考慮平臺(tái)運(yùn)動(dòng)作用的大口徑冷水管動(dòng)力響應(yīng)特性研究

張 理, 譚 健, 張玉龍, 馬鴻宇, 段青峰, 段夢(mèng)蘭

(1.南方海洋科學(xué)與工程廣東省實(shí)驗(yàn)室(湛江),廣東 湛江 524005; 2.中國石油大學(xué)(北京) 安全與海洋工程學(xué)院,北京 102249; 3.中國科學(xué)院 聲學(xué)研究所 噪聲與振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

隨著共建“21世紀(jì)海上絲綢之路”的不斷推進(jìn),對(duì)電力、淡水、冷能等資源的需求日益增加。而海洋溫差能受天氣、晝夜以及季節(jié)的影響很小,是海洋能中儲(chǔ)量最大、最穩(wěn)定的清潔可再生能源,如何有效利用海洋溫差能成為解決能源問題的關(guān)鍵。海洋溫差能發(fā)電(ocean thermal energy conversion, OTEC)主要依靠熱力循環(huán)系統(tǒng)完成,其基本原理時(shí)利用海洋表面的溫海水加熱低沸點(diǎn)工質(zhì)使之汽化驅(qū)動(dòng)汽輪機(jī)發(fā)電,利用層冷海水將發(fā)電后的工質(zhì)液化以進(jìn)入再次蒸發(fā)發(fā)電流程[1],如圖1所示[2]。冷水管技術(shù)作為海洋溫差能發(fā)電中的核心技術(shù)之一,冷水管(cold-water pipe, CWP)不僅要保證具有足夠大的流量,其在深海環(huán)境中的安全性能也是制約OTEC的難題之一。然而這種大量的內(nèi)流流動(dòng)可能引發(fā)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定,從而導(dǎo)致CWP故障[3]。由于大口徑冷水管道的動(dòng)力學(xué)特性會(huì)受到平臺(tái)運(yùn)動(dòng)、內(nèi)外流流速、底部配重塊以及兩端支承條件的影響,因此開展了對(duì)冷水管道相關(guān)方面的研究,以保證其安全平穩(wěn)的運(yùn)行。

圖1 海洋溫差能發(fā)電工作原理

自冷水管的概念第一次被提出到應(yīng)用于OTEC系統(tǒng)中,冷水管的動(dòng)力性能研究一直都是OTEC裝置中的重點(diǎn)研究對(duì)象。作為一種典型的海洋立管,冷水管的設(shè)計(jì)可以分為三個(gè)主要問題[4]：強(qiáng)度分析(包括極限分析和壓潰分析)、冷水管-平臺(tái)耦合分析、冷水管振動(dòng)分析(包括內(nèi)流激振和渦激振動(dòng))。Kuiper等[5]研究了懸掛輸流管的穩(wěn)定性時(shí),發(fā)現(xiàn)理論預(yù)測(cè)與試驗(yàn)之間存在誤差,其原因是對(duì)管道入口水的負(fù)壓的描述不正確導(dǎo)致的。Halkyard等[6]對(duì)冷水管過去30年的研究工作進(jìn)行了總結(jié)(2014年),發(fā)現(xiàn)研究工作主要集中在波浪、海流及平臺(tái)運(yùn)動(dòng)作用下的冷水管動(dòng)力性能分析上,鮮有考慮內(nèi)流流動(dòng)的影響。司東洋等[7]通過軸向流速比、流速角比和切向流速比三個(gè)進(jìn)流口流場(chǎng)參數(shù)描述自由端邊界條件,從做功的角度分析發(fā)現(xiàn),切向流速比對(duì)管道失穩(wěn)的臨界流速影響較大。2019年Adiputra等重點(diǎn)分析了管道材料、頂部連接方式、底部支撐系統(tǒng)對(duì)冷水管動(dòng)力性能的影響。2021年,Adiputra等[8]又對(duì)冷水管自激振動(dòng)進(jìn)行分析并數(shù)值求解,結(jié)果表明,與頻域相比,時(shí)域中預(yù)測(cè)的臨界流速平均高出20%,與相對(duì)高密度材料相比,輕質(zhì)材料下的配重塊質(zhì)量對(duì)臨界流速的影響更為顯著。

目前,學(xué)者們對(duì)管道動(dòng)力學(xué)的研究主要集中在理想邊界。顏雄等[9]研究了兩端彈性支承輸流管道橫向振動(dòng)的固有特性,發(fā)現(xiàn)較大的對(duì)稱支承剛度下管道的第一階固有頻率下降較快;當(dāng)兩端支承剛度變化時(shí),管道固有頻率在兩端支承剛度相當(dāng)時(shí)取得最值。周永兆等[10]研究?jī)啥算q支輸流管的橫向非線性自由振動(dòng),數(shù)值計(jì)算表明偏微分控制方程結(jié)果比積分-偏微分控制方程結(jié)果更具非線性。鮑健等[11]對(duì)兩端簡(jiǎn)支的細(xì)長(zhǎng)輸流管進(jìn)行了內(nèi)外流耦合振動(dòng)特性分析,發(fā)現(xiàn)與外流相比,內(nèi)流流速的增加雖難以改變彈性管的主振模態(tài),但對(duì)沿管體的振動(dòng)強(qiáng)度影響顯著。劉昌領(lǐng)等[12]基于Hamilton原理建立了一端固定、一端簡(jiǎn)支輸液管道的流固耦合控制方程,采用直接解法得到了管道自由振動(dòng)的固有頻率、臨界壓力和臨界流速的表達(dá)式。厲瞳瞳[13]分析了在不同邊界條件下(兩端固支、兩端簡(jiǎn)支、一端固支一端簡(jiǎn)支等),內(nèi)外流聯(lián)合作用下海底懸跨管道動(dòng)力學(xué)邊值問題,基于廣義積分變換法計(jì)算得到管道固有頻率。包日東等[14]分析了彈性地基一般支承輸流管的動(dòng)力學(xué)特性,結(jié)果表明管道一階臨界流速隨彈性系數(shù)的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。肖斌等[15]研究了兩端固定支撐輸流管振動(dòng)特性,通過引入附加質(zhì)量分析內(nèi)流流速對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。然而,當(dāng)冷水管道受到平臺(tái)運(yùn)動(dòng)、內(nèi)外壓差、內(nèi)外溫差、振動(dòng)疲勞等因素的影響時(shí),管道兩端的約束形式不能簡(jiǎn)化為理想邊界,尤其是管道底部加配重塊時(shí),可能是介于自由邊界與固支或簡(jiǎn)支邊界之間,或者彈性邊界,對(duì)其準(zhǔn)確的描述也是至關(guān)重要。學(xué)者們對(duì)彈性邊界條件下輸流管道展開了大量的振動(dòng)研究。倪樵等[16]采用微分求積方法分析了具有彈性支承輸流管的臨界流速。李琳等[17]利用李茲-伽遼金方法研究了一端彈性支承一端固定支承輸流管,靜態(tài)失穩(wěn)和動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的臨界流速隨彈性支承剛度增加而上升,隨流體壓力的增加而下降;但靜態(tài)失穩(wěn)的臨界流速不隨質(zhì)量比變化,動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的臨界流速隨質(zhì)量比先上升后下降。包日東等[18-19]采用Galerkin方法將運(yùn)動(dòng)方程在模態(tài)空間內(nèi)展開,分析了端部線性彈簧支承和扭轉(zhuǎn)彈簧約束的端部約束懸臂管道的固有特性和穩(wěn)定性。此外,學(xué)者們也開展了大量關(guān)于輸流管道在彈性支承下的非線性振動(dòng)響應(yīng)研究[20-23]。因此對(duì)于大口徑冷水管在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)、內(nèi)外流、配重塊等因素的影響下,邊界支承條件的描述是需要精確無誤的。此外,復(fù)雜的海洋環(huán)境工況導(dǎo)致冷水管道橫向振動(dòng)控制方程發(fā)展成為高階、非線性、偏微分方程,選擇合適的解析方法來研究冷水管動(dòng)力響應(yīng)是十分必要的。

在處理相關(guān)管道動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問題時(shí),常用的解析方法有:Galerkin法[24-28]、有限元法(finite element method)[29-30]、有限元差分法(finite difference method)[31-34]、傳遞矩陣法(transfer matrix metheod)[35-36]、微分求積法(differential quadrature method)[37-39]方法,但是以上方法在計(jì)算上具有局限性和復(fù)雜性的缺點(diǎn)。例如:有限元法在對(duì)流擴(kuò)散方程存在非線性的對(duì)流項(xiàng)時(shí),會(huì)經(jīng)常因?yàn)橛邢拊W(wǎng)格不恰當(dāng)而造成有限元數(shù)值解的失真或振蕩,而通過加密網(wǎng)格解決,又會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量大大增加;有限元差分法則是在處理偏微分方程時(shí),是以Taylor級(jí)數(shù)將方程的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散,從而建立了復(fù)雜的代數(shù)方程組,導(dǎo)致求解過程十分復(fù)雜。本文采用的一種能夠準(zhǔn)確、簡(jiǎn)單、快速求解高階非線性偏微分方程半解析解法。常用的半解析解法,例如:厲曈曈采用廣義積分變換法研究分析了在內(nèi)外流聯(lián)合作用下海底懸跨管道動(dòng)力學(xué)邊值問題;An等[40-41]采用廣義積分變換法分析了氣液兩相流管道的動(dòng)態(tài)特性,及外流引起的渦激振動(dòng)耦合作用的問題,為解決多相流混合輸送問題提供了重要的理論研究基礎(chǔ)和方法;Liang等[43]采用一種半解析方法包括微分求積法和拉普拉斯變換法分析了不同管端邊界條件的輸流管道的動(dòng)力學(xué)行為。

本文針對(duì)冷水管結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問題,基于懸臂梁模型和半解析解法,全面考慮平臺(tái)運(yùn)動(dòng)、材料幾何、波浪、海流、內(nèi)外壓差、內(nèi)流及配重塊的作用,并引入了變約束條件效應(yīng),建立了大口冷水管橫向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)計(jì)算分析模型,推導(dǎo)了相應(yīng)的半解析解。通過半解析解與Galerkin方法和傅里葉級(jí)數(shù)展開技術(shù)得到的結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證了半解析解的收斂性和正確性,分析了在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下平臺(tái)運(yùn)動(dòng)振幅、振動(dòng)頻率、內(nèi)外流和配重塊對(duì)冷水管振動(dòng)響應(yīng)的影響。文中主要參數(shù)變量如表1所示。

表1 主要符號(hào)表

1 振動(dòng)方程及半解析解

1.1 懸臂梁理論

基于大口徑冷水管的大長(zhǎng)度直徑比和大量管內(nèi)流體的特性,采用懸臂梁理論模型進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)特性分析,本文研究管道動(dòng)力響應(yīng)時(shí)僅限于二維平面,假定管道的物理固有屬性(阻尼、剛度、質(zhì)量),動(dòng)力反應(yīng)(加速度、速度、位移)都可以用獨(dú)立的坐標(biāo),即沿管道軸向的位置來描述。基于冷水管大的長(zhǎng)徑比,采用懸臂梁理論模型進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析,如圖2所示。

圖2 懸臂冷水管道梁模型

對(duì)冷水管進(jìn)行受力分析,并對(duì)大口徑冷水管做如下假設(shè),以獲得冷水管的振動(dòng)方程,如圖3所示。

圖3 冷水管受力簡(jiǎn)化模型

(1)管的橫向運(yùn)動(dòng)是在二維平面上;

(2)管長(zhǎng)-直徑比足夠大,滿足歐拉-伯努利理論模型;

(3)內(nèi)流均質(zhì)且為單向流,內(nèi)流流速和海水密度不變,管橫截面積不變;

(4)外流為均勻流;

(5)忽略管道和流體之間摩擦力;

(6)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)對(duì)冷水管的作用僅在管的軸方向上。

基于懸臂梁理論,由此可得冷水管橫向振動(dòng)控制方程

(1)

式中:EI為冷水管的抗彎剛度;w(x,t)為管橫截面的橫向位移;mr為單位長(zhǎng)度上管的自身質(zhì)量;mf為單位長(zhǎng)度上管內(nèi)流體質(zhì)量;T(z)為單位長(zhǎng)度上冷水管的軸向靜等效張力;Ttop為頂部總張力;f(z,t)為冷水管所受的外載荷激勵(lì),t為時(shí)間變量。式(1)左邊的項(xiàng)依次表示彎曲力、結(jié)構(gòu)阻尼力、軸向張力、離心力、頂部張力、科氏力、慣性力和拉力。ma為單位長(zhǎng)度上管的海水附加質(zhì)量,ma=CaρfAo。

考慮參激振動(dòng),軸向等效張力的表達(dá)式

(2)

式中:內(nèi)壓強(qiáng)Pi(z)=ρfgz;冷水管外壓強(qiáng)Po=ρfgz+Δp;Δp為管內(nèi)外壓差(同一深度),壓差取決于進(jìn)水口的幾何形狀,范圍在0.5ρfU2～ρfU2[44],本文取值ρfU2;Tbt為冷水管的濕重,Tbt=(ρr-ρf)ArgL;Twc為配重塊自質(zhì)量,Twc=Td=ρrArgL;a和Ω分別為平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的幅值和頻率[45];k為升沉補(bǔ)償器的剛度,其表達(dá)式為

k=(ρr-ρf)ArgL/ac

(3)

式中,ac為平臺(tái)運(yùn)動(dòng)給定的臨界振幅,一般取10 m。

頂部張力Ttop的表達(dá)式為

Ttop=Tbt+Twc

(4)

根據(jù)Morison[46]方程可獲得,冷水管所受外激勵(lì)載荷f(z,t),在不考慮渦激振動(dòng)的影響,則有

f(z,t)=fi+fd

(5)

式中:fi為冷水管所受到的慣性力,其表達(dá)式為

(6)

fd為冷水管所受的拖曳力,其表達(dá)式為

(7)

管道結(jié)構(gòu)阻尼是結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)所損失的能量,所產(chǎn)生阻尼應(yīng)力與材料的應(yīng)變速度有關(guān),可以用Kelvin-Voigt阻尼模型來表達(dá)

(8)

全面考慮波浪、海流、管內(nèi)流體、管道內(nèi)外壓差以及阻尼對(duì)管道振動(dòng)所產(chǎn)生的影響,則大口徑冷水管的橫流向振動(dòng)控制方程為

(9)

式中,me=ma+mf+mr。

1.2 無量綱化控制方程

通過引入無量綱系數(shù),簡(jiǎn)化冷水管橫向運(yùn)動(dòng)控制方程,無量綱系數(shù)為

(10)

從而得到以下無量綱化后的偏微分方程

(11)

假設(shè)靜態(tài)管道橫向自由振動(dòng)的位移解為

y(x,τ)=Π(x)eλτ

(12)

在不考慮外部激勵(lì)作用下,式(9)可以簡(jiǎn)化為

(13)

根據(jù)式(12)的假設(shè),若特征值具有正實(shí)部,則系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。當(dāng)im(λ)=0,系統(tǒng)由于發(fā)散處于不穩(wěn)定狀態(tài)下;當(dāng)im(λ)≠0時(shí),系統(tǒng)由于振顫反而具有穩(wěn)定性。此外,從式(13)可以看出,無量綱微分方程的第三項(xiàng)具有依賴x的系數(shù),因此特征值的解不能用正弦函數(shù)求解。Dareing等[47]提出了這種微分形式可以通過冪級(jí)數(shù)展開形式來求解。因此特征函數(shù)可以作如下假設(shè)

(14)

式中,an為系數(shù)。將式(14)代入式(13)中,可得

(15)

式(15)中右側(cè)為零,所有項(xiàng)的乘積總和為零。為了使所有項(xiàng)的總和為零,系數(shù)中的每一個(gè)項(xiàng)也必須為零。如此可推導(dǎo)出系數(shù)的遞推關(guān)系為

(16)

方程根據(jù)(16)可以計(jì)算n∈[4,∞]的系數(shù)an,為將求解范圍擴(kuò)大至[0,∞],則式(16)的遞推關(guān)系式修改為a0,a1,a2,a3的線性和,如式(17)所示。

an=Qna0+Wna1+Ena2+Rna3, (n≥0)

(17)

則Qn,Wn,En,Rn可以由式(18)得到

(18)

式(18)的初始條件可根據(jù)式(16)和式(17)來定義,如式(19)所示

(19)

聯(lián)立式(16)～(19),代入式(14),可得

(20)

1.3 多邊界條件

同邊界條件下,管道對(duì)應(yīng)邊界條件下的表達(dá)式不同。當(dāng)邊界條件為固支時(shí),管道的位移和轉(zhuǎn)角為零;當(dāng)邊界條件為簡(jiǎn)支時(shí),管道的位移和彎矩為零;在添加配重塊邊界條件時(shí),管道的彎矩為零,剪力是關(guān)于配重塊質(zhì)量和位移的函數(shù),由此可總結(jié)得到管道的邊界條件無量綱化表達(dá)式,冷水管的上下兩端約束可簡(jiǎn)化為如圖4所示的兩種特殊邊界約束。

圖4 冷水管兩種邊界條件示意圖

(1) 固支-加配重塊

(21)

式中,Kc=TwcL2/EI。

(2) 簡(jiǎn)支-加配重塊

(22)

1.4 方程的求解

根據(jù)邊界條件的表達(dá)式,可以得到四個(gè)關(guān)于系數(shù)a0,a1,a2,a3的線性代數(shù)方程,從而求解相關(guān)出系數(shù)。將式(21)代入式(20),可得

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

同理,在簡(jiǎn)支-加配重塊的邊界條件下可得

(28)

求解出an相關(guān)系數(shù)之后,得到的半解析解,需借助軟件Mathematica來計(jì)算大口徑冷水管道的振動(dòng)控制方程,以及對(duì)比分析解法的收斂性和有效性。

2 解法的收斂性與有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證半解析解法的收斂性,采用如表2所示的冷水管道和流體參數(shù)。在分析半解析解法的收斂性時(shí),冷水管道邊界條件為簡(jiǎn)支-加配重塊,內(nèi)流為0.5 m/s,外流為1.5 m/s,取τ∈[15,20]的時(shí)間間隔內(nèi),平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的振幅為臨界幅值10 m,頻率為0.1π,配重塊質(zhì)量選取一倍的冷水管干重。冷水管道的中點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線,如圖5所示。

表2 冷水管道參數(shù)

圖5 不同截?cái)嚯A數(shù)NW的管道振動(dòng)時(shí)程曲線對(duì)比圖

如圖5所示,當(dāng)展開項(xiàng)數(shù)目NW分別取4,8,12,16和20時(shí),管道的橫向位移先減小后增大,直至趨于穩(wěn)定。結(jié)合理論計(jì)算的解,當(dāng)NW≥12時(shí),管道中點(diǎn)振動(dòng)型態(tài)都很收斂,證明半解析解法收斂性很好。因此在計(jì)算時(shí),展開項(xiàng)數(shù)取NW=16。

為驗(yàn)證半解析解法的準(zhǔn)確性,將半解析解法得到的結(jié)果與Galerkin方法和傅里葉級(jí)數(shù)展開技術(shù)得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖6所示。所驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的邊界條件為簡(jiǎn)支-加配重塊,截?cái)嚯A數(shù)NW=16。從圖分析可知,半解析解法得到的結(jié)果與Galerkin方法和傅里葉級(jí)數(shù)展開技術(shù)得到的結(jié)果幾乎一致,從而驗(yàn)證半解析解法的正確性。

圖6 管道中點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線 (x=0.5)

3 分析與討論

基于本文的半解析解,可以得到平臺(tái)運(yùn)動(dòng)(振幅a和運(yùn)動(dòng)頻率)、內(nèi)流U、外流u以及配重塊質(zhì)量對(duì)求解的結(jié)果存在較大的影響。本章中,將詳細(xì)地研究上述參數(shù)對(duì)冷水管動(dòng)力響應(yīng)的影響。在分析中,仍采用表2中的參數(shù),管道材料為HDPE。

3.1 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)對(duì)管道動(dòng)力響應(yīng)特性分析

在本節(jié)中研究平臺(tái)作用對(duì)冷水管動(dòng)力響應(yīng)的影響,包括平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的幅值a和振動(dòng)頻率Ω。研究指出,平臺(tái)運(yùn)動(dòng)實(shí)際上通過對(duì)局部軸向力項(xiàng)的影響而改變冷水管的振幅或振動(dòng)頻率。通過半解析解法計(jì)算得到管道中點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線,并對(duì)比了在兩種不同邊界條件下有無平臺(tái)作用的振動(dòng)結(jié)果。其中選取內(nèi)流流速0.5 m/s,外流流速為1.5 m/s,配重塊質(zhì)量為。

3.1.1 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值

本節(jié)研究平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值a對(duì)管道動(dòng)力響應(yīng)特性的影響。選定平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值a的取值范圍為[0,10],平臺(tái)運(yùn)動(dòng)振動(dòng)頻率Ω=0.1π,其他參數(shù)仍從表2中選取。圖7顯示了在兩種邊界條件下不同平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值下管道橫向位移的發(fā)展規(guī)律曲線。其中:x=0.5代表在管道的中點(diǎn)處;x=0.75代表在管道的3/4處。

圖7 不同邊界條件下平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值對(duì)管道橫向位移的影響

圖7(a)為在固支-加配重塊的邊界條件下的管道橫向位移發(fā)展曲線。可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)不考慮平臺(tái)作用時(shí)管道中點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)程曲線如(A：x=0.50,a=0)所示。當(dāng)考慮平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)(a≠0),隨著平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值a的增大,管道中點(diǎn)的橫向位移逐漸增大;而在管道3/4處的橫向位移卻逐漸減小。平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的作用雖難以改變彈性管的主振模態(tài),但對(duì)沿管體的振動(dòng)強(qiáng)度在x=0.50有一定的增強(qiáng)效果,在x=0.75處有一定的抑制效果。主要原因是平臺(tái)運(yùn)動(dòng)對(duì)管道所產(chǎn)生的局部軸向力,其影響隨著管道振型沿管體方向由正變負(fù)。此外,對(duì)比a=0的管道振動(dòng)幅值(圖中A部分),在a=10時(shí)(圖中B部分),管道振幅出現(xiàn)明顯陰影重疊現(xiàn)象,管道振動(dòng)響應(yīng)更為復(fù)雜多變。這表明,在管道振動(dòng)響應(yīng)中,若不考慮平臺(tái)作用的影響將嚴(yán)重低估管道振動(dòng)位移,造成預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際情況偏差過大。圖7(b)為在簡(jiǎn)支-加配重塊的邊界條件下的管道橫向位移發(fā)展曲線。可以發(fā)現(xiàn),隨著平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值a的增大,管道的橫向位移逐漸增大(x=0.50,x=0.75)。對(duì)比圖7(a)和圖7(b),平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值對(duì)管道在固支-加配重塊的邊界條件下的橫向位移影響更大,更為復(fù)雜。管道在此兩種不同邊界條件下,管道隨平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)響應(yīng)有所不同。主要原因在固支邊界條件下轉(zhuǎn)角為零,而在簡(jiǎn)支邊界條件下,彎矩為零,從而導(dǎo)致利用半解析解法求解的特征值與特征函數(shù)的差異。

進(jìn)一步,為更直觀體現(xiàn)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值對(duì)冷水管振動(dòng)頻率的影響,另選取U=m/s,u=0,圖8給出了不同平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值a下冷水管振動(dòng)頻率發(fā)展的曲線圖。如圖8(a)所示,在固支-加配重塊的邊界條件下,隨平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值a的增大,管道振動(dòng)頻率在a∈[1,2],a∈[5,7]和a∈[8,10]范圍內(nèi)逐漸增大,而在a∈[2,5]幾乎不發(fā)生改變。如圖8(b)所示,在簡(jiǎn)支-加配重塊的邊界條件下,管道振動(dòng)頻率不隨平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值的增大而發(fā)生改變。

圖8 不同邊界條件下平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值對(duì)振動(dòng)頻率的影響

3.1.2 平臺(tái)振動(dòng)頻率Ω

本節(jié)研究平臺(tái)振動(dòng)頻率Ω對(duì)管道動(dòng)力響應(yīng)的影響。選定Ω=[0.1π,π]Hz,平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值a為10 m,其他參數(shù)仍從表2中選取。圖9顯示了在兩種邊界條件下不同平臺(tái)振動(dòng)頻率下管道橫向位移的發(fā)展規(guī)律曲線。

圖9 兩種邊界條件下平臺(tái)運(yùn)動(dòng)振動(dòng)頻率對(duì)管道 橫向位移的影響

圖9給出了在兩種邊界條件不同平臺(tái)振動(dòng)頻率下管道橫向位移發(fā)展的曲線圖。可以發(fā)現(xiàn),在簡(jiǎn)支-加配重塊的邊界條件下,隨平臺(tái)振動(dòng)頻率Ω的增大,管道在x=0.25,0.50和0.75處的橫向位移逐漸減小。在固支-加配重塊的邊界條件下,管道在不同位置處的橫向位移隨平臺(tái)振動(dòng)頻率的增大,呈現(xiàn)不同的發(fā)展規(guī)律。在x=0.25處,管道橫向位移隨平臺(tái)振動(dòng)頻率的增大逐漸減小,后保持不變;在x=0.50處,管道橫向位移隨平臺(tái)振動(dòng)頻率的增大先減小后逐漸增大,后保持不變;在x=0.75處,管道橫向位移隨平臺(tái)振動(dòng)頻率的增大先增大,后減小,再增大,后保持不變。此外,從圖9中還可以發(fā)現(xiàn),在兩種邊界條件下,平臺(tái)振動(dòng)頻率僅在Ω≤0.6π時(shí),影響管道橫向位移的發(fā)展規(guī)律,但對(duì)管道的最終橫向位移幾乎沒有影響。主要原因是管道在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的作用下,其振動(dòng)頻率Ω的變化所產(chǎn)生局部軸向力的變化很小,可以忽略其影響。

3.2 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下內(nèi)流對(duì)管道動(dòng)力響應(yīng)特性分析

為了探究平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下內(nèi)流流速對(duì)管道動(dòng)力響應(yīng)的影響,本節(jié)選取平臺(tái)運(yùn)動(dòng)頻率(a=0,Ω=0πHz、a=5 m,Ω=0.2πHz和a=10 m,Ω=0.2πHz),外流流速u=0,時(shí)間間隔τ∈[0,20],配重塊重量為Twc=Td,其他參數(shù)仍從表2中選取。圖10顯示了在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下不同內(nèi)流流速對(duì)管道中點(diǎn)橫向位移的發(fā)展規(guī)律曲線。

圖10 兩種邊界條件下管道振幅與內(nèi)流流速之間的 關(guān)系曲線圖

圖10(a)給出了在固支-加配重塊的邊界條件下管道振幅隨內(nèi)流流速發(fā)展的曲線圖。可以發(fā)現(xiàn),在無平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下,低內(nèi)流流速對(duì)管道的振幅影響幾乎無影響。而相比于有平臺(tái)作用下,內(nèi)流流速對(duì)管道振幅的影響十分顯著,在υ∈[0,0.025]內(nèi),管道振幅逐漸增大,而在υ∈[0.025,0.035]內(nèi),管道振幅不發(fā)生改變,主要原因是在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)與內(nèi)流聯(lián)合作用的影響下,管道振動(dòng)進(jìn)入塑性軟化階段,由于阻尼的影響,隨著內(nèi)流流速的增加,自由振動(dòng)部分、自由伴隨振動(dòng)部分和強(qiáng)迫振動(dòng)的穩(wěn)定振動(dòng)部分的振幅按一定規(guī)律減小,最后消失,進(jìn)入穩(wěn)定階段(即過渡階段振動(dòng))。當(dāng)內(nèi)流流速超過0.035,管道振幅出現(xiàn)突變,管道橫向位移開始不收斂,此時(shí)管道振動(dòng)的振幅與時(shí)間成正比,振幅可以趨于無限大,管道將發(fā)生結(jié)構(gòu)失穩(wěn)現(xiàn)象。此外,從圖10(a)種還可以發(fā)現(xiàn),增大平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值并不會(huì)改變管道出現(xiàn)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的內(nèi)流流速。圖10(b)給出了在簡(jiǎn)支-加配重塊的邊界條件下管道振幅隨內(nèi)流流速的發(fā)展曲線圖。可以發(fā)現(xiàn),管道振幅隨內(nèi)流流速的增加而逐漸增大,管道在υ=0.3時(shí)發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象,但并沒有出現(xiàn)如圖10(a)中的過渡階段振動(dòng)。此外對(duì)比圖10(a)和圖10(b),可以發(fā)現(xiàn),管道在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)和內(nèi)流流速聯(lián)合作用下,在固支-加配重塊的邊界條件下,更容易發(fā)生結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的現(xiàn)象。

進(jìn)一步,為了研究?jī)?nèi)流流速對(duì)管道振動(dòng)頻率的影響,另選取平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值a=0.5 m,平臺(tái)運(yùn)動(dòng)頻率Ω=0.1πHz。如圖11所示,管道在固支-加配重塊和簡(jiǎn)支-加配重塊的邊界條件下,隨著內(nèi)流流速的增大,管道的前二階振動(dòng)頻率基本不發(fā)生改變。主要原因是冷水管為大口徑的管道,在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)和內(nèi)流聯(lián)合作用下,管道的振動(dòng)受平臺(tái)運(yùn)動(dòng)作用的影響更大。

圖11 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下不同內(nèi)流流速對(duì)振動(dòng)頻率的影響

3.3 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下外流對(duì)管道動(dòng)力響應(yīng)特性分析

為了探究平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下外流流速對(duì)管道動(dòng)力響應(yīng)的影響,本節(jié)選取平臺(tái)運(yùn)動(dòng)頻率(a=0,Ω=0 π、a=5 m,Ω=0.2π Hz和a=10 m,Ω=0.2π Hz),內(nèi)流流速U=0,配重塊重量為Twc=Td,其他參數(shù)仍從表2中選取。圖12顯示了在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下不同外流流速對(duì)管道中點(diǎn)橫向位移的發(fā)展規(guī)律曲線。

圖12 兩種邊界條件下管道振幅與外流流速之間的 關(guān)系曲線圖

為了探究邊界條件對(duì)冷水管動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響問題,本節(jié)分別選取外流流速u=0,2 m/s,結(jié)構(gòu)阻尼為0.016,內(nèi)流流速U∈[0,0.6]m/s,取τ∈[0,20]的時(shí)間間隔內(nèi)。邊界條件為固支-固支、固支-加配重塊、固支-自由、簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支、簡(jiǎn)支-加配重塊、簡(jiǎn)支-自由。

圖12給出了在固支-加配重塊和簡(jiǎn)支-加配重塊兩種邊界條件下,管道中點(diǎn)振幅隨外流流速的發(fā)展曲線圖。可以發(fā)現(xiàn),平臺(tái)運(yùn)動(dòng)對(duì)于僅受外流作用下管道振動(dòng)的橫向位移影響甚微。隨著外流流速的增大,管道橫向位移呈現(xiàn)近線性增長(zhǎng);主要原因是外流作用于管道的拉力為徑向,與橫向位移同向;且軸向張力、離心力、頂部張力和慣性力相較于拉力不在同一數(shù)量級(jí)上,管道結(jié)構(gòu)處于線性階段,管道結(jié)構(gòu)的反應(yīng)處于彈性反應(yīng)。此外,從圖12中還可以發(fā)現(xiàn),在同一外流流速下,管道在簡(jiǎn)支-加配重塊的邊界條件下的橫向位移相較于固支-加配重塊的邊界條件下要大,當(dāng)外流流速越大,管道橫向位移在兩種邊界條件下的差值越大。管道在簡(jiǎn)支-加配重塊的邊界條件下出現(xiàn)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的外流流速更小。

3.4 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下配重塊對(duì)管道動(dòng)力響應(yīng)特性分析

(29)

式中,N為配重塊質(zhì)量的倍數(shù)。

為了探究?jī)H在內(nèi)流作用下配重塊對(duì)管道變形的影響,本節(jié)選定配重塊質(zhì)量的倍數(shù)N分別為1.0,1.2,1.4,1.8和2.0,外流u=0。圖13顯示了不同配重塊重量工況下管道振幅隨內(nèi)流流速的發(fā)展規(guī)律曲線圖。

圖13 兩種邊界條件下管道振幅與內(nèi)流之間的關(guān)系曲線圖

圖13(a)為在固支-加配重塊的邊界條件下的管道橫向位移發(fā)展曲線。可以看出,逐步增大底部配重塊質(zhì)量,管道內(nèi)流流速對(duì)管道的穩(wěn)定變形也產(chǎn)生顯著的影響。以配重塊質(zhì)量為1倍時(shí)的管道橫向位移為基準(zhǔn)值(υ=0.04),配重塊質(zhì)量的倍數(shù)為1.2,1.4,1.8,2倍時(shí)管道橫向位移分別減小34.76%,38.50%,66.39%,69.31%。管道底部配重塊的質(zhì)量越大,對(duì)管道的橫向位移抑制效果也越強(qiáng)。進(jìn)一步,基于內(nèi)流流速υ=0.025和υ=0.030時(shí)的結(jié)果,管道底部配重塊的質(zhì)量可有效抑制管道進(jìn)入過渡階段振動(dòng)。這是因?yàn)榕渲貕K質(zhì)量越大,導(dǎo)致管道底部約束邊界條件中的剪力和位移逐漸增大,而管道中點(diǎn)振動(dòng)變形越小,從而使得管道底部配重塊的抑制效果越強(qiáng)。根據(jù)圖13(b),在管道邊界條件為簡(jiǎn)支-加配重塊時(shí),當(dāng)配重塊質(zhì)量倍數(shù)N=1.8時(shí),內(nèi)流流速為0.30 m/s后,與N=1,1.2,1.4,2.0時(shí)管道的橫向位移相比,管道振動(dòng)出現(xiàn)突變,底部配重塊重量對(duì)于管道振動(dòng)變形抑制無顯著效果(橫向位移超出限值,不討論)。在內(nèi)流流速υ=0.5時(shí),以配重塊質(zhì)量為1倍時(shí)的管道橫向位移為基準(zhǔn)值,配重塊質(zhì)量的倍數(shù)為1.2,1.4,2.0倍時(shí)管道橫向位移分別減小6.24%,51.90%,95.29%。總體而言,管道的邊界條件與配重塊質(zhì)量對(duì)管道變形的影響是相互耦合的,若邊界條件為固支-加配重塊時(shí),為抑制管道變形,管道底部配重塊質(zhì)量可以更大些,若邊界條件為簡(jiǎn)支-加配重塊時(shí),較小的管道底部配重塊質(zhì)量可達(dá)到較好的抑制效果。

為了探究?jī)H在外流作用下配重塊質(zhì)量對(duì)管道變形的影響,本節(jié)仍選取配重塊質(zhì)量的倍數(shù)N分別為1.0,1.2,1.4,1.8和2.0,內(nèi)流流速為零。圖14顯示了不同配重塊質(zhì)量工況下管道振幅隨外流流速的發(fā)展規(guī)律曲線圖。從圖14中可以看出,管道在固支-加配重塊邊界條件下,以配重塊質(zhì)量為1.0倍時(shí)的管道橫向位移為基準(zhǔn)值(u=6 m/s),配重塊質(zhì)量的倍數(shù)為1.2,1.4,1.8,2.0時(shí)管道橫向位移分別減小15.35%,27.84%,37.73%,41.56%;在簡(jiǎn)支-加配重塊邊界條件時(shí),管道橫向位移分別減小19.43%,35.31%,45.17%,49.86%。相較于固支-加配重塊邊界條件,在簡(jiǎn)支-加配重塊邊界條件時(shí),增加配重塊質(zhì)量對(duì)抑制管道變形的效果更好。進(jìn)一步,隨外流流速的增大,管道在不同配重塊質(zhì)量的倍數(shù)下的橫向位移差值逐漸增大。基于外流流速變化對(duì)配重塊抑制管道變形的結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn),外流流速與配重塊重量對(duì)管道變形的影響也是相互耦合的,若外流流速越大,管道底部配重塊應(yīng)越大,才能保證配重塊有效地發(fā)揮限制管道變形的作用。

圖14 兩種邊界條件下管道振幅與外流流速之間的 關(guān)系曲線圖

進(jìn)一步,圖15給出了不同配重塊質(zhì)量的倍數(shù)N下管道固有頻率變化的曲線圖,另選取U=m/s,u=0。可以發(fā)現(xiàn),在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下配重塊質(zhì)量對(duì)于管道的振動(dòng)頻率影響十分顯著。如圖15(a)所示,當(dāng)邊界條件為固支-加配重塊時(shí),管道的前二階振動(dòng)頻率隨配重塊重量的增加呈現(xiàn)先增大后減小,如此循環(huán);值得注意的是,一階振動(dòng)頻率與二階振動(dòng)頻率增大(或減小)趨勢(shì)發(fā)生改變時(shí)的配重塊質(zhì)量是不同的。如圖15(b)所示,當(dāng)邊界條件為簡(jiǎn)支-加配重塊時(shí),管道的頻率隨配重塊質(zhì)量的增加而逐漸增大。

圖15 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下不同配重塊質(zhì)量對(duì)振動(dòng)頻率的影響

4 結(jié) 論

本文針對(duì)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)作用下大口徑冷水管動(dòng)力響應(yīng)問題,根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論和半解析解法,進(jìn)行了管道力學(xué)的理論推導(dǎo),并結(jié)合平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值、平臺(tái)運(yùn)動(dòng)頻率、內(nèi)流、外流和配重塊參數(shù)進(jìn)行分析,得到以下結(jié)論。

(1)基于半解析解法和懸臂梁理論模型,全面考慮了平臺(tái)運(yùn)動(dòng)、波浪、海流、內(nèi)外壓差及內(nèi)流的作用,并利用無量綱法建立了管道橫向振動(dòng)控制的力學(xué)模型,推導(dǎo)了考慮平臺(tái)運(yùn)動(dòng)作用下的管道力學(xué)響應(yīng)的半解析解。通過與Galerkin方法和傅里葉級(jí)數(shù)展開技術(shù)得到的結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證了理論模型的正確性。

(2)當(dāng)僅考慮平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值,對(duì)管道的振動(dòng)變形隨邊界條件和管道位置的不同而有差異。隨平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值的增大,在固支-加配重塊的邊界條件下,管道中點(diǎn)處的變形增加,而在管道3/4處的變形卻減小,管道的振動(dòng)頻率總體呈現(xiàn)增大趨勢(shì);但對(duì)簡(jiǎn)支-加配重塊邊界條件下的管道變形和振動(dòng)頻率影響甚微。當(dāng)不考慮平臺(tái)運(yùn)動(dòng)幅值,平臺(tái)振動(dòng)頻率僅在Ω≤0.6π時(shí),影響管道橫向位移的發(fā)展規(guī)律,但對(duì)管道的最終橫向位移幾乎沒有影響。

(3)考慮平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的作用,可顯著提高內(nèi)流對(duì)管道振動(dòng)的影響,使得管道在較低的內(nèi)流流速下進(jìn)入過渡階段,隨后出現(xiàn)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)現(xiàn)象。在固支-加配重塊的邊界條件下,管道進(jìn)入過渡階段的無量綱內(nèi)流流速為0.035,而在簡(jiǎn)支-加配重塊邊界條件下的無量綱內(nèi)流流速為0.3。當(dāng)不考慮內(nèi)流流速作用,平臺(tái)運(yùn)動(dòng)對(duì)于僅受外流作用下管道振動(dòng)的橫向位移影響甚微。隨著外流流速的增大,管道橫向位移呈現(xiàn)近線性增長(zhǎng)。

(4)管道底部配重塊質(zhì)量可有效抑制管道振動(dòng)變形,管道底部配重塊的質(zhì)量越大,對(duì)管道的橫向位移抑制效果越強(qiáng),當(dāng)僅考慮內(nèi)流的作用,在固支-加配重塊的邊界條件下,隨底部配重塊質(zhì)量越大,管道進(jìn)入過渡階段所需內(nèi)流流速不斷增大。平臺(tái)運(yùn)動(dòng)作用下,考慮內(nèi)流或外流的影響,相較于在固支-加配重塊的邊界條件下,在簡(jiǎn)支-加配重塊的邊界條件下,增大底部配重塊質(zhì)量對(duì)管道振動(dòng)變形的效果更好。平臺(tái)運(yùn)動(dòng)下對(duì)于管道的振動(dòng)頻率,隨配重塊質(zhì)量的增加,當(dāng)邊界條件為固支-加配重塊時(shí),管道的前二階振動(dòng)頻率隨配重塊質(zhì)量的增加呈現(xiàn)先增大后減小,如此循環(huán);當(dāng)邊界條件為簡(jiǎn)支-加配重塊時(shí),管道的頻率隨配重塊質(zhì)量的增加而逐漸增大。