基于二維抽樣優化的復合材料超橢圓板與穿孔板振動優化設計

段雷，景釗

西北工業大學，陜西 西安 710072

碳纖維樹脂基增強復合材料以其高比強度、高比剛度及輕量化設計潛力，廣泛應用于航空、航天、船舶、汽車工程等領域[1-5]。振動是工程結構最常見的動力學問題，如飛機機翼的顫振[6]、橋梁的共振[7]、車輪的抖振[8]等。復合材料層合板作為結構中的基本構件，通過優化使其振動基頻最大化有助于提升結構抗共振特性。為此，本文基于里茲法和二維抽樣優化算法[9]優化了復合材料超橢圓板和穿孔矩形板的鋪層序以使其振動基頻最大。

由于超橢圓板和穿孔板在工程中有著廣泛應用，國內外研究人員開展了大量研究。邸馗等[10]利用三階剪切變形理論研究了超橢圓蜂窩夾芯板在簡支邊界條件下的自由振動問題。武蘭河等[11]提出了一種新型微分容積法，利用該方法分析了任意邊界條件下中等厚度超橢圓板的自由振動問題。M.D.Waller[12]通過試驗研究了長寬比為1.25 和2 的橢圓板振動問題。S.Ceribasi 等[13]對超橢圓板的振動進行了參數化研究，考慮了不同長寬比、材料泊松比和厚度變化對頻率參數的影響。焦顯義[14]和K.M.Liew等[15]建立了包含剪切變形和轉動慣量的能量公式，利用Ritz法分析了自由、簡支、固支邊界條件下超橢圓板的自由振動問題。K.D.Mali等[16]用Ritz法確定了四邊固支含方形孔矩形板的自由振動基頻，并用有限元驗證了模態精確性。K.Ghοnasgi等[17]對多孔矩形板的自由振動問題進行了參數化研究，分析了孔的大小對板前三階固有模態的影響。M.S.H.AL-Araji 等[18]研究了簡支和固支邊界條件下復合材料穿孔矩形板的振動模態特性，分析了孔數、孔面積、鋪層鋪向角和邊界條件對振動頻率及振型的影響。S.S.Hοta等[19]提出了基于一階剪切變形理論的亞參三角形彎曲單元，并利用該單元分析了含任意形狀孔矩形板的振動特性。里茲法基于全域試函數對結構變形作近似，其普適性較有限元低，但對幾何構型規則的結構求解具有收斂快、速度快、精度高、剛陣維數小等優點，因此被廣泛應用于穿孔板的振動分析[20-22]，且有利于復合材料層合板的鋪層優化。另外，復合材料層合板具有可剪裁、設計自由度大及離散特征，同時還需考慮復雜工程約束，其優化設計問題受到廣泛關注。

Y.Narita[23]提出了基于層合板彎曲剛度敏度的分層優化算法（LOA），將復合材料鋪層高維排列組合優化問題近似轉化為一維線性搜索問題，通過鋪層序尋優優化了復合材料矩形板的基頻。R.T.Haftka 等[24]將受雙軸壓縮載荷的層合板鋪層序優化問題轉化為整數線性規劃（ⅠLP）問題，但該策略普適性較低。Jing Zhaο[25-26]基于層壓參數凸性、層合板彎曲剛度敏度提出了序列置換搜索（SPS）算法，但其魯棒性較差。A.Muc等[27]提出了一種將連續變量限制在[0, 1]范圍內的進化算法，這種策略難以處理可行域中非可行點。O.Erdal等[28]用模擬退火算法尋找使層合板屈曲承載力最大的鋪層序，但此算法對全局優化問題的魯棒性較差。Chang Nan 等[29]采用改進的粒子群算法優化了層合板在壓減聯載作用下的屈曲載荷，然而粒子群優化對于復合材料層合板工程約束的處理較為繁瑣。M.Abachizadeh等[30]基于蟻群算法搜索了使對稱層合板基頻最大的鋪層序。遺傳算法（GA）是復合材料結構優化中最常用的優化算法，常用于復合材料圓柱殼[31]、格柵板[32]、翼盒[33]等的鋪層序優化。針對復合材料層合板鋪層優化問題，這類啟發式算法魯棒性好，但優化設計準則并未考慮層合板彎曲剛度中角鋪層位置關于厚度的三次敏度關系，導致計算量過大，特別是當層合板層數多且候選離散鋪向角也較多時。此外，拓撲優化[34]和代理模型[35]也廣泛用于復合材料層合板的振動基頻優化，但拓撲優化的計算成本較高且迭代收斂慢，而代理模型則難以權衡高保真度和計算成本之間的平衡。

本文使用的二維抽樣優化算法（2DSO）[9]，利用了層壓參數可對鋪層序變量進行降維且可表征鋪層序間距離的特征，通過動態距離約束在層壓參數空間中進行抽樣迭代優化，一方面解決了將角鋪層作為變量尋優時設計空間過大的問題；另一方面，在抽樣優化結果基礎上，通過分層優化算法（LOA）[23]進行鋪層序優化規避了采用層壓參數作為自變量時的復雜可行域約束。為最大化層合板的基頻，本文基于里茲法和2DSO優化了具有不同邊界條件和不同長寬比的對稱復合材料超橢圓板和穿孔矩形板的鋪層序，其中超橢圓板考慮了橢圓度的變化，穿孔矩形板考慮了不同的內孔邊界條件。

1 理論推導

1.1 本構關系

根據經典層合板理論，層合板的位移場為

式中，u、v和w為板在x、y和z方向的位移分量，如圖1所示；u0、v0、w0為板中性面的位移分量。

圖1 復合材料層合板模型Fig.1 Mοdel οf cοmpοsite plates

對于薄板的橫向振動，u0= 0，v0= 0，則式（1）可簡化為

應變可表達為

式中，?x是復合材料層合板任意一點沿x方向的應變；?y是復合材料層合板任意一點沿y方向的應變；γxy是復合材料層合板任意一點在x-y平面的切應變。

根據廣義胡克定律

式中，σx是復合材料層合板第l層中任意一點沿x方向的正應力；σy是復合材料層合板第l層中任意一點沿y方向的正應力；τxy是復合材料層合板第l層中任意一點在x-y平面的切應力，()l（i,j= 1, 2, 6）表示復合材料層合板在第l層的轉移折減剛度系數。()l可表達如下

式中，αl為復合材料層合板在第l層的鋪向角，如圖2所示；Q11、Q12、Q22、Q66分別表示復合材料層合板的剛度系數

圖2 層合板第l層的材料鋪向角和材料主軸Fig.2 The layup angle and principal axes οf material οf the layer l οf the laminate

式中，E1是1方向的彈性模量；E2是2方向的彈性模量；ν12是1方向的正應力引起2方向的變形系數；ν21是2方向的正應力引起1方向的變形系數；G12為1-2平面內的切變模量。

1.2 能量公式

根據經典層合板理論，復合材料層合板的應變能公式為

式中，Λ為復合材料層合板的實際積分域；κ是曲率矢量，表示如下

Dij（i,j= 1, 2, 6）為復合材料層合板的彎曲剛度，對于對稱復合材料層合板，Dij表達式如下

式中，zl和zl-1分別為復合材料層合板中第l層的上表面和下表面坐標；N為復合材料層合板的半鋪層數，如圖3所示，圖中t為復合材料層合板的單層厚度。

圖3 復合材料層合板鋪層定義Fig.3 Stacking definitiοn οf cοmpοsite laminates

復合材料層合板的動能為

式中，h為復合材料層合板的厚度；ρ為復合材料層合板的密度；tˉ為時間。

1.3 里茲法求解

在正弦激勵下，板的橫向振動位移w可表達為時間tˉ與振幅W的函數，如下所示

式中，ω為振動頻率。

為便于里茲法推導求解，采用了無量綱坐標系

式中，對于復合材料超橢圓板，a和b分別為其長軸和短軸；對于復合材料穿孔矩形板，a和b分別為其長和寬。復合材料超橢圓板和穿孔矩形板的幾何模型分別如圖4 和圖5所示。

圖4 不同橢圓度因子n1的復合材料超橢圓板幾何模型及邊界條件Fig.4 Geοmetric mοdel and bοundary cοnditiοn οf the cοmpοsite super-elliptical plate with different ellipticity factοrs n1

圖5 穿孔對稱復合材料矩形板的幾何模型（邊界條件BC1 = CFSC和BC2 = C）Fig.5 Geοmetric mοdel οf the perfοrated symmetrical cοmpοsite rectangular plates (bοundary cοnditiοn BC1 = CFSC and BC2 = C)

假設振幅撓度W(ξ,η)為

式中，Cij為未知系數；m和n為勒讓德多項式的項數；ψi(ξ)和ψj(η)是勒讓德多項式[36]，其遞推公式如下

?(ξ,η)為復合材料層合板滿足所有邊界條件的函數，對于復合材料超橢圓板，其表達式為

式中，n1為表征復合材料超橢圓板橢圓度的因子，如圖4所示。對于對稱復合材料穿孔矩形板，其表達式如下

式中，r為圓孔的半徑，χi(i= 1, 2, …, 6)取值為0、1和2時，分別表征自由邊界條件（F）、簡支邊界條件（S）和固支邊界條件（C）。

復合材料超橢圓板只有外邊界條件，用BC1 表示，如圖4 所示。在圖5 中，復合材料穿孔矩形板包含外邊界條件（BC1）和內邊界條件（BC2）。其中，BC1 = CFSC，表示帶孔矩形板四條外輪廓的邊界條件，從最左側邊開始沿逆時針方向旋轉，依次為固支（C）、自由（F）、簡支（S）和固支（C）；BC2 = C，表示內部圓孔的邊界條件是固支（C）。

?1(ξ,η)表示含一個中心圓孔的復合材料矩形板的外輪廓邊界條件（BC1）方程

?2(ξ,η)表示對稱復合材料穿孔矩形板的內孔邊界條件（BC2）方程

復合材料層合板的總能量為

根據里茲方法，將式（7）和式（10）代入式（19），并求泛函的駐值

可得未知頻率參數ω的特征值方程

式中，C為由未知系數{Cij}構成的特征矢量矩陣；矩陣K和M中的元素可由下式求得

其中

式中，Wr或Ws表示為

2 二維抽樣優化算法（2DSO）

二維抽樣優化算法是基于復合材料力學機理的優化算法，其優化設計準則充分考慮了復合材料層合板層壓參數凸性、彎曲剛度敏度及其線性疊加特性：利用兩個控制彎曲剛度的層壓參數表示不同鋪層序間距離，在此基礎上結合層壓參數空間抽樣和鋪層序設計優勢，規避了以層壓參數作為設計變量時需加載層壓參數可行域約束并難以精確反演對應鋪層序的問題，同時也避免了以鋪層序作為設計變量導致設計空間大尋優困難的問題。此外，通過采用層壓參數表征鋪層序間距離，引入了層壓參數空間中的動態距離約束，使得抽樣優化在層壓參數空間中可高效捕獲鋪層序解空間的重要區域。最后，基于抽樣優化解，通過分層優化算法對鋪層序進行優化可高效搜索鋪層優化解。

2.1 優化問題

以復合材料層合板的振動基頻f=F(Φ)最大化為目標，對給定邊界條件的對稱復合材料超橢圓板和穿孔矩形板的鋪層序Φ進行優化，優化問題模型如下

式中，αl為復合材料板中第l層的鋪向角；N為半鋪層數，如圖3 所示；矢量Φ為對稱復合材料層合板一半的鋪層序，F為復合材料板自由振動分析的里茲法求解程序，Θ為候選鋪向角集合，M為候選鋪向角個數，Δθ是候選鋪向角的固定間隔，如Δθ= 30°，則Θ= {0°，-30°，30°，-60°，60°，90°}，M= 6。

設計域C、設計域D 和設計域Ω 之間的關系如圖6 所示。下面對二維抽樣優化算法的計算步驟作詳細介紹。

圖6 設計域C、D和Ω之間的包含與映射關系Fig.6 The cοntain and mapping relatiοnship between design dοmains C, D, and Ω

2.2 二維抽樣優化算法

（1） 給定優化所需參數

表1給出數據是本文所有優化算例用到的參數值。上述參數在2DSO中可自行定義。

表1 2DSO的優化參數Table 1 Optimization parameters of 2DSO

（2） 在設計域C中生成均勻分布的點

在確定固定鋪向角間隔Δθ后，可得候選鋪向角集合Θ，候選鋪向角的數量為M= [180/Δθ] （[]為高斯取整函數），故可以得到 [M/2]+1個由相同正候選鋪向角組成的鋪層序Φi= [θi,θi, …,θi,θi]，θi＞0，θi∈Θ。這[M/2]+1個Φi對應的兩個層壓參數定義為

設計域C中任意兩點之間的距離公式如下

動態距離約束

邊界約束

式中，j≤ [M/2]時，sj和sj+1為相鄰頂點；j= [M/2]+1 時，sj+1表示s1。那么新點snew= (,ξ)new可加入樣本點集合Sini中，即

隨著集合Sini中點數量的增加，點的密度不斷增大，為了使點在設計域C中盡可能均勻分布，動態距離dc需逐步減小。

式中，Δd是一個恒定增量。隨著新點snew不斷加入集合Sini中，Sini中點的密度越來越大，且動態距離dc越來越小，使得式（29）和式（30）難以同時滿足。為此，需采用GA 尋找同時滿足約束式（29）和式（30）的新點snew= (,)new，并添加到集合Sini中。

初始化: Num=120,dc=0.96, Δd=0.04,Sini迭代:

（3） 在設計域D中生成均勻分布的點

基于候選鋪向角集合Θ在域Ω 中生成的鋪層序Φi∈Ω，并可根據式（27）計算其層壓參數(,)i，將層壓參數記入對應集合D中:{ui|ui= ()i,ui∈ D}。

為保證設計域D中生成的點ui盡可能接近設計域C中生成的點，采用遺傳算法搜索鋪層序Φi。

ui∈D,si∈Sini},i= 1, 2, 3, …, Num

因此，對于設計域C 中的每一個點si，總有一個在設計域D中的點ui與之對應，ui對應的鋪層序為Φi。將設計域D中所有點ui記入集合Uini，同時將集合Uini中所有點對應的鋪層序Φi記入集合Ωini。

式中，LPs表示對鋪層序的層壓參數計算符號。

（4） 抽樣優化

根據里茲法求解程序F求解集合Ωini中鋪層序Φi對應的振動基頻vi，并保存到集合V中。

從中篩選出最大基頻

將集合V中的值從大到小排列，然后從大到小選擇P個最佳點，將它們記入集合W中。

將P個最佳點對應的鋪層序Φi及其層壓參數ui記入集合T0中。

集合T0中的每個元素{Φi,ui} (i= 1, 2，…，P)，可在其鄰域內通過遺傳算法在層壓參數空間中確定Q個均勻分布在ui鄰域的候選點。

式中，jΔu/Q保證了Q個候選點均勻分布在以點ui為圓心和Δu為半徑的圓內，表示點ui附近的Q個候選點對應的鋪層序及其層壓參數。

從而得到一個由P×Q個候選點組成的集合

隨后，計算集合Tsub中候選點的目標函數值，并將其記錄在子集Vsub中。

再將集合V和Vsub求并集，得到一個新的集合V。

最后，若滿足如下收斂公式，則該步驟結束，進入下一步；否則，繼續重復式（36）～式（44），直至滿足以下收斂公式。

式中，e為抽樣迭代優化的代數。

（5） 局部鋪層優化

將上一步中獲得的抽樣優化解作為輸入，采用分層優化算法（LOA）[23]作局部鋪層優化，獲得最終優化解。圖7給出了2DSO算法流程圖。

圖7 二維抽樣優化算法（2DSO）流程圖Fig.7 Flοwchart οf twο-dimensiοnal sampling οptimizatiοn algοrithm（2DSO）

2.3 二維抽樣優化算法實例

為更好地理解2DSO 算法的尋優過程，本節給出了一個鋪層數為8 的對稱復合材料穿孔矩形板的詳細尋優過程。所使用的材料參數為：E1=138GPa，E2=8.96GPa，G12=7.1GPa，v12= 0.28，ρ= 1656kg/m3。復合材料含圓孔矩形板的幾何參數為：a/h= 448，a/b= 2，2r/b= 0.3，其中a和b分別為復合材料穿孔矩形板的長和寬，h為層合板厚度，r為中心圓孔半徑。

矩形板和圓孔的邊界條件分別定義為BC1 = CCCF和BC2 = S。在以下描述中，將省略鋪向角的角度符號“°”。候選鋪向角角度間隔為Δθ=5，候選鋪向角集合定義為Θ= {0, 5, -5, 10, -10, …, 85, -85, 90}。

（1） 給定優化所需參數

2DSO參數值見表1。

（2） 在設計域C中生成均勻分布的點

首先根據候選鋪向角集合Θ，確定19 個由相同正鋪向角組成的鋪層序Φi= [θi,θi,θi,θi]，θi＞0，θi∈Θ，然后根據式（27）計算它們的層壓參數來確定設計域C的19個頂點，如圖8（a）所示。然后將19 個頂點依次連接確定它們所圍成的設計域C。最后根據式（28）～式（33），在設計域C內生成均勻分布的點，如圖8（b）的紅色點所示。

（3） 在設計域D中生成均勻分布的點

對于設計域C 中每一個點，基于候選鋪向角集合Θ，通過式（27）、式（34）和式（35）在設計域Ω 內生成一個鋪層序集合，使得該鋪層序集合中的每一個鋪層序對應設計域D中的點（圖8（c）的藍色點）且離設計域C中的點最近。

（4） 抽樣優化

根據式（36）和式（37）計算設計域D中均勻分布點的目標值，并通過式（38）篩選P個最佳點（見圖8（d）中紅色三角形）。然后，利用式（39）～式（42）在每個最佳點附近生成Q個候選點，之后基于里茲法即式（43）求解這P×Q個候選點（見圖8（e）中藍色的點）振動基頻。

最后通過式（44）和式（45）判斷抽樣迭代優化結果是否收斂，若不收斂，則按照上述步驟進行下一次迭代，直到得到收斂解（見圖8（h）中綠色三角形）。

（5） 局部鋪層優化

將第（4）步獲得的收斂解作為輸入，采用分層優化算法（LOA）[23]作鋪層序尋優，獲得最終鋪層序優化解[25/-35/90/- 45]s（見圖8（i）中粉色三角形）和對應的無量綱頻率參數為f=。

3 數值結果

以上利用里茲法求解了復合材料超橢圓板和穿孔矩形板的振動基頻，并采用2DSO搜索使基頻最大化的鋪層序。3.1節研究了里茲法的收斂性和精確性，并與已有文獻做了對比。3.2.1節給出了在自由、簡支和固支三種邊界條件下不同長寬比和不同橢圓度因子n1的復合材料超橢圓板的優化鋪層序及振動頻率和振型。3.2.2 節給出了在10 種邊界條件、兩種長寬比和兩種圓孔半徑下對稱復合材料穿孔矩形板的優化鋪層序及振動頻率和振型。在以下算例中使用了三種材料，三種材料的參數為：材料1：E1= 130GPa,E2=9GPa,G12= 4.8GPa,v12= 0.28,ρ= 1656kg/m3。材料2：E1=138GPa,E2=8.96GPa,G12=7.1GPa,v12= 0.3,ρ= 1656kg/m3。材料3：E1= 206GPa ,E2=E1,G12=E1/[2(1+v12)],v12= 0.3,ρ= 8000kg/m3。

3.1 里茲法收斂性研究

首先驗證里茲法求解復合材料超橢圓板振動基頻的收斂性和精確性。采用材料3，表2給出了里茲法求解寬厚比a/h= 100 的復合材料超橢圓板的無量綱頻率參數f=收斂時所需的項數，并將結果和已有文獻結果進行了對比。結果顯示，當位移函數的項數m×n從9 × 9增加到10 × 10時，無量綱自然頻率參數變化遠小于1%，且10 × 10 項位移函數求得的無量綱自然頻率參數和已知文獻的無量綱自然頻率參數之間的誤差也遠小于1%。采用材料1，表3 給出了寬厚比a/h= 448、鋪層序[-45/45/-45/-45]s、孔徑2r/b= 0.3的對稱復合材料穿孔矩形板無量綱頻率參數f=ωa2，結果顯示當位移函數項數m×n從30 × 30增加到35 × 35時，對稱復合材料穿孔矩形板的無量綱自然頻率參數變化遠小于1%，因此可認為里茲法在形函數項數m×n是30 × 30時結果收斂。采用材料1，表4 給出了寬厚比a/h= 256、鋪層序[45/0/0/90/0/-45/0]s、內孔邊界條件BC2 = F 的對稱復合材料穿孔矩形板頻率f=ω/(2π) (Hz)，對比結果表明當位移函數項數為30 × 30時結果收斂。

表2 超橢圓板前6階頻率參數f=(ωa2/π2)收斂與驗證Table 2 Convergence and verification of the first six frequency parameters f =(ωa2/π2)for the super-elliptical plates

表2 超橢圓板前6階頻率參數f=(ωa2/π2)收斂與驗證Table 2 Convergence and verification of the first six frequency parameters f =(ωa2/π2)for the super-elliptical plates

BC1 n1 10 a/b 1 2模態1 3.6586 3.6503 3.6503 3.6420 9.9950 9.9725 9.9725 9.9510 21.225 21.177 21.177 21.132 1.9994 1.9951 1.9951 1.9900 5.0171 5.0036 5.0036 4.9860 10.062 10.031 10.031 9.9870模態3 7.4496 7.4474 7.4410 7.4350 18.588 18.157 18.157 18.132 28.331 28.061 28.061 28.027 4.9909 4.9896 4.9894 4.9860 13.034 12.961 12.961 12.955 18.027 17.954 17.954 17.942 C模態4 10.983 10.983 10.971 10.962 25.969 25.969 25.693 25.743 35.905 35.869 34.772 34.851 7.9677 7.9677 7.9675 7.9650 17.006 17.005 17.004 16.989 25.408 25.393 24.935 25.033 3模態2 7.4496 7.4474 7.4410 7.4340 12.935 12.916 12.911 12.897 23.656 23.610 23.607 23.581 4.9909 4.9896 4.9894 4.9860 7.9846 7.9758 7.9757 7.9690 13.014 12.989 12.989 12.970 1模態5 13.963 13.336 13.336 13.305 27.228 27.219 25.944 25.926 57.187 46.945 46.945 44.045 10.053 9.9720 9.9720 9.9680 19.965 19.965 19.956 19.953 37.037 35.555 35.555 34.123 10 m × n 8×8 9×9 10×10文獻［37］8×8 9×9 10×10文獻［37］8×8 9×9 10×10文獻［37］8×8 9×9 10×10文獻［37］8×8 9×9 10×10文獻［37］8×8 9×9 10×10文獻［37］2 S 3模態6 14.047 13.400 13.400 13.364 28.850 28.850 28.822 28.805 59.828 57.187 57.132 57.096 10.090 10.005 10.005 10.002 20.483 20.477 19.964 20.003 39.998 37.037 37.035 36.998

表3 對稱復合材料穿孔矩形板基頻參數f = ωa2收斂研究Table 3 Convergence study of the fundamental frequency parameter f = ωa2for the symmetrical composite perforated rectangular plates

表3 對稱復合材料穿孔矩形板基頻參數f = ωa2收斂研究Table 3 Convergence study of the fundamental frequency parameter f = ωa2for the symmetrical composite perforated rectangular plates

a/b 3 BC1 SSFF BC2 F S C F S C F S C F S C形函數項數m×n 5×5 4.2292 9.0624 13.558 19.344 28.567 35.117 2.8052 8.8451 13.586 8.2108 22.585 30.290 10×10 4.1830 7.7908 10.797 19.184 26.565 30.232 2.7720 7.7395 11.068 8.1971 20.434 24.857 15×15 4.1732 7.4034 10.439 19.136 25.824 28.710 2.7608 7.1340 10.357 8.1853 19.493 22.708 20×20 4.1685 7.1779 10.313 19.111 25.363 27.809 2.7581 6.9558 10.255 8.1780 19.003 21.808 25×25 4.1669 7.1252 10.296 19.091 25.031 27.390 2.7569 6.8796 10.221 8.1724 18.664 21.218 30×30 4.1663 7.1135 10.289 19.079 24.791 27.083 2.7566 6.8646 10.216 8.1694 18.421 20.936 35×35 4.1661 7.1112 10.288 19.069 24.606 26.940 2.7564 6.8619 10.213 8.1677 18.227 20.722 1 CCFF CCFF 3 1 SSFF

表4 對稱復合材料穿孔矩形板基頻參數 f= ω（/2π）對比驗證Table 4 Comparison between the fundamental frequency parameters f= ω（/2π） for the symmetrical composite perforated rectangular plates

3.2 優化結果

2DSO 中的初始參數值由表1 定義。基于里茲法和2DSO 優化了候選鋪向角間隔分別為Δθ= 5 和Δθ=15 的8層和48層對稱復合材料超橢圓板，以及候選鋪向角間隔分別為Δθ= 5 和Δθ= 15 的8 層和40 層對稱復合材料穿孔矩形板，其設計空間分別為364= 1679616、1224≈ 7.9497×1025、1220≈ 3.8338×1021。優化的目標函數調用次數用變量NF表示，此外，本小節所有優化結果的頻率均用無量綱頻率參數表示。

3.2.1 復合材料超橢圓板振動優化設計

本節復合材料超橢圓板使用材料2 且層合板寬厚比a/h=100。表5 和表6 分別給出了8 層（Δθ=5）和48 層（Δθ=15）對稱橢圓層合板的優化結果；表7 和表8 分別給出了8層（Δθ=5）和48 層（Δθ=15）對稱超橢圓層合板的優化結果。當橢圓度因子n1和邊界條件不變時，復合材料超橢圓板的最大基頻隨長寬比a/b的增大而增大，見表5～表8。此外，在橢圓度因子n1和長寬比a/b不變的條件下，復合材料超橢圓板的最大基頻也隨著邊界變剛硬而增大，見表5和表7，對于鋪層數為8層的復合材料超橢圓板，平均目標函數調用次數NF 為395.74 次，僅占總設計空間的0.0236%。而表6 和表8 顯示，對于48 層對稱復合材料超橢圓板，平均目標函數調用次數NF 為1009.19 次。這表明2DSO 算法的計算量與復合材料層合板的鋪層數不呈指數關系，而是近似線性。鋪層數為48層的復合材料超橢圓板目標函數調用次數NF比鋪層數為8層的復合材料超橢圓板目標函數調用次數NF 多的主要原因是局部優化求解器LOA[23]是逐層篩選搜索算法，隨著層數的增加，目標函數調用次數NF增大；由于LOA 基于層合板彎曲剛度敏度進行搜索，其目標搜索次數隨著層數增大近似線性增大。圖9 給出了不同工況下復合材料超橢圓板的前六階頻率及其振型，不同模態圖對應的工況及鋪層序分別為： (a)n1= 10，a/b= 3，BC1 = F，Φοpt= ±[10/-15/-25/0]s；(b)n1= 4，a/b= 1， BC1 = S，Φοpt=±[45/-45/-45/-45]s； (c)n1=4，a/b=2，BC1 = C，Φοpt= [904]s。

表5 復合材料橢圓板（8層）基頻最優解Table 5 Optimal solutions for fundamental frequency of composite elliptical plates （8 layers）

表6 復合材料橢圓板（48層）基頻最優解Table 6 Optimal solutions for maximum fundamental frequency of composite elliptical plates （48 layers）

表7 復合材料超橢圓板（8層）基頻最優解Table 7 Optimal solutions for fundamental frequency of composite super-elliptical plates（ 8 layers）

表8 復合材料超橢圓板基頻最優解（48層）Table 8 Optimal solutions for fundamental frequency of composite super-elliptical plates（ 48 layers）

圖9 鋪層數為8層的復合材料超橢圓板最優解的前6階振型Fig.9 First six mοde shapes οf the 8layers οptimal super-elliptical cοmpοsite plates

3.2.2 對稱復合材料穿孔矩形板振動優化設計

本小節算例使用材料1。表9和表10分別給出了寬厚比a/h= 448的8層（Δθ= 5）對稱復合材料穿孔矩形板的優化結果；表11和表12分別給出了寬厚比a/h= 89.6的40層（Δθ= 15）對稱復合材料穿孔矩形板的優化結果。其中，表10和表12復合材料穿孔矩形板的長寬比a/b= 2。當邊界條件和長寬比不變時，復合材料穿孔矩形板的最大基頻隨著圓孔半徑的增大而增大，見表9～表12。對于鋪層數為8層的穿孔層合板，平均目標函數調用次數NF為572.32次，僅占總設計空間的0.0341%，見表9 和表10。而表11和表12顯示，對于鋪層數為40層的復合材料穿孔矩形板，平均目標函數調用次數NF 為825.13 次。這進一步表明，2DSO算法中的層壓參數空間抽樣優化使得算法計算量與復合材料層合板的鋪層數不呈指數關系。圖10給出了復合材料穿孔方形板在各種邊界下最優解的前4 階頻率及振型：當長寬比和圓孔半徑不變時，復合材料穿孔矩形板的最大頻率隨著邊界條件變剛硬而增大。由于使用兩個彎曲層壓參數表征鋪層序間距離，層壓參數是關于鋪層序鋪向角的偶函數，導致多個鋪層序可能同時對應一組相同層壓參數。這使得2DSO 算法在優化時可能找到多個具有相同目標值的優化鋪層序，見表9 和表10。圖11給出了表9 中圓孔徑為2r/b= 0.3 時，2DSO 算法部分優化結果的搜索收斂圖。其中紅線代表抽樣優化搜索過程，結果表明抽樣優化可獲得一個非常接近最終優化解的解。但由于抽樣優化具有一定隨機性，可能存在比抽樣優化解更好的解，因此需將抽樣優化獲得的解作為分層優化（LOA）的初始點進一步作鋪層序尋優。綠色的線是局部鋪層優化的搜索收斂圖，出現振蕩的原因是：LOA是一個從復合材料層合板最外層向最內層逐層搜索的算法，而每層的鋪向角對振動頻率的敏度作用是由彎曲剛度關于鋪層位置的三次敏度關系所致，使得外層鋪向角對振動頻率的影響大于內層，從而導致LOA 在搜索過程中出現基頻大幅振蕩。但LOA最后可搜索到一個收斂且比抽樣優化更好的解。

表9 復合材料穿孔方形板（8層）基頻最優解Table 9 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated square plates（8 layers）

表10 復合材料穿孔矩形板（8層）基頻最優解Table 10 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated rectangular plate（ 8 layers）

表11 復合材料穿孔方形板（40層）基頻最優解Table 11 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated square plates（40 layers）

表12 復合材料穿孔矩形板（40層）基頻最優解Table 12 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated rectangular plate（ 40 layers）

圖10 表9中部分鋪層數為8層的復合材料穿孔方形板最優解的前4階振型及頻率（2r/b = 0.3）Fig.10 First fοur mοde shapes and frequencies οf sοme the 8layers οptimal cοmpοsite perfοrated square plates in Table 9(2r/b = 0.3)

圖11 表9中不同邊界條件下復合材料方形板2DSO搜索收斂圖(2r/b = 0.3)Fig.11 The cοnvergence diagram οf cοmpοsite square plates 2DSO under variοus bοundary cοnditiοns in Table 9(2r/b = 0.3)

4 結論

本文采用基于完備正交多項式的里茲法求解了復合材料超橢圓板和穿孔矩形板的振動頻率和振型。通過與已有文獻進行比較，驗證了里茲法的收斂性和準確性。同時，利用2DSO 優化了在不同邊界條件、長寬比和橢圓度因子n1下鋪層數為8層和48層的對稱復合材料超橢圓層合板的基頻以及在不同邊界條件、長寬比和圓孔半徑下鋪層數為8層和40 層的對稱復合材料穿孔矩形層合板的振動基頻。研究表明，2DSO算法由于充分利用了層合板層壓參數凸函數屬性及其降維特征、彎曲剛度敏度及其線性疊加特性，使得算法搜索計算量不是隨鋪層數增加而呈指數式增加，而是以近似線性增大，從而大幅降低了復合材料鋪層尋優計算量。同時，由于結合了層壓參數和鋪層序尋優的優勢，解決了直接采用鋪向角作為設計變量優化鋪層序時計算量過大的問題，同時規避了以層壓參數作為設計變量時所需可行域約束且不能精確反演對應鋪層序的問題。數值算例表明，2DSO具有良好的收斂性和魯棒性，顯示出其在大規模復合材料結構鋪層優化設計中的應用前景。