的截止頻率之間.對于功能梯度壓電壓磁圓柱殼中的縱向?qū)Р?彈性參數(shù)和密度梯度變化對截止頻率影響較為明顯;電學(xué)參數(shù)與磁學(xué)參數(shù)梯度變化對其截止頻率影響較小;殼體厚度增加會導(dǎo)致截止頻率降低.這些結(jié)論可為基于截止頻率的非均質(zhì)材料圓柱殼的超聲無損檢測提供理論依據(jù).