非均布約束剛度下硬涂層圓柱殼自由振動的半解析建模及分析

楊 建, 張 月, 宋 華

(遼寧科技大學 機械工程與自動化學院,遼寧 鞍山 114051)

由于結構簡單和力學性能好等優點,薄壁圓柱殼已廣泛應用于航空航天等領域,如航空發動機機匣、空間站艙室、飛機及火箭殼體等。該類結構在服役過程中,長期承受動力源強迫振動等復雜交變載荷作用,極易發生過大振動、結構共振甚至疲勞失效等現象[1]。硬涂層作為一種特殊的金屬基或陶瓷基熱障涂層材料,同時兼具高硬度、耐高溫、耐腐蝕和高阻尼等優點[2]。近年來,通過表面涂敷硬涂層材料對薄壁圓柱殼結構實施阻尼減振的方法受到廣泛關注,這為航空航天薄壁圓柱殼構件在復雜環境下的振動控制提供了新方向[3-5]。

在航空動力裝備中,薄壁圓柱殼結構通常通過螺栓連接的方式固定在其他殼體或基體部件上。由于制造、安裝誤差以及振動松動等因素的影響,螺栓預緊力會呈現一定程度的周向不一致的失諧特征,導致薄壁圓柱殼邊界端部螺栓連接約束剛度呈現周向非均勻分布,進而直接影響硬涂層薄壁圓柱殼復合結構的模態及強迫振動特性[6]。因此,在考慮螺栓連接失諧的基礎上,開展非均布約束剛度下硬涂層薄壁圓柱殼強迫振動的半解析建模及分析具有重要實際意義。

近年來,國內外學者對螺栓連接彈性約束下的硬涂層薄壁圓柱殼復合結構的數學建模及振動特性分析開展了大量研究工作。Sun等[7]結合試驗測試和Rayleigh-Ritz法構建了均勻分布彈性約束下硬涂層薄壁圓柱殼的半解析模型,并分析了該復合結構的固有振動特性。Zhang等[8-9]分別利用有限單元法和Rayleigh-Ritz法對彈性約束硬涂層薄壁圓柱殼的線 性及非線性強迫振動特性進行分析,并提出一種連續變剛度彈性約束模型,可以在一定程度上考慮螺栓連接的非均布性,但該模型的應用基礎在于各螺栓連接具有相同的約束剛度分布,無法描述螺栓連接的失諧問題。而現有關于薄壁圓柱殼振動問題的研究大多將螺栓連接考慮為均勻分布的彈性約束[10-12]。因此,目前對于螺栓連接失諧條件下的硬涂層薄壁圓柱殼復合結構的半解析建模及振動特性研究仍不完善,螺栓連接失諧對復合結構振動特性的影響尚有待進一步深入探討。

本文通過建立周向離散化的螺栓連接非均布約束剛度模型,來描述硬涂層薄壁圓柱殼的螺栓連接失諧問題,在此基礎上,利用Rayleigh-Ritz法建立非均布約束剛度下硬涂層薄壁圓柱殼復合結構自由振動的半解析模型。進而,深入分析螺栓連接失諧對硬涂層(NiCoCrAlY+YSZ)薄壁圓柱殼復合結構固有振動特性的作用規律。

1 周向離散非均布彈性約束模型

以8個螺栓連接為例,考慮螺栓彈性約束的硬涂層薄壁圓柱殼復合結構的幾何模型如圖1所示,該結構通過底部法蘭固定在其他基體部件上。圖1中,L和R0分別為圓柱殼的高度和內徑。

圖1 螺栓連接硬涂層薄壁圓柱殼復合結構幾何模型

由于螺栓連接自身的離散性,螺栓附近法蘭與基體的接觸壓力沿周向方向將呈一定的非均勻分布。若螺栓預緊力存在周向不一致問題,該接觸壓力還將出現相應的周向失諧現象。對于螺栓連接來說,預緊力越大,兩連接件之間的接觸壓力越大,螺栓約束剛度則越大,這恰好說明接觸壓力的周向分布規律則從側面反映了螺栓約束剛度的周向分布規律。為有效描述螺栓預緊力周向不一致所導致的彈性約束剛度失諧問題,本文提出了一種周向離散非均布彈性約束模型,其示意圖如圖2所示。

圖2 硬涂層圓柱殼周向離散非均布彈性約束模型

圖2中:正交曲線坐標系xθz的原點位于硬涂層薄壁圓柱殼復合結構的中性面上;R為中性面曲率半徑;u,v和w分別為中性面上任意一點沿軸向x、周向θ和徑向z方向的位移;t1和t2分別為圓柱殼基體和硬涂層的厚度。與常用的周向均布彈性約束模型一致,該模型采用彈簧約束描述螺栓連接的彈性約束,其約束邊界任意一點的組合彈簧包含x,θ,z方向的3個平動彈簧和繞y軸的一個扭轉彈簧,對應的彈性約束剛度分別為ku,kv,kw和kt。該模型根據螺栓連接的數量,將硬涂層圓柱殼結構沿周向以螺栓為中心等距離散為M個區域,在假定單個螺栓連接區域彈簧剛度均勻分布的條件下,允許不同的螺栓連接具有不同的彈性約束剛度,因而可以有效表征硬涂層圓柱殼的彈性約束剛度失諧問題,是對傳統周向均布彈性約束模型的進一步發展。對于周向彈性約束剛度均勻分布的螺栓連接,其彈性約束勢能Ub為

(1)

式中,wx為?w/?x。然而,由于約束剛度的非均布性,式(1)不再適用于周向離散非均布彈性約束的螺栓連接。為此,本文給出了改進后的周向離散非均布彈性約束勢能Ub,具體可表示為

θλ1=2(λ-1)π/M,θλ2=2λπ/M

(3)

2 自由振動半解析建模

本文利用Love一階近似理論和Gram-Schmidt正交多項式構建殼體能量方程和位移容許函數,進而采用Rayleigh-Ritz法建立非均布約束剛度下硬涂層薄壁圓柱殼復合結構自由振動半解析模型。

2.1 能量方程

根據Love一階近似理論,對于h?L的條件下,硬涂層圓柱殼復合結構中任意點的正應變和切應變可分別表示為

(4)

(5)

假設硬涂層圓柱殼處于平面應力狀態,則該復合結構的延伸剛度Aij、耦合剛度Bij和彎曲剛度Dij可通過式(6)進行計算

(6)

(7)

(8)

則硬涂層圓柱殼復合結構的應變能Uε可通過式(9)進行計算[13]

(9)

式中,ψ和χ分別為剛度系數矩陣和應變向量,其表達式分別為

(10)

(11)

類似地,硬涂層圓柱殼復合結構的動能Tk可表示為

(12)

式中,ρ為加權密度,ρ=t1ρ1+ρ2t2。

2.2 位移容許函數

硬涂層圓柱殼復合結構中性面上任意一點沿軸向、周向和徑向的位移容許函數可假設為

u=U(x)cos(nθ)sin(ωt),v=V(x)sin(nθ)sin(ωt),w=W(x)cos(nθ)sin(ωt)

(13)

式中:n為周向波數;ω為角頻率;U(x),V(x)和W(x)為軸向振型函數,可定義為

(14)

2.3 動力學方程

通過去除彈性約束勢能Ub、結構應變能Uε和動能Tk表達式中的時間t項,構造硬涂層圓柱殼的拉格朗日函數如下

∏=Uε+Ub-Tk

(15)

根據Rayleigh-Ritz法,分別利用式(18)對變量am,bm和cm求偏導并賦零值,即

(16)

由此可得到3N個包含變量am,bm和cm的方程,將其轉換成矩陣形式則可表示為

(K*+Kb-ω2M)q=0

(17)

式中:K和M分別為硬涂層圓柱殼的3N×3N階復剛度矩陣和質量矩陣;Kb為周向離散非均布彈性約束的3N×3N階剛度矩陣;q為3N×1階特征向量(Ritz向量),可表示為

q={a1,a2,…,aN,b1,b2,…,bN,c1,c2,…,cN}T

(18)

將式(13)代入式(2)并展開可得任意周向波數n和任意螺栓個數λ條件下的周向離散非均布彈性約束勢能Ub的通用表達式,去除時間項后可表示為

(19)

其中,

(20)

則周向離散非均布彈性約束剛度矩陣Kb為

(21)

(22)

其中,

(23)

矩陣K*和M的具體表達式可參考文獻[15]。由于復彈性模量中引入了各層材料的耗損因子,則材料阻尼矩陣D已經包含在硬涂層圓柱殼復剛度矩陣K*的虛部中。通過求解動力學方程式(17),便可得到特征向量q,進而獲得各種彈性約束失諧情況下的模態振型。同時,周向波數n下的固有頻率f可通過下式進行計算

|K*+Kb-ω2M|=0

(24)

fn=Re(ωn)/2π

(25)

式中,函數Re(x)為返回復數x的實部。

3 分析與討論

3.1 模型驗證

本文以涂敷NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的圓柱殼復合結構為例,搭建了螺栓連接硬涂層圓柱殼振動試驗平臺,以驗證所研發的半解析模型的合理性。試驗測試系統如圖3所示,硬涂層圓柱殼的底部通過8個M8螺栓將其固定到水平振動臺臺面上,螺栓擰緊力矩設置為40 N·m,通過力錘法獲得硬涂層圓柱殼的各階固有頻率,其中錘擊后硬涂層圓柱殼的時域加速度響應則通過激光多普勒測振儀進行測量。需要說明的是,由于試驗條件限制,在固有頻率測試過程中會出現一定程度的丟階現象。

圖3 硬涂層圓柱殼自由振動試驗測試系統

本文所采用的硬涂層圓柱殼的幾何參數為:高度L=95 mm,內徑R0=142 mm,圓柱殼基體厚度t1=2 mm,硬涂層涂敷厚度t2=0.31 mm,相關材料參數如表1所示。這里為方便模型驗證,針對周向離散非均布彈性約束模型,各離散螺栓連接區域的約束剛度值均取為相同,具體如表2所示。

表1 復合結構材料參數

表2 周向離散非均布彈性約束剛度取值

硬涂層圓柱殼固有頻率的理論計算和試驗測試結果對比如表3所示,其中偏差C=(A-B)/B×100%。

表3 硬涂層圓柱殼固有頻率的計算與試驗值對比

從表3中可以看出,結構固有頻率的計算值與試驗值的最大偏差為4.54%,具有較好的一致性;同時,該計算值與經典的周向均布彈性約束模型計算結果完全一致,該對比結果有效驗證了半解析模型和周向離散非均布彈性約束模型的正確性。

另外,作為試驗驗證的補充,這里將理論和有限元計算結果作進一步的對比,如表4所示。由于有限元方法中模擬螺栓連接的彈簧約束剛度的含義、單位及取值均與半解析不同[16],為保證結果的可比性,這里以固支作為硬涂層圓柱殼底部的邊界條件。對比結果顯示,結構固有頻率的計算值與有限元值的一致性較好,進一步驗證了該半解析公式的正確性。

表4 硬涂層圓柱殼固有頻率的半解析與有限元值對比

3.2 約束剛度失諧參數影響分析

螺栓連接區域約束剛度的失諧對硬涂層圓柱殼復合結構的振動特性具有重要影響。因此,這里分別以單螺栓約束剛度失諧為例,分析不同螺栓連接數量(以M=8,16,32和64為例)條件下失諧參數對該復合結構各階固有頻率的影響規律。基于表2中各螺栓的周向離散非均布彈性約束剛度值,定義失諧參數為相應約束剛度的縮放系數rk,其取值范圍假定為0.50～1.00,間隔為0.05。其中,螺栓個數M=8,16,32和64時,約束剛度失諧參數對結構各階固有頻率的影響規律分別如圖4所示。從圖4可以看出,在不同螺栓數量下,隨著約束剛度縮放系數rk的增加,復合結構的各階固有頻率整體呈現逐漸增加的變化規律,相應的變化率則呈現逐漸減小的變化趨勢。

圖4 不同螺栓數量下失諧參數對各階固有頻率的影響

在螺栓數量M=8條件下,周向波數n=5,9時的固有頻率變化則出現略微減小的變化規律,且當周向波數n=1,3,5,7和9奇數時,固有頻率對約束剛度縮放系數rk的變化相對較為敏感;在螺栓數量M=16條件下,周向波數n=5,6和7時的固有頻率變化則出現略微減小的變化趨勢,且當周向波數n=1,2和3時,約束剛度縮放系數rk的變化對結構固有頻率影響較為顯著,當周向波數n≥4時,不同失諧參數下固有頻率隨周向波數n的變化規律基本不變。在螺栓數量M=32條件下,失諧參數對結構固有頻率的影響主要集中在n=1,2,3,4,5和6前6個周向波數范圍內,且不同失諧參數下固有頻率隨周向波數n的變化規律基本保持一致。在螺栓數量M=64條件下,失諧參數對結構固有頻率的影響主要集中在n=2,3,4,5,6,7和8中間這7個周向波數范圍內,且與M=32情況類似,不同失諧參數下固有頻率隨周向波數n的變化趨勢保持較好的一致性。

綜合圖4中各曲線的變化規律可知,隨著螺栓數量的增加,約束剛度失諧參數對硬涂層圓柱殼復合結構固有頻率的顯著影響整體上逐漸由低周向波數轉向高周向波數。由于硬涂層圓柱殼周向波數的增加與螺栓數量的增加存在一定程度的一致性,因此,這一現象可能與螺栓數量增加所導致的螺栓連接區域的減小存在密切聯系。

4 結 論

本文通過半解析建模及不同螺栓數量下約束剛度失諧參數對硬涂層圓柱殼復合結構自由振動特性對比分析,得到以下結論:

(1) 硬涂層圓柱殼復合結構固有頻率的計算值與試驗值的偏差不超過4.54%,具有較好的一致性,同時與有限元計算值基本一致,且與經典的周向均布彈性約束模型結果完全一致,有效驗證了該半解析模型及周向離散非均布彈性約束模型的正確性。

(2) 在不同螺栓數量下,隨著約束剛度失諧參數的增加,固有頻率整體呈現逐漸增加的變化趨勢其變化速率逐漸減小。且螺栓數量越多,不同失諧參數下固有頻率隨周向波數變化的一致性越好。

(3) 隨著螺栓數量的增加,約束剛度失諧參數對硬涂層圓柱殼固有頻率的顯著影響整體上由低周向波數轉向高周向波數,這可能與螺栓數量增加所導致的螺栓連接區域減小存在密切聯系。