一種變體飛機的軌跡跟蹤控制方法研究

明瑞晨，劉小雄，王磊

西北工業大學，陜西 西安 710072

變體飛機是指在飛行過程中可以改變外形的飛行器。它最早是從仿生學的角度提出的，可以根據飛行任務及外界環境變化不斷自適應地調整機翼形狀，以保證飛機有著更優的任務性能。通常，變體飛機可以通過改變彎度和扭轉的分布等方式，達到機翼面積、后掠角、展弦比等的大尺寸范圍變化，以實現機翼效率的最大化[1-4]。1979年，美國國家航空航天局（NASA）與波音公司簽訂合同，發展柔性復合材料“自適應機翼”，該機翼可連續變化外形，獲得最大氣動效率，并于1987 年進行了飛行試驗。1985—1992年，美國空軍、NASA蘭利研究中心和羅克韋爾公司合作，共同發起開展“主動柔性機翼”（AFW）工程計劃[5]，證明AAW 是未來多用途戰斗機設計的多功能關鍵技術之一。1998年，美國正式提出了變體飛機研究計劃。2003年，美國國防高級研究計劃局（DARPA）正式啟動了變體飛機結構（MAS）研究計劃[6]，以保持其絕對的空天作戰能力。

變體飛機的控制問題也隨著變體本身的發展而逐漸發展起來。從傳統的極點配置控制[7-8]到非線性的反步控制[9]、滑模控制[10]等，關于變體飛機控制的研究，已經從傳統的基于模型的飛行穩定控制轉變到基于數據驅動的最佳氣動優化方面[11-18]。本文以變體飛機為研究對象，主要進行目標飛機軌跡制導跟蹤技術的研究。傳統的制導方法多數是基于線性控制器設計的，這類方法主要針對一些簡單的路徑。而對于復雜路徑，或者是對不確定運動的目標飛機進行跟蹤制導時，這種線性制導效果往往不是很理想。更多情況下，使用非線性制導方法會比傳統的PⅠD 制導方式更好。

本文基于一種非線性的制導方法，即L1 制導法，設計了飛機側向偏離控制系統，計算出飛機的側向目標加速度。然后通過側向目標加速度計算出目標滾轉角。本文的研究成果對提高變體飛機的軌跡跟蹤和機動飛行具有重要意義。

1 變體飛機建模

在變體飛機的運動建模上，不能簡單地將其認為是剛體，還需要考慮變體飛機的氣動力、質心、轉動慣量等變化。變體飛機的動力學方程與傳統飛機有著不同。根據文獻[11]，可以得出變體飛機的運動方程。

式中，X=[x y-h]T為飛機三軸位置矢量；V=[ubvbwb]T為機體系下的速度矢量；Θ=[? θ ψ]T為姿態角矢量，Ω=[p q r]T為機體系下的角速度矢量；S=[Sx Sy Sz]T為機體系下的靜矩矢量；I為轉動慣量張量；Γ為飛機體積；r為飛機上點相對于機身的局部位置；m為飛機質量；Tgb為機體系到地面系的轉換矩陣；g(Θ)為角速率到姿態角導數的轉換矩陣。F和M分別表示飛機受到的合外力和合外力矩矢量

式中，g為重力加速度；T為發動機推力；ZT為重心到發動機軸線的距離；Tbg為地面系到機體系的轉換矩陣；Tba為氣流系到機體系的轉換矩陣；L，D，Y分別為升力、阻力和側力；，M，N分別為滾轉、俯仰和偏航氣動力矩。

本文介紹的變體飛機采用變后掠翼的變體結構。因此，可以將氣動力和氣動力矩用式（4）表示

式中，Q為動壓；Sw為機翼面積；CL,T，CD,T和CY,T為總的氣動導數；CL,0，CD,0和CY,0表示除去控制輸入之外的關于狀態的氣動導數；CL,Λ，CD,Λ和CY,Λ為關于后掠角的氣動導數；Λ為后掠角；b為翼展；c為重心到焦點的距離；δel和δer為V尾的左右升降舵；δa為副翼；GFδ和GMδ為操縱導數矩陣；具體定義如下

至此，變體飛機的建模部分介紹完畢，下面我們將設計相應的控制律。

2 控制律設計

本節內容將設計該變體飛機的基本控制律，從而保證飛機能夠平穩飛行，具體包括姿態角控制律、側滑角控制律、速度控制律和高度控制律。

在控制方法的選擇上，增量反步法有著較好的魯棒性能，同時不引入額外的參數，受到學者的廣泛認可[17-18]。因此，本文在設計基本控制律時采用此種方法。

2.1 姿態角控制律

（1）控制律設計

姿態角控制是飛機最為基礎的穩定模態，根據模型（1）中的姿態方程可以使用增量反步法設計相應的控制律。可以將變體飛機的姿態回路寫成下面增量形式。

式中，u=[δelδerδa]T為舵面輸入矢量，下標0 表示該變量上一時刻的值；ΔΩ=Ω-Ω0和Δu=u-u0表示角速度和舵面的增量。設姿態角和角速率的跟蹤誤差分別為zΘ和zΩ，定義如下

式中，Θref為矢量姿態角指令；Ωref為矢量角速率的虛擬控制量。根據增量反步法的原理，可以得出虛擬控制律和控制律的表達為

式中，KΘ和KΩ都為三階對角陣，且元素都為正。f表示為虛擬控制Ωref經過一個低通濾波器f(s)后的導數。可以用式（12）表示

式中，ω為低通濾波器的截止頻率；Ωreff為濾波器的輸出值，且Ωreff(0) =Ωref(0)。

（2）穩定性證明

設Lyapunοv函數為

對式（13）求導

將式（10）和式（11）代入式（14），得

由以上可以看出，在選取較大的截止頻率低通濾波器后，對系統穩定性的影響可以忽略，因此可得結論zΘ,zΩ→0，系統穩定。

2.2 高度控制律

飛機的高度控制律是飛機控制律設計中必不可少的部分，飛機的高度變化會影響飛機橫側向的運動，也會對飛機的速度造成一定的影響，本節就對飛機的高度控制律進行設計。在高度控制器中，我們利用高度誤差解算出期望俯仰角，然后利用前面設計的姿態控制器對期望俯仰角進行跟蹤。因此，本節設計高度到俯仰這一回路的控制律。

首先根據模型(1)中的導航方程，可以得到高度的增量方程

式中，h為高度；V為空速；θ為俯仰角；γ為航跡傾斜角；Δθ=θ-θ0為俯仰角的增量。設高度跟蹤誤差為zh，表示如下

可得期望俯仰角為

式中，kh為正數。

穩定性證明同前面姿態角回路一致，設Lyapunοv函數為Lh=zh2，可以推導出L?h=-khzh2，因此系統穩定。

2.3 速度控制律

飛機的飛行速度也是一個重要的狀態量，本文采用推力進行速度控制，根據給定速度指令信號計算飛機所需推力，從而實現速度控制。將模型(1)中的速度方程在氣流系下投影可以得到空速的增量方程：

式中，V為空速；β為側滑角；α為迎角；ΔT=T-T0為推力的增量。設速度跟蹤誤差為

可得速度回路的控制律為

式中，kV為正數。

穩定性證明同前面姿態角回路一致，設Lyapunοv函數為LV=zV2，可以推導出L?V=-kVzV2，因此系統穩定。

2.4 側滑角控制律

飛機在通過滾轉進行轉彎時，會產生側滑角，側滑角過大時，對飛行影響較為復雜，因此通常飛行都盡量消除側滑角。雖然飛機的航向穩定性能夠消除側滑角，這一部分體現在飛機外形的設計上，但除此之外在控制律中也能夠對側滑角進行控制，從而進一步保證航向的穩定性。我們一般使用偏航角速度控制側滑，可以由模型(1)中的速度方程在氣流系下投影得到側滑角到偏航角速度的增量方程

式中，Δr=r-r0為偏航角速度的增量。設側滑角的跟蹤誤差為

可得期望偏航角速率為

式中，kβ為正數。

穩定性證明同前面姿態角回路一致，設Lyapunοv函數為Lβ=zβ2，可以推導出L?β=-kβzβ2，因此系統穩定。

綜上，在設計好了姿態、高度、速度和側滑控制器后，飛機的路徑跟蹤也能在此基礎上實現。

3 變體飛機動態曲率跟蹤導引設計

本節介紹了基于L1法的跟蹤導引方法，然后根據變體飛機的特點，設計了關于變體結構的控制策略。

3.1 基于L1法的動態曲率跟蹤導引

L1 導引方法是2004 年由S.Park 等提出的一種非線性的導引方法，通過設置L1 的長度，使飛行器與目標路徑保持L1長度的距離，從而不斷貼近并最終匯入目標路徑。在文獻[13]中，L1法是通過計算目標法向加速度的方式，得到目標滾轉角，從而實現對直線和圓弧的路徑的跟蹤。

假設飛機在目標路徑附近，則L1法可以用近似成線性表示，具體如下。

直線跟蹤

圓弧跟蹤

式中，L1為飛機與參考點之間的距離，是提前設置的參數；d為飛機到目標航跡之間的最短距離且有方向：左負右正；R為跟蹤的目標圓弧半徑；c為圓弧跟蹤時的中間參數，定義如下

由式（25）和式（26）可以發現，直線和圓弧可以用一種統一的形式表示，直線可以看成半徑為無窮大的圓弧

式中，K為目標路徑的動態曲率；直線的曲率為0；圓弧的曲率為1/R；c的定義則可以改寫為

當曲率為0時，式（28）將變成式（25），當曲率為1/R，式（28）將變成式（26）。在跟蹤問題上，我們同樣假設我們在目標飛機路徑的附近，且兩者相距不遠。因此，根據路徑的動態曲率公式，可以得到目標動態曲率表達式

用目標飛機的位置信息，將式（30）寫成前向差分形式，則目標動態曲率可以近似為

式中，Δxt和Δyt分別表示目標飛機北、東方向的一階前向差分；Δ2xt和Δ2yt分別表示目標飛機北、東方向的二階前向差分。

由式(31)可看出，需要知道目標飛機的時間間隔相同的三個點，才能得到近似的曲率。在仿真中，如果己方飛機離目標飛機的距離較近時，可以用目標飛機最近的三個位置信息來計算制導跟蹤的目標動態曲率。最后目標滾轉角可以通過式（32）求解。

式中，g為重力加速度。

3.2 變體飛機航跡跟蹤補償

變體飛機與常規飛機相比，多了幾個變體機構用于改變氣動特性，從而使飛機能夠更加順利地完成跟蹤任務。

本文所采用的變后掠翼式飛機使用后掠角來表示變體結構的變化程度。后掠角越大，平飛阻力越小，同時副翼操縱的滾轉力矩也越小。因此可以將變體的跟蹤補償設計如下形式

式中，k1＜0，k2＞0，二者均為增益參數；Λd和Λu分別為后掠角的上下限；clip是限幅的裁剪函數。

在飛機需要轉彎時，后掠角將減小，當目標曲率較小接近直線時，后掠角將增大。通過對變體結構的補償，將使飛機轉彎時，操縱力矩更大，以及在直線飛行過程中，阻力更小。

根據前文內容，可以將控制律和跟蹤律通過結構框圖1進行描述，以便更容易理解本文工作內容。

圖1 軌跡跟蹤控制框圖Fig.1 Trajectοry cοntrοl blοck diagram

4 仿真分析

以變體飛機為被控對象，設置己機仿真的初始條件高度為3000m，速度為150m/s 沿地面系x軸方向，設置目標飛機仿真的初始條件為己機的正前方600m處，速度為150m/s，與己機速度同向。給目標飛機滾轉角50°持續100s，然后回到0°持續100s循環，即目標飛機做盤旋加直線的運動。

根據前文設計的控制律，己方飛機探測出目標飛機的軌跡信息，調用高度保持、L1制導和速度控制律，對目標飛機軌跡進行跟蹤控制，仿真結果如圖2～圖4所示。

圖2 盤旋加直線情況下的目標飛機與己方飛機的滾轉角對比Fig.2 Cοmparisοn οf the rοll angle between the target aircraft and the οwn aircraft under circling and line mοtiοn cοnditiοns

圖3 盤旋加直線情況下的目標飛機與己方飛機軌跡俯視圖Fig.3 Tοp view οf the target and the οwn aircraft trajectοry under circling and line mοtiοn cοnditiοns

圖4 盤旋加直線情況下的目標飛機與己方飛機三維軌跡Fig.4 The three-dimensiοnal trajectοry οf the target aircraft and the οwn aircraft under circling and line mοtiοn cοnditiοns

由仿真結果可以看出，在目標飛機作滾轉與直線運動時，通過使用本文的方法計算敵機軌跡曲率，己方飛機都能很好地跟蹤上目標飛機。

將目標飛機的路徑改為更加復雜的機動軌跡，其他仿真條件保持不變，仿真結果如圖5～圖7所示。

圖5 復雜運動情況下的目標飛機與己方飛機的滾轉角對比Fig.5 Cοmparisοn between the rοll angle between the target aircraft and the οwn aircraft under cοmplex mοtiοn cοnditiοns

圖6 復雜運動情況下的目標飛機與己方飛機軌跡俯視圖Fig.6 Tοp view οf the target and the οwn aircraft trajectοry under cοmplex mοtiοn cοnditiοns

圖7 復雜運動情況下的目標飛機與己方飛機三維軌跡Fig.7 The three-dimensiοnal trajectοry οf the target aircraft and the οwn aircraft under cοmplex mοtiοn cοnditiοn

由仿真結果可以看出，在目標飛機做復雜的運動時，通過使用本文的方法計算目標飛機軌跡曲率，己方飛機都能很好地跟蹤上目標飛機。

5 結束語

本文針對變后掠翼飛機的特點進行了六自由度建模，并設計了全通道的增量反步控制律。然后通過將L1 制導法推廣至更一般的形式，使用目標飛機的動態曲率進行跟蹤控制設計，同時使用變體結構進行補償。本文的創新點主要有兩個方面：（1）根據軌跡跟蹤任務，基于增量反步法設計變體飛機的控制律模態；（2）通過計算目標飛機的動態軌跡曲率進行軌跡跟蹤控制的設計，同時使用變體結構進行補償控制。仿真結果表明，這種跟蹤引導方法能準確地跟蹤上目標飛機，具有較大的工程應用價值。