思維觀下初中數學教學設計基本模式的探究與實踐

林經武

學科教學，本質上就是解決問題的步驟或程序（策略）。學科學習分為概念（利用概念的屬性去解決問題）和規則的學習（概念與概念之間的關系去解決問題）兩個方面，特別是理科的教學核心就是概念與規則的學習。概念是思維的基本單位，邏輯是思維的基本規則。思維是形成概念、訓練邏輯、產生理解、解決問題的基礎。因此課堂教學設計應強調“為什么可以這樣教”，關注認知規律，關注學生怎樣思維（thinking）。要思考如何有效地教會學生思維，應設計能訓練思維品質的活動，讓學生智力的發展及學生能力的培養找到突破口。

設計思維品質訓練活動要關注學生的認知規律，可以依據皮亞杰認知發展理論，如初中階段的學生為形式運算階段，能以命題的形式進行思維、能理解符號的意義、能做一定的概括等。同樣，奧蘇伯爾有意義學習理論要求活動設計應有同化和順應的過程，同化和順應滲透著歸納和類比思維，這些都要求教師提供給學生的學習材料必須具有邏輯意義、學習者必須具備建構認知體系以及問題解決所需要的思維能力。因此，基于“思維教學”理念的教學設計應基于學習理論與教學理論的理解下展開，要關注能承載思維發展的學習載體，教學設計要先明確“培養什么思維”以及“如何設計含有思維載體的內容”，再延伸到“教什么內容”和“怎么教”的問題。

一、基于“思維教學”理念的教學設計模式

基于“思維教學”理念的教學設計模式可以從所基于的學習理論理念及指導思想、大單元視角的教學背景分析、整體性把握的教學目標及重難點設計、基于“思維教學”理念的教學過程問題鏈及課堂練習的設計、思維觀下學生表現的評價量規等方面加以設計。本文以《旋轉》章節作為案例。

（一）所基于的學習理論理念及指導思想

布魯納的“發現學習”和“發現教學”認為，學習是一個主動的認知過程，以培養創新精神和實踐能力為主要目的，達成學習的內部認知結構。其基本程序為：創設發現問題的情境→建立解決問題的假說→對假說進行驗證→做出符合科學的結論→轉化為能力等。

基于以上學習理論的理解及新課標理念，在圖形的旋轉變換教學設計中，可以利用幾何畫板直觀演示圖形變換，如讓學生觀察圖形變換（培養學生觀察的思維），在變換的直觀感受過程中得出條件一般化的假設結論（培養學生抽象的思維），然后從演繹的層面對結論進行論證（培養學生推理的思維）。在一系列過程中，體會幾何論證過程是實驗、探究性活動過程的自然延續，學生在觀察、猜想、論證的過程中體會數學思想和方法的運用（培養學生幾何變中不變的思維）。

（二）大單元視角的教學背景分析

大單元視角的背景分析應突出教學內容的邏輯結構及教學要素（知識點、基本思想與經驗、核心素養等）的分析。可以從內容的本質、蘊含的思想方法、知識的上下位關系、育人的價值等方面展開。學情應該基于學段特征，關注“為什么學？”“學什么？”“怎么學？”“已經知道什么？”“還能知道什么？”“存在什么困難？”等。對于大單元，就是以“更大的單位”進行教學設計和實施，重組與整合知識，解決知識碎片化的問題，促進多維目標（思維能力、核心素養）的落實。以下為《旋轉》章節的教學設計。

1.內容的本質。

克萊因認為平面圖形是研究變化過程中的不變量和不變性的科學。旋轉是全等變換，滲透的思維是旋轉過程中圖形大小不變的思維。與平移和軸對稱相比，旋轉打破了圖形的均衡與勻稱，讓圖形的運動隨心所欲。同時，旋轉的工具性變換意識可以幫助學生用運動的觀點認識圖形變換，讓問題的解決更加直觀、明了。

2.蘊含的思想與方法。

本章節滲透著運動變換的思想和類比的思想。采用的方法就是基本圖形的方法，在旋轉中如何從復雜的圖形中分解出基本圖形及基本關系，由文字和符號作出或畫出圖形及圖形關系。

3.知識的上下位關系。

從知識的背景來看，旋轉變換存在的前提是同心圓，若存在同心圓，在同心圓上取不同的點，如果這些點與圓心連線所夾的角相等，就能形成旋轉圖形問題，所以旋轉變換的知識在本章的學習只是過渡，只有學習完圓的知識后，旋轉知識才可能真正完善與提升。從變換的角度來看，等腰三角形、平行四邊形、圓等圖形的結構都可以構成旋轉圖形。

4.育人的價值。

幾何學習最重要的價值導向在于發現變中不變的思想，也是幾何思維的直接體現。幾何學的根源在于變換，“運動變換中的不變性和規律性”是發現“幾何性質”的關鍵，也是幾何學習中蘊含的基本思想和方法。

另外，幾何直觀是靠邏輯支撐的，它不僅直觀地讓學生觀察到什么，而且讓學生看到圖形能想到什么，如相似三角形可以用來刻畫比值等，這是非常重要的數學思維方式。

（三）整體性把握教學目標及重難點設計

1.教學目標的設計。

史寧中教授認為，教學目標的關鍵是設計合適合理的情境、提出合理的問題，引發學生思考，使學生掌握知識的同時理解知識的本質，形成和發展學科素養。因此教思維本質上就是教師通過問題情境的設置，引導學生開展思維活動。

對于軸對稱、旋轉、平移的概念，課標要求通過具體的實例理解它們的概念，這種要求關注幾何直觀與數學會意之間的關系。概念的理解借助直觀不難到達，義務教育階段不可能也不必要給出圖形變換的嚴格定義。

對于它們的性質，可以通過“探索”得到，讓學生探究圖形的運動，觀察運動變化過程中圖形不變的性質，明白性質的研究過程，而不是直接將這些性質作為現成的結論告知給學生。通過探究實驗讓學生感受圖形運動變化過程中的不變量和不變關系，明白用幾何變換研究幾何的方法和路徑。在性質的教學中，多關注幾何圖形的抽象，少演示、多操作，讓數學活動、數學想象與數學歸納參與圖形的動態移動中。對于特殊圖形，要養成用對稱定義來定義或探究問題的習慣，如“探索正多邊形、圓的軸對稱性質”“探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質”的含義，不僅要知道這些圖形是軸對稱圖形或中心對稱圖形，而且包括運用軸對稱性或中心對稱性探索這些圖形的其他性質等。另外，要掌握旋轉作圖的基本技能；理解運動變換與類比的基本思想；了解運用平移、軸對稱、旋轉的組合進行圖案設計的基本實踐活動經驗；形成變換的意識，用變換的眼觀識圖，用變換的方法構圖；發展幾何直觀及基本圖形方法來演繹幾何變換的推理能力。總之，這種整體性把握教學目標的設置具備導教、導學、導評價的功能。

2.重難點的設計。

重難點設計上應該加強旋轉作圖的教學要求，培養學生良好的作圖習慣，加強學生對圖形的認識和理解。

具體細化到課時目標，首先是指令性語言作圖：按要求作旋轉后的圖形；已知旋轉前后的圖形（或旋轉后圖形的一部分），確定旋轉中心和旋轉角；作一個圖形關于一點成中心對稱的圖形；已知關于某點成中心對稱的兩個圖形（或已知某一圖形是中心對稱圖形），確定對稱中心；作一個圖形關于原點對稱的圖形等。其次是將描述性語言轉化為圖形語言。最后是對輔助線添加的要求等。在嚴格證明的問題中不能只說“平移”“翻折”“旋轉”，要說明作輔助線的具體內容，如基本作圖的敘述語言“過某點作××的平行線”或“延長××到×點，連接××”“在××上截取××＝××，連接××”“作∠×××＝××度”等。

（四）基于“思維教學”理念的教學過程問題鏈及課堂練習設置

海淀區進修校的張鶴老師提道：知識教學的價值不是被學生“確認”其合理性，而是要“演繹”出其合理性。“演繹”是主動的，有理性的數學思維過程，除了數學基礎知識與基本技能的學習，數學教育最主要的功能應是促進學生思維的發展。如何設計含有思維量的問題，應該是從數學知識和學生認知的結構出發，能反映數學知識的本質與意義的問題。

案例——怎樣運用旋轉變換解決問題

1.旋轉變換的作用是什么？

旋轉可以移動圖形的位置而不改變圖形的形狀與大小。

2.什么時候要利用旋轉變換？平面圖形具備什么條件時可以實現旋轉變換？

當一些線段、角或圖形過于分散時，需要移動這些線段、角或整個圖形，這時就要用到旋轉變換。圖形中只要存在共頂點的線段就可以實施旋轉變換。

3.一般情況下初中的圖形是怎么旋轉的？

確定三要素：旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度。平面圖形運動過程中能構成特殊性，才有性質，一般的有以下兩種特殊位置的旋轉情形。如圖1所示，將△ABC旋轉60°能得到兩個等邊三角形；將△ABC旋轉90°能得到兩個等腰直角三角形。

4.旋轉之后怎么辦？

旋轉之后可以利用旋轉的性質來解決問題。旋轉的目的就是將不在同一個圖形中的幾何元素轉移到同一個圖形中，從而在確定性條件下實現定量解決問題的基本圖形（等邊三角形或等腰直角三角形等）的構造。

5.課堂練習的設置。

（人教版九年級教材60頁），如圖2所示，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形。

分析：畫出旋轉后的圖形除了可以根據旋轉的定義操作外，更重要的是旋轉前后的幾何對象之間對應元素之間的關系發現。以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，已經對應的元素有AD與AB，只要找到點E的對應點F即可。分別有以下五種作圖法（如圖3所示）。

幾何問題的理解要依據幾何的圖形思維，將幾何對象轉化為具有幾何特征的圖形，運用學過的幾何定義與性質去演繹。這里利用了旋轉性質中對應線段、對應角度之間的關系，將圖形問題轉化為幾何對象中的基本元素關系問題去研究，所使用的思維是幾何思維，何為幾何思維？首先是圖形的確定性思維（全等性），其次要認識到數量化的幾何關系要置換到圖形中去研究，最后要明白研究圖形，其中位置關系確定在前，數量關系研究在后。有了這些幾何思維，幾何的學習能力就能從操作思維訓練上升到幾何思維層面的培育。

二、基于“思維教學”理念的學生表現評價量表

課堂教學評價是以教學目標為依據，在真實的教學環境中以可操作的科學手段，觀察學生的課堂表現和狀態，收集與教師教學、學生學習相關的信息，對教與學活動的過程和結果進行專業分析和價值判斷。基于“思維教學”理念對學生表現評價可以從對問題的問答、對問題的觀察、思考與表達層面加以設計。思維過程的教學需要通過一個完整的數學活動作為載體，而這一載體需要設計，通過涉及各種思維類別的教學任務，通過測量學生在完成這些任務的過程中表現出來的思維特征來實現。而思維特征的定性判斷還可以通過設置一些評價量表來實現。

三、結語

總而言之，新課標背景下的思維教學要以學生發展核心素養培養體系為目標，學科素養是連接教育方針與教育教學實踐的橋梁。思維教學要在學科育人目標、教學載體、教學方式方法、課堂學習評價、課程學習資源開發等方面做細、做實。

注：本文系教育部福建師范大學基礎教育課程研究中心2023年度開放課題“大概念統攝下初中數學單元教學設計優化”（項目編號：KCA2023138）的研究成果。